量子力學(xué)作業(yè)

1、量子力學(xué)復(fù)習(xí)題量子力學(xué)常用積分公式n ax 1 x e dx x （1） an ax nexaaxe22 (a sin bx b cos bx)a2 b2axeeax cos axdxa2 b2 ( a cos bx b sin bx)(3) a b11x sin axdx 2 sinax x cos ax(4)a2aeax sin bxdx(2)x2 sin axdx (5)x cos axdx(6)2x2 sin ax a12 cosax an 1 axe dx (n 0)(2aaxsinaxa22x3aa) sin ax)2) cos axx2 cos axdx 22x cos ax (

2、7a2x ax 2 c c ln( ax ax2 c)2 2 a(8)ax2 cdx(8)(a 0)2x ax2 c2n2sinc2a(n 1)!2arcsin( ax) cxdx n!(9)2 cosn xdx(n 1n!)!(10)2(a 0)sin axdx0x(11)2 (a 0)ax nn!e x dxn 1a(12)ax20 e axdx 12 a3)dx2xaen2x(a0)（n 正偶數(shù) ）（n 正奇數(shù) ）(n 正整數(shù) ,a 0)(2n 1)!n 1 2n 1 2a(14)x2n 1e ax2dxnn!2an(15)(16)xeax 2abxe sin bxdx 2 2 2 0(

3、a 2 b2 )222 ax a b cosbxdx 2 2 2(a2 b2 )2( a 0)(a 0)1.簡答題束縛態(tài)、非束縛態(tài)及相應(yīng)能級的特點。2.簡并、簡并度。3.用球坐標表示， 粒子波函數(shù)表為 r, , ，寫出粒子在立體角 d 中被測到的幾率。4. 的幾率。用球坐標表示，粒子波函數(shù)表為 r, , ，寫出粒子在球殼 r , r dr 中被測到5. 一粒子的波函數(shù)為 r x,y,z ，寫出粒子位于6. 寫出一維諧振子的歸一化波函數(shù)和能級表達式。7. 寫出三維無限深勢阱0, 0 x a,0 y b, 0 z c, 其余區(qū)域x x dx間的幾率。V(x,y,z)中粒子的能級和波函數(shù)。0, V(

4、x) ,8. 一質(zhì)量為 的粒子在一維無限深方勢阱 , 中運動，寫出其狀態(tài)波函數(shù)和能級表達式。9. 何謂幾率流密度？寫出幾率流密度j (r , t)的表達式。z 表象中的泡利矩陣。0 x 2ax 0, x 2a10. 寫出在11.12.電子自旋假設(shè)的兩個要點。 L2 ,L )L ,L z)的共同本征函數(shù)是什么？相應(yīng)的本征值又分別是什么？s寫出電子自旋 z 的二本征態(tài)和本征值。13.14. 給出如下對易關(guān)系：y,pyL2 , L x ?xz,pxs x , syLy,Lzyz,zy2sin ax a2 dxx2 2，15. s、 L分別為電子的自旋和軌道角動量， J s L 為電子的總角動量。證明

5、： L2,L 0, s2,s 0, J2,s L 0，J2 ,J =0，其中x、 y、 z,J s L 。(r , / 2)(r , sz)(r ,/ 2)16. 完全描述電子運動的旋量波函數(shù)為(r ,/ 2) ，及 d 3 r (r, /2)準確敘述(r, / 2)17. 二電子體系中，總自旋 態(tài)與三重態(tài)) 。2 分別表示什么樣的物理意義。2S s1 s2 ，寫出( S ,Sz )的歸一化本征態(tài)(即自旋單18. 何謂正常塞曼效應(yīng)？何謂反常塞曼效應(yīng)？何謂斯塔克效應(yīng)？19. 給出一維諧振子升、降算符 a 、a 的對易關(guān)系式；粒子數(shù)算符 N 與 a 、a 的關(guān)系；哈 密頓量 H 用 N 或 a 、

6、a 表示的式子； N (亦即 H )的歸一化本征態(tài)。 矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。20. 二粒子體系，僅限于角動量涉及的自由度，有哪兩種表象？它們的力學(xué)量完全集分別是 什么？兩種表象中各力學(xué)量共同的本征態(tài)及對應(yīng)的本征值又是什么？ 聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈。21. 使用定態(tài)微擾論時，對哈密頓量 H 有什么樣的要求？22. 寫出非簡并態(tài)微擾論的波函數(shù)(一級近似)和能量(二級近似)計算公式。23. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)(x) 可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)n(x) 展開：(x)ncn n (x)寫出展開式系數(shù) cn 的表達式。pp, H ?H V(x) x, H24. 一維運動中，哈密頓量 m ，求 x

7、, H25. 什么是德布羅意波？并寫出德布羅意波的表達式。26. 什么樣的狀態(tài)是定態(tài)，其性質(zhì)是什么？27. 簡述測不準關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫出坐標x和動量 p?x 之間的測不準關(guān)系。28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特點？29. 全同玻色子的波函數(shù)有什么特點？并寫出兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。二、計算題(一) .已知厄密算符 A?, B?，滿足 A?2 B?2 1，且 A?B? B?A? 0，求1、在 A 表象中算符 A?、 B?的矩陣表示；2、在 B 表象中算符 A?的本征值和本征函數(shù)；3、從 A 表象到 B 表象的幺正變換矩陣 S。(二) . 設(shè)氫原子在 t 0 時處于狀態(tài)11

8、1(r,0)R21 (r )Y10 ( , )R31 ( r )Y10 ( , )R21(r)Y1 1( , )222，求1、t 0時氫原子的 E 、 L?2和 L?z的取值幾率和平均值；2、t 0 時體系的波函數(shù)，并給出此時體系的 E 、 L?2和 L?z的取值幾率和平均值。三)考慮一個三維狀態(tài)空間的問題，在取定的一組正交基下哈密頓算符由下1 0 00C0H?0 3 0C00面的矩陣給出0 0 200C這里，H? H?（0） H? ，C是一個常數(shù)， C 1，用微擾公式求能量至二級修正 值，并與精確解相比較。四）、令 S Sx iSy， S Sx iSy ，分別求 S 和 S 作用于 Sz的本

9、征態(tài)10和102 1 的結(jié)果，并根據(jù)所得的結(jié)果說明S 和 S 的重要性是什五）、線性諧振子在 t 0 時處于狀態(tài)(x,0)1、在 t 0時體系能量的取值幾率和平均值。 2、t 0 時體系波函數(shù)和體系能量 的取值幾率及平均值六）、當 為一小量時，利用微擾論求矩陣1 202 230 3 3 2 的本征值至 的二次項，本征矢至 的一次項（七）、一體系由三個全同的玻色子組成 , 玻色子之間無相互作用 . 玻色子只有 兩個可能的單粒子態(tài) . 問體系可能的狀態(tài)有幾個 ? 它們的波函數(shù)怎樣用單粒子 波函數(shù)構(gòu)成 ?殘騖樓諍錈瀨濟溆塹籟。（八）、粒子在一維勢場 V（x）中運動 ,證明:屬于不同能級的束縛態(tài)波函數(shù)

10、互相 正交。（設(shè) 1、 2分別屬于能級 E1、 E2的束縛態(tài)波函數(shù)，由于是一維束縛態(tài)，1（x） 2（x）dx 01 、 2 都是實函數(shù)，故只需證明） 釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。（九）、已知二階矩陣 A、B滿足： A2 0， AA A A 1，B A A，在 B表 象中，求出矩陣 A、 B。（十）、在S?z表象中，求自旋算符 S?在n cos ,cos ,cos 方向投影算符 S?n S? n S?x cos S?y cos S?z cos 的本征值和相應(yīng)的本征態(tài)。（十一）、用 （a bx）e x 做嘗試波函數(shù)，用變分法求諧振子的基態(tài)能量。（十二）、一電荷為 q的線性諧振子受恒定電場 作用，電場沿正

11、 x 方向。用 微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。（十三）、（ 1）力學(xué)量算符 A?滿足最簡單的代數(shù)方程為f（A?） A? C1A? C2A?Cn 0，其中 C1、C2 、為常數(shù)，試證明 A?有n 個本征值，它們都是方程 f （ x） 0 的根。（2）若以 a 和a 表示費米子體系的某個單粒子態(tài)的產(chǎn)生和湮滅算符，滿足基本 對易式： a,a aa a a 1，且a2 0，（a ）2 0，以 n a a表示該單粒 子態(tài)上的粒子數(shù)算符，利用（ 1）的結(jié)論，求 n 的本征值。 彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。（十四）、有一帶電荷 e 質(zhì)量 m 的粒子在平面內(nèi)運動 ,垂直于平面方向磁場是 B, 求粒子能量允許值 .十五）、1 2 2V （x ）m x試用量子化條件 , 求諧振子的能量 諧振子勢能2 （十六）、對于無限深勢阱中運動的粒子（見圖3-1）證明a 2 a 26x a（x x）（1 2 2 ）2 12 n 2 2 并證明當 n 時上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。十七）、利用測不準關(guān)系估計類氫原子中電子的基態(tài)能量（設(shè)原子核帶電Ze）。十八）、在 ?z 表象中，求 ?x 的本征態(tài)（十九）、一維無限深勢阱（ 0 x a ）中的粒子受到微擾：2 x （0 x a ） H / （x） a x 22 （1 ）