第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 序言 數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容: 微積分 研究的對(duì)象: 函數(shù)(連續(xù)量) 什么是連續(xù)量? 初等數(shù)學(xué): 主要是離散量的運(yùn)算體系 (加, 減, 乘, 除) 兩種體系的區(qū)別：初等數(shù)學(xué)主要是恒等變形技巧; 而數(shù)學(xué)分析則是用不 等式來刻劃等式(用極限的概念) 學(xué)習(xí)方法的不同： 初、高中： 從填鴨式 啟發(fā)式， 以教師為主，強(qiáng)烈地依賴于教師。 大學(xué)： 從啟發(fā)式 個(gè)人自發(fā)，以學(xué)生本身為主，教師引導(dǎo)。 學(xué)習(xí)目的：掌握微積分，極限，實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念和方法，更主要的是， 培養(yǎng)自己的積極思考問題、分析問題和解決問題的能力。 一、內(nèi)容簡介一、內(nèi)容簡介 主要講述實(shí)數(shù)系的連續(xù)性（戴德金意義下）、確界定義和確 界

2、存在定理。由于本章是建立數(shù)學(xué)分析理論的基礎(chǔ)，對(duì)于習(xí) 慣于中學(xué)數(shù)學(xué)思維方式的大學(xué)新生來講，會(huì)感到很抽象，學(xué) 習(xí)的難度相對(duì)會(huì)大一些 二、學(xué)習(xí)要求二、學(xué)習(xí)要求 （1）了解數(shù)系的演變； （2）正確理解上、下確界的概念； （3）掌握實(shí)數(shù)連續(xù)性描述：確界存在定理 三、學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)三、學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：確界存在定理，實(shí)數(shù)系的連續(xù)性的描述 難點(diǎn)：上、下確界的分析描述，實(shí)數(shù)系連續(xù)性的描述 一一 實(shí)數(shù)的引入實(shí)數(shù)的引入 自然數(shù)自然數(shù) 減法減法 負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù) 除法除法 有理數(shù)有理數(shù) 開方開方 無理數(shù)無理數(shù) c q z 無理數(shù)的引入：無理數(shù)的引入：1）無限小數(shù)）無限小數(shù) 2）區(qū)間套理論）區(qū)間套理論 3）分劃法

3、）分劃法 4）有理數(shù)基本序列的等價(jià)類定義）有理數(shù)基本序列的等價(jià)類定義 n q 第一節(jié)實(shí)數(shù)第一節(jié)實(shí)數(shù) 也可用有也可用有 限十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)循環(huán)小數(shù)來表示；限十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)循環(huán)小數(shù)來表示； 1. 1. 實(shí)數(shù)的無限十進(jìn)制表示實(shí)數(shù)的無限十進(jìn)制表示 有理數(shù)可用分?jǐn)?shù)形式有理數(shù)可用分?jǐn)?shù)形式 p q 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù). . 而無限十進(jìn)不循環(huán)小而無限十進(jìn)不循環(huán)小 數(shù)則稱為數(shù)則稱為無理數(shù)無理數(shù). . （p p、q q為整數(shù)，為整數(shù)，q q00）表示，）表示， 012 . n xa a aa 09, i a 1,2,0 n in a 012 .(1)999 9, n xa a

4、aa 0 xa 規(guī)定規(guī)定 對(duì)于正有限小數(shù)（包括正整數(shù)）對(duì)于正有限小數(shù)（包括正整數(shù)）x ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，其中時(shí)，其中 而當(dāng)而當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，為正整數(shù)時(shí)， 記記 a0 為非負(fù)整數(shù)，為非負(fù)整數(shù)， 0 (1).999 9,xa 例如例如 2.001 記為記為 2.000 999；對(duì)于負(fù)有限?。粚?duì)于負(fù)有限小( (包括負(fù)數(shù)包括負(fù)數(shù)) ) y， 則記則記 則先將則先將 - -y 表示為無限小數(shù)，表示為無限小數(shù)， 再在所得無限小數(shù)之前加負(fù)號(hào)再在所得無限小數(shù)之前加負(fù)號(hào). . 例如例如 -8 記為記為 -7.999 9； 又規(guī)定數(shù)又規(guī)定數(shù) 0 表示為表示為 0.0000. 于是，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示

5、于是，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示. . 例例1 1 1）證明）證明 6不是有理數(shù)不是有理數(shù) 2）證明）證明32 是無理數(shù)是無理數(shù) 二二 兩個(gè)實(shí)數(shù)的比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的比較 . )2 , 1(, , 0 1, . 90 , 90), 2 , 1(, ,.,. 1100 00210210 xyyxx，yyx balkbalba y；x，yxkba ba，kba ，babbbbyaaaax llkk kk kkkk nn 或分別記為小于或大于則稱 而使得或存在非負(fù)整數(shù)若 記為相等與則稱若有 為整數(shù) 為非負(fù)整數(shù)其中 定義定義1 1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 定義定義2 2 012 . n

6、 xa a aa 為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù) 012 . nn xa a aa 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) x 的的 n 位不足近似位不足近似， 1 10 nnn xx 稱為稱為 x 的的 n 位過剩近似位過剩近似， n = 0, 1, 2, 2, 。 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 012 ., n xa a aa 其其 n 位不足近似與過位不足近似與過 剩近似分別規(guī)定為剩近似分別規(guī)定為 012 1 . 10 nnn xa a aa 與與 012 . nn xa a aa 。 以下給出通過有限小數(shù)來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的等價(jià)條件以下給出通過有限小數(shù)來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的等價(jià)條件. . 設(shè)設(shè) 而有理數(shù)而有理數(shù)

7、 n x 012 .xxx 注注 不難看出，實(shí)數(shù)不難看出，實(shí)數(shù) x 的不足近似的不足近似 xn 當(dāng)當(dāng) n 增大時(shí)不減增大時(shí)不減, , 當(dāng)當(dāng) n 增大時(shí)不增，增大時(shí)不增， 即有即有 x0 x1 x2 ； 而過剩近似而過剩近似 012 . n xa a aa 與與 012 . n yb b bb 命題命題 則則 xy 的等價(jià)條件是的等價(jià)條件是: : 存在非負(fù)整數(shù)存在非負(fù)整數(shù) n 使得使得 為兩個(gè)實(shí)數(shù)為兩個(gè)實(shí)數(shù), , , nn xy 其中其中 xn表示表示 x 的的 n 位不足近似，位不足近似， n yyn表表 示示 的的位位過剩近似。 過剩近似。 關(guān)于這個(gè)命題的證明，以及關(guān)于實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算法則的定

8、關(guān)于這個(gè)命題的證明，以及關(guān)于實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算法則的定 義，可參閱本書附錄義，可參閱本書附錄iiii第八節(jié)。第八節(jié)。 例例2 2 設(shè)設(shè) x、y 為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，x y . . 證明：存在有理數(shù)證明：存在有理數(shù) r 滿足滿足 x r y . . 即有即有 設(shè)設(shè) 三三 實(shí)數(shù)的性質(zhì)實(shí)數(shù)的性質(zhì) 1 實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性. 2 有序性有序性 . 3 傳遞性傳遞性. 4 具有阿基米德（）性，即對(duì)任具有阿基米德（）性，即對(duì)任 何何 ，若，若 , 則存在正整數(shù)則存在正整數(shù) 使得使得. archimedes rba , 0 ab n bna 實(shí)數(shù)的稠密性，即任何兩實(shí)數(shù)之間必有另實(shí)數(shù)的稠密性，即任何兩實(shí)數(shù)之間必有另 一實(shí)數(shù)，且既有有理數(shù)，也有無理數(shù)一實(shí)數(shù)，且既有有理數(shù)，也有無理數(shù). 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng). 例例3 3設(shè)設(shè) ，證明：若對(duì)任何正數(shù)，證明：若對(duì)任何正數(shù)， 有，則有，則 rba , baba 注注：為常數(shù)，不能為變數(shù)：為常數(shù)，不能為變數(shù)rba , 4 4對(duì)于任何對(duì)于任何a、br ，有如下的三角形不等式：有如下的三角形不等式： .ababab ;ahhah 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a 的絕對(duì)值定義、幾何