量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、1. 粒子的雙縫實(shí)驗(yàn)的結(jié)論是什么？ 答：粒子具有波動(dòng)性2. 在量子力學(xué)中，波函數(shù)的波動(dòng)方程是什么？它是定態(tài)薛定諤方程嗎？2答：量子力學(xué)中波函數(shù)的波動(dòng)方程是V 不 顯含 時(shí)間 t ，其 形 式是i t (r ,t) 2m 2 V(r) (r,t)，它不是定 態(tài) 薛定 諤方 程 ，定 態(tài)薛 定 諤方 程是 假 設(shè)勢(shì)能22E (r) 2 V(r) (r )2m3. 波函數(shù)除了歸一化要求之外的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件是什么？ 答：?jiǎn)沃?、連續(xù)、有限。4. 寫出一維無限深方勢(shì)阱的能量本征函數(shù)及能量本征值。 答：U ( x )0,x0,xxaothersH?2P?x22U(x)n(x)2sin(a222hnEn2n2a

2、H?n(x)E n n ( x )nx1 , 2, 3, L),n),a1, 2,3,L5.6.寫出一維線性諧振子的能量本征函數(shù)及能量本征值。 答：U(x)122x2H?P?x2x122x,H? n ( x ) E n n ( x )222x22n(x)N n H n( x ) e2 , n 0,1 , 2, LEn(n1)h, n 0,1, 2, L2什么叫做粒子的共振穿透？請(qǐng)舉例說明。射系數(shù) T=1 ，這種現(xiàn)象就叫做共振穿透。如上圖所示，粒子在有限深勢(shì)阱中，我們?cè)O(shè)k122Ek222 (E Vo )2則透射系數(shù) T4k12k224k12k22 (k12 k22)2sin2 k2l2當(dāng) k2L

3、 n 即 En ( n )2 V0時(shí)， T 1 ，產(chǎn)生共振穿透。2L7. 什么叫做粒子的遂穿效應(yīng)？請(qǐng)舉例說明。 答：粒子在能量 E 小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。金屬電子冷 發(fā)射和衰變等現(xiàn)象等都是隧道效應(yīng)產(chǎn)生的，還有基于兩字隧道效應(yīng)的掃描隧道顯微 鏡。8. 粒子的共振穿透與粒子的遂穿效應(yīng)有何區(qū)別？ 答：共振穿透的物理意義是，入射粒子進(jìn)入勢(shì)阱后，碰到兩側(cè)阱壁時(shí)將發(fā)生反射和透射，如粒子能量合適，使它在阱內(nèi)波長(zhǎng) 滿足 n 2a(a 為阱的寬度) ，則經(jīng)過各次 反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干疊加，使透射波波幅大增，從而出現(xiàn) 共振透射。而遂穿效應(yīng)其實(shí)是粒子具有波動(dòng)性的表現(xiàn)。

4、9. 什么叫做厄米算符？它有什么性質(zhì)？答：如果算符 F 滿足F? dv (F? ) dv ，則稱算符 F 為厄米算符。厄米算符有三點(diǎn)性質(zhì)，一是體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)；二是厄米算符 的本征值必為實(shí)數(shù)；三是厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。10. 量子力學(xué)中兩個(gè)基本力學(xué)量是什么？在坐標(biāo)表象中，用什么算符表示？答： 量子力學(xué)中兩個(gè)基本力學(xué)量是坐標(biāo) r 和動(dòng)量 p ，在坐標(biāo)表象中，坐標(biāo) r 用坐標(biāo)算符 r表示，動(dòng)量用動(dòng)量算符 p表示。11. 動(dòng)量算符的本征函數(shù)和本征值是什么？其本征函數(shù)如何歸一？1i答：動(dòng)量算符的本征函數(shù)是：p(r)3 exp( p r ) ，其本征值為

5、p。其只能( 2 ) 2歸以為函數(shù) 函數(shù)，即 *p (r) p(r)d (p p)。12. 在三維直角坐標(biāo)系中，角動(dòng)量算符的表示式是什么？動(dòng)量(矢量)算符的本征函數(shù)和 本征值是什么？L?xy?p?zz?p? yihyzzy答： L? yz?p?xx?p? zihzxxzL?zx?p? yy?p? xihxyy動(dòng)量算符的本征函數(shù)和本征值如上。13. 在球坐標(biāo)系中，角動(dòng)量平方算符的表示式又是什么？它的本征函數(shù)和本征值是什么？ 其中什么是軌道角動(dòng)量量子數(shù)（角量子數(shù)）？取值范圍是哪些數(shù)值？L?2L?2xxL?2yctgctg答：sinsin2sinh 2 D?D?1 sinsin2sinL?2 Y l

6、m (,)l (l 1)h2Ylm (, )L?zYlm (,)m h Ylm (, )l 表征軌道角動(dòng)量的大小，稱為軌道角動(dòng)量角量子數(shù)， l ，m 則稱為軌道角動(dòng)量的磁量子數(shù)，對(duì)應(yīng)于一個(gè) l 的值， m 可取 （2l+1） 個(gè)值，m=l,l-1,l-2, ,1,0,-1,-2, ,-l14. 在球坐標(biāo)系中，角動(dòng)量在極軸上的投影算符如何表達(dá)？其本征函數(shù)和本征值是什么？ 其中什么是軌道角動(dòng)量磁量子數(shù)（磁量子數(shù)）？取值范圍是哪些數(shù)值？ 答：答案如上15. 量子力學(xué)中關(guān)于波函數(shù)與力學(xué)量的兩個(gè)假設(shè)，告訴你什么結(jié)論，試用你自己的語言歸 納出 5 條結(jié)論。答： 量子力學(xué)基本假設(shè)描寫物理系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)的總體，

7、 構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間。 系統(tǒng)的每一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量， 由對(duì)這 些態(tài)函數(shù)施加作用的一個(gè)厄米算符描寫。量子力學(xué)基本假設(shè)當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài) 時(shí)，對(duì)與算符 F? 對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)變量進(jìn)行足夠多次的測(cè)量，得到的測(cè)量結(jié) 果的算術(shù)平均值 F? 為：F?F? d 3rd3r若 已經(jīng)歸一化，則有：F? F? d 3r結(jié)論：1、對(duì)于一個(gè)微觀體系其狀態(tài)可以用波函數(shù)表示， 的絕對(duì)值的平方描述了粒子的幾率密度。2、當(dāng)體系的勢(shì)能表達(dá)式中不顯含時(shí)間時(shí)，可用定態(tài)薛定諤方程描述其狀態(tài)。3、體系的波函數(shù)要具備連續(xù)、單值、有限的特性。4、量子力學(xué)中表征力學(xué)量的算符都是厄米算符，其本征值都是實(shí)數(shù)。5、體系的波函數(shù)是兩兩正交，自歸一算符本征函數(shù)

8、。16. 什么是對(duì)易算符？他們的本征函數(shù)有什么性質(zhì)？什么是非對(duì)易算符？非對(duì)易算符能有 共同的本征函數(shù)嗎？答：若兩算符 A和 B滿足（ A，B）=0 ，則稱算符 A和 B為對(duì)易算符， 如果兩個(gè)算符 A和 B 為對(duì)易算符，則說明兩個(gè)算符有共同的完備的本征函數(shù)組，在他們共同的本征函 數(shù)描述的狀態(tài)下，測(cè)量這兩個(gè)算符對(duì)應(yīng)的力學(xué)量，可以同時(shí)得到對(duì)應(yīng)的本征值。若兩 算符 A和 B不滿足 （ A，B）=0 ，則其不是對(duì)易算符，沒有共同的本征函數(shù)。 如果兩個(gè)力學(xué)量 A和 B的對(duì)易子不等于零， 則說明兩個(gè)算符沒有共同的完備的本征函數(shù)組即不存在共同的本征態(tài)，使測(cè)量的兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)有確定值。 也就是說， 我們不能同時(shí)

9、 準(zhǔn)確得到他們對(duì)應(yīng)的本征值。17. 歸納學(xué)習(xí)過的對(duì)易算符和非對(duì)易算符。p?x i h , y?, p? y i h , z?,p?zihx?,y? 0,y?, z?0,?, z?0p?x,p? y 0,p?y,p?z0,p?x ,p?z 0y?,p? x0,z?, p? y0,x?, p?z0, L LL?x,L?yihL?z,L?y, L?zihL?x ,L?z, L?xihL?yr? r?r?LLihLL?x,L?20,L?y , L?20, L?z, L?2018. 什么叫做力學(xué)量的完全集合？答：要完全確定體系所處的狀態(tài)（消除簡(jiǎn)并） ，需要有一組相互對(duì)易的力學(xué)量（即通過它們 的本征值來完

10、全確定體系所處的狀態(tài)） 。這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量成為力學(xué)量的完 全集合。在完全集合中，力學(xué)量的數(shù)目一般與體系的自由度的數(shù)目相等。19. 用什么方式表示非對(duì)易算符在某一個(gè)狀態(tài)下的不確定性？ 答：非對(duì)易算符力學(xué)量在同一個(gè)態(tài)中的不確定程度可以用下列方式表示：偏差： F? F? F?,均方偏差： （ F?） 2均方根偏差（標(biāo)準(zhǔn)差）G?( G) 22 F? F? ,2G? G? 220. 坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)原理是什么？ 答：坐標(biāo)和動(dòng)量沒有共同的本征函數(shù)，故不能同時(shí)被準(zhǔn)確確定。 由海森堡不確定關(guān)系：F? , G? i ?,F?F?F? ,G?G? G?F? ,G?i ?,對(duì)于一維坐標(biāo)和動(dòng)量算符：A

11、ssignment 1 for Quantum Mechanics1. 什么理論支持光的波動(dòng)性？什么實(shí)驗(yàn)又體現(xiàn)了光的粒子性？光的粒子性表現(xiàn)在光子的 能量和動(dòng)量表達(dá)式中，請(qǐng)寫出他們。答：光的干涉和衍射理論都支持光的波動(dòng)性；光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)了光的粒子性；光子 的能量和動(dòng)量表達(dá)式為： E h w, p h n k 。2. 什么實(shí)驗(yàn)表明了電子的波動(dòng)性？什么實(shí)驗(yàn)說明微觀粒子的波是幾率幅波？ 答：電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)表明了電子的波動(dòng)性；氫原子核外電子的電子云實(shí)驗(yàn)說明了微 觀粒子的波是幾率幅波。3. 對(duì)于相干的光波，什么物理量是可以疊加的？對(duì)于非相干的光波，什么物理量是不可 以疊加的？什么物理量是可以疊加的？

12、答：對(duì)于相干的光波，其波函數(shù)是可以疊加的；對(duì)于非相干的光波，其波函數(shù)是不可 以疊加的，其光強(qiáng)是可以疊加的。4. 對(duì)于不相干的宏觀粒子，幾率可以相加嗎？對(duì)于微觀粒子，幾率可以相加嗎？幾率幅 可以相加嗎？ 答：對(duì)于不相干的宏觀粒子，幾率可以疊加；對(duì)于不相干的微觀粒子，幾率可以疊加， 幾率幅不可以疊加。5. 什么叫做波函數(shù)的強(qiáng)度？ 答：波函數(shù)振幅絕對(duì)值的平方。6. 什么叫做幾率密度？用什么表示？答：在時(shí)刻 t，在( x， y，z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率，用歸一化后的波函 數(shù)的平方表示，即 | (x,y,z,t) |2 。7. 什么叫做波函數(shù)歸一化？答：設(shè)在空間點(diǎn)( x，y，z)處單位體積找到

13、粒子的幾率為幾率密度，用w(x,y,z,t) 表示，則 w(x, y,z,t) dW(x,y,z,t) d 狀態(tài)的波函數(shù)，則對(duì)上式在全空間積分，于 1，所以有 C | (x,y,z,t)|2 d2C| ( x, y, z,t ) |2 ，其中 (x,y,z,t) 是描寫離子得到粒子在全空間出現(xiàn)的幾率，這個(gè)幾率等1，若存在波函數(shù)(x,y,z,t) C (x, y,z,t)，則這兩個(gè)波函數(shù)所描述的是同一個(gè)狀態(tài)。 若 | (x,y,z,t)|2 d 1，則稱 (x,y,z,t) 為歸一化波函數(shù)，上式稱為歸一化條件把(x,y,z,t)換為 (x, y, z, t)的步驟稱為歸一化，常數(shù) C 稱為歸一化常數(shù)。8. 寫出自由粒子波函數(shù)。i ( po r Eot)答： po (r,t) A e9. 希爾伯特空間的基矢有和性質(zhì)？在希爾伯特空間中，寫出任意矢量的表達(dá)式。N答：Cn n ，希爾伯特空間的基矢是正交歸一的。n11