用牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑的數(shù)據(jù)處理方法

1、用牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑的數(shù)據(jù)處理方法步超 100104103 機械工程及自動化摘要：牛頓環(huán)實驗是大學物理實驗中非常重要的實驗，以單色平行光投射到牛頓環(huán)裝置上， 則由空氣膜上下表面反射的光波將互相干涉， 形成的干涉條紋為博 的等厚各點的軌跡， 這種干涉是一種等厚干涉。 處理該實驗的測量數(shù)據(jù)常采用逐 差法，最小二乘法，加權(quán)平均以及其它方法。通過介紹用逐差法、線性回歸法、 加權(quán)平均法處理牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑數(shù)據(jù)的方法和過程。 比較三種實驗數(shù)據(jù)處 理方法的優(yōu)缺點 ,其中加權(quán)平均法既考慮了如何克服實驗的系統(tǒng)誤差 , 又能按照 處理原則去對待非等精度測量 , 且建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎上。該方法主要是比 較

2、相應的權(quán) , 進而求出加權(quán)平均值 , 得出加權(quán)平均法為牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理的最 佳方法，但加權(quán)平均法中要計算的數(shù)據(jù)較多， 公式較多， 較傳統(tǒng)的方法要復雜的 多。故 探討如何簡化加權(quán)平均法， 利用 Matlab 軟件進行處理。關(guān)鍵字 ：牛頓環(huán)實驗、加權(quán)平均法、非等精度實驗數(shù)據(jù)的處理、干涉條紋 、加 權(quán)平均值 英文譯文： Buchao 100104103 Mechanical engineering and automationNewton rings experiment is university physics experiment is very important experiment,

3、deal with the experimentThe test data of the long through gradual deduction method, the least square method, and the weighted average, and other methods. Through the detailed introduction is used by differential method, linear regression method, the weighted average method to deal with Newton ring t

4、he lens curvature radius the method and process of data. Compare three kind of experiment data processing and the advantages and disadvantages of the methods, of which the weighted average method takes into account both the how to overcome the experiment system error, and can according to principles

5、 of management to treat the measurement precision, and established in the mathematical statistics theory basis. This method is mainly to compare the corresponding rights, and seek the weighted average, draw the weighted average method for Newton rings experiment data processing the best method, but

6、the weighted average method to compute the data in the more, the formula is more, more traditional method is more complicated. Discusses how to simplify the weighted average method, use of Matlab software for processing.Key word: of Newton rings experiments, weighted average method, the accuracy of

7、experimental data processing, the interference fringes, weighted average引言：牛頓環(huán)是牛頓在 1675 年所做的著名實驗。牛頓環(huán)是等厚干涉的一種，它在 光學計量、 基本物理量測量等方面有廣泛的應用： 用牛頓環(huán)測定光波的波長、 透 鏡曲率半徑，用牛頓環(huán)來檢驗磨制透鏡的質(zhì)量等。 處理牛頓環(huán)的測量數(shù)據(jù)常采用逐差法， 最小二乘法， 加權(quán)平均以及其它方法， 因 為該實驗測量是非等精度的測量， 逐差法可以很好的克服實驗的系統(tǒng)誤差， 但是 沒有按照數(shù)據(jù)的處理原則去對待非等精度的測量， 該方法雖然被廣泛的使用， 但 是處理的結(jié)果并不是很理

8、想， 最小二乘法回避了非等精度性的困難， 但是它沒有 考慮實驗的系統(tǒng)誤差， 所以用該方法來處理實驗得到的數(shù)據(jù)也不是很理想的。 基 于以上兩中方法的利弊， 本實驗可以采用加權(quán)平均法來處理實驗數(shù)據(jù)， 它既考慮 了如何消除實驗的系統(tǒng)誤差， 又按照了數(shù)據(jù)處理原則來處理非等精度的測量， 因 此它是處理牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)的較為理想的方法。1 實驗原理牛頓環(huán)儀是由待測平凸透鏡 L（曲率半徑約為 200700 cm）和磨光的平玻璃板 P疊合裝在金屬框架 F中構(gòu)成（如圖一） ，框架上有三個螺旋 H，用以調(diào)節(jié) L和 P 之間的接觸，改變干涉環(huán)紋的形狀和位置。調(diào)節(jié) H時，螺旋不可旋的過緊，以免 接觸壓力過大引起透鏡彈性

9、形變，甚至損壞透鏡。圖二測量原理如圖二所示將曲率半徑很大的平凸透鏡的凸面放在一光學平面玻璃上，在 透鏡和平面之間形成空氣膜，以平行單色光垂直照射時，經(jīng)空氣膜層上，下兩表 面反射的兩束光發(fā)生干涉，在空氣膜上表面出現(xiàn)一組干涉條紋。干涉條紋是以接 觸點 O為圓心的一系列同心圓環(huán)，稱為牛頓環(huán)。在圖中，設 r 為牛頓環(huán)某環(huán)的半徑， e 為與該環(huán)對應的空氣膜層的厚度。 考慮 到光在空氣膜下表面反射的光，是從光疏介質(zhì) （空氣）入射到光密介質(zhì) （ 玻璃） ，有 半波損失，而在空氣膜上表面反射的光，是從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)，無半波 損失。所以在空氣膜上、下表面反射的兩束反射光的光程差為2e （1）2在直角三角

10、形 AOC中，有R2 （R e）2 r 2從而得2r e2R e考慮到 eR, e 跟 R相比可以略去，即(2)2 r 2R代入（ 1）式，可得到2R2根據(jù)干涉相長和干涉相消的條件可得明環(huán)半徑為r(2k 1)R)(3)2(k 1,2,暗紋半徑為rkR(k 0,1,2,)(4)必須指出，由于干涉條紋有一定寬度， 上式中的 r是第 K 級牛頓環(huán)的條紋中心到圓環(huán)中心的距離， 根據(jù)二光相干時光強分布的理論計算可知， 各級牛頓環(huán)的 條紋寬度并不相同， K 愈小，即距離環(huán)中心愈近， 條紋愈粗， 中心為一圓形暗斑。將（ 4）式加以變換，可得(5)R rk2 /k顯然，只要測出第 K級暗紋的半徑 r k，由已

11、知波長 即可根據(jù)上式算出曲率 半徑 R。但由于接觸壓力引起的彈性形變使接觸部位不是一個點而是一個小圓 面， 圓環(huán)中心為一暗斑，使得中心難以找準，這樣，干涉級數(shù) k和第 k級暗紋 半徑 rk 都難以測準，另外，接觸面鏡面上可能有微小灰塵存在，會引起附加光 程差，這會給測量帶來系統(tǒng)誤差。設Dm、Dn分別是第 m級和第 n級暗環(huán)的直徑，由式 （4） 可得到：22Dm2 4RmDn2 4Rn22R (Dm2 Dn2)/4(m n) (6)R (rm rn)(rm rn) (m n) (7)不難證明用上面的式子計算曲率半徑 R 可消除前面所述因素的影響，而且 即使中心 O未能找準， 測量的 D不是直徑而

12、是牛頓環(huán)的弦長， 也不產(chǎn)生原理性誤 差。本實驗已知鈉光波長 =5 8 9.3 nm ，測出 Dm和 Dn代入 （6） 式即可求出 R。2 牛頓環(huán)干涉條紋的特點（1）干涉圖樣是以接觸點為圓心的一組明、 暗相間的同心圓環(huán)，有半波損失時， 中間為一暗斑。（ 2） 從中心向外，條紋級數(shù)越來越高，條紋的間隔越來 越密。（3）用白光照射將形成彩色光譜，對每一級光譜，紅色 的在外圈，紫色的在內(nèi)圈。（ 4） 增大透鏡與平板玻璃間的距離， 膜的等厚線向中心 收縮，則干涉圓環(huán)也向中心收縮（內(nèi)陷） ，膜厚每改變/2n2 ，條紋就向外冒出（擴張）或向中心內(nèi)陷一條。3 實驗數(shù)據(jù)處理：定義 2Dk2 Dk2 m 為 m個

13、相鄰牛頓換直徑平方差的測量精度，由誤差傳 遞推倒可以得到：2 2 2 2 22Dk2 Dk2m 0.0002 （Dk2 Dk2 m）由此可見，當 k取不同的值的時候，2Dk2 Dk2 m 也不同，所以該實驗是非等 精度的測量，應該用加權(quán)平均法處理該實驗的數(shù)據(jù)，不妨令Xk Dk2 Dk2 m ，由于本實驗的 m 20,所以X k Dk2 Dk2 20 ，且 X k相應的權(quán)重 為a 1 1 ，ak2Dk2 Dk2202Xk ，所以加權(quán)平均值為：(ak Xk) ， X k，ak很明顯， X1,X2Xn,都是非等精度的測量值，其對應的權(quán)值分別為：a1,a2an ，所以 X k的均方差誤差為：Sak (

14、X k X k)2 ，X k(n 1) ak由此可見，22(Dk2 Dk2 m ) X k ， R， 4m 4mSXk SkR 4m最終的結(jié)果為：RRSR3.1 加權(quán)平均法 :R3=R3 R3=(1 271.1 0.2) mm下面對這三種數(shù)據(jù)處理方法進行檢驗 , 選擇最優(yōu)的數(shù)據(jù)處理方法 , 檢驗方法較 多,現(xiàn)選擇采用 t 分布檢驗 9:t=x1-x2(n1-1) 2 1+(n2-1) 2 2 (1/n1+1/n2) 式中:n1 和 n2分別為凸透鏡球面的上、 下兩面的折射率 , 由于凸透鏡球面周 圍都為空氣薄膜 , 故 n1=n2, 則令=n1+n2-2=2(n-1),:t= (-R2)/(

15、2R1+2R2)方法 1 與方法 2 比較計算,可得:t1=0.350; 方法 2 與方法 3 比較計算 ,可 得 :t2=0.340 。若取顯著水平 =10%,則置信率 p=90%,=18, 查 t 分布表可得 10t =1.734, 則|t1|=0.3541.734,|t2|=0.3401.734。若 取 = 50 %,則 p=50%, =18, 查 表得 t =0.688, 則 |t 1|=0.3540.688,|t2|=0.3400.688 。通過上面分析可以看出三種數(shù)據(jù)處理方法有如下特點 :(1) 逐差法主要是圍繞如何克服實驗的系統(tǒng)誤差來進行的 , 是建立在算術(shù)計 算的基礎上 , 但

16、并不滿足非等精度測量實驗數(shù)據(jù)處理的條件 , 而牛頓環(huán)干涉實驗 是非等精度測量 , 故逐差法對于牛頓環(huán)實驗來說并不是一種理想的數(shù)據(jù)處理方 法。(2) 線性回歸法主要是為了避免非等精度測量的困難 , 但未考慮該次實驗中 的系統(tǒng)誤差 , 所以線性回歸法對于牛頓環(huán)實驗來說也不是理想的數(shù)據(jù)處理方法。(3) 加權(quán)平均法既考慮了如何克服實驗的系統(tǒng)誤差 , 又能按照處理原則去 對待非等精度測量 , 且建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎上 , 所以加權(quán)平均法是處理牛頓 環(huán)實驗數(shù)據(jù)的最佳方法。3.2 實驗數(shù)據(jù)處理 MATLAB 程序function DP(D)L=D(1,:);n=numel(L);c=0.0002;X=0;

17、m=20,k=2, h=5893*power(10,-7);S3=0;S4=0;for i=1:n;a(i)=D(1,i)-D(2,i);b(i)=D(3,i)-D(4,i);x(i)=a(i)2-b(i)2;y(i)=a(i)2+b(i)2;p(i)=1/(c*y(i);endfor i=1:n;X=X+(p(i)*x(i)/sum(p(:);endfor i=i:n;S3=S3+p(i)*(x(i)-X)2;S4=S4+p(i);endS1=(S3/(S4*(n-1)0.5;R=X/(4*m*h*1000),S=k*S1/(4*m*h*1000),3.3 數(shù)據(jù)處理舉例環(huán)的級數(shù)( k)454

18、443424140左環(huán)的位置 /mm38.35338.27138.17638.07537.99437.901右環(huán)的位置 /mm22.20622.38322.53122.64422.73222.834環(huán)的級數(shù)( k-m)252423222120左環(huán)的位置 /mm36.32136.25636.14236.01435.88535.785右環(huán)的位置 /mm24.16424.40624.52924.65624.78124.912表 1：用牛頓環(huán)測量透鏡的曲率半徑實驗數(shù)據(jù)應用上述 MATLAB 程序處理該實驗數(shù)據(jù)得到的結(jié)果為：m = 20 k = 2 R = 2.3502S = 0.0381其中 m為該實驗所采用的級差， k 為不確定度的擴展系數(shù)， R為側(cè)得的透鏡 的曲率半徑的平均值