全國重點高中黃岡中學自主招生（理科實驗班）預錄考試數學 模擬試題（A卷）（附答案）

1、黃岡中學2015年自主招生（理科實驗班）預錄考試數學模擬試題（a卷）時間120分鐘，滿分120分一、選擇題（每小題5分，共30分）1已知，則代數式的值是（ ）a2013b2015c2016d20172已知，則s的的整數部分是（ ） a59b60c61d633已知四邊形abcd，下列條件：abcd；bcad；ab=cd；bc=ad；a=c；b=d. 任取其中兩個，可以得出“四邊形abcd是平行四邊形”的概率是（ ） abcd4如圖，矩形abcd的長為6，寬為3，點o1為矩形的中心，o2的半徑為1，o1o2ab于點p，o1o2=6若o2繞點p按順時針方向旋轉360，在旋轉過程中，o2與矩形的邊只有

2、一個公共點的情況一共出現（）a3次b4次c5次d6次5如圖，abcd是正方形場地，點e在dc的延長線上，ae與bc相交于點f有甲、乙、丙三名同學同時從點a出發(fā)，甲沿著abfc的路徑行走至c，乙沿著afecd的路徑行走至d，丙沿著afcd的路徑行走至d若三名同學行走的速度都相同，則他們到達各自的目的地的先后順序（由先至后）是（）a甲乙丙 b甲丙乙 c乙丙甲 d丙甲乙6已知adbc，abad，點e，點f分別在射線ad，射線bc上若點e與點b關于ac對稱，點e與點f關于bd對稱，ac與bd相交于點g，則（）a 1+tanadb= b2bc=5cfcaeb+22=def d4cosagb=二、填空題（

3、每小題5分，共30分）7如圖，在rtabc中，acb=90，ac=bc=2，以bc為直徑的半圓交ab于d，p是上的一個動點，連接ap，則ap的最小值是 .8如圖，邊長為n的正方形oabc的邊oa，oc在坐標軸上，點a1，a2an1為oa的n等分點，點b1，b2bn1為cb的n等分點，連結a1b1，a2b2，an1bn1，分別交曲線y=（x0）于點c1，c2，cn1若c15b15=16c15a15，則n的值為 （n為正整數）9設下列三個一元二次方程： ，其中至少有一個方程有實根，則實數a的取值范圍是 .10.已知圓o外一點p，p到圓心o的距離是半徑的2倍，過點p作圓o的切線pa、pb，延長ao交

4、pb于e，op交圓于點c，連接ac交pb于d，圓o的半徑是，則pcd的面積是 .11.正整數a，b，c，d滿足abcd，且，那么a的可能值共有 個.三、解答題（共60分）12.（10分）計算：.13.（10分）已知在abc中，ad、be、cf相交于點p，且，求 的值.14.（10分）在“全民閱讀”活動中，某中學社團“精一讀書社”對全校學生的人數及紙質圖書閱讀量（單位：本）進行了調查，2012年全校有1000名學生，2013年全校學生人數比2012年增加10%，2014年全校學生人數比2013年增加100人（1）求2014年全校學生人數；（2）2013年全校學生人均閱讀量比2012年多1本，閱讀

5、總量比2012年增加1700本（注：閱讀總量=人均閱讀量人數）求2012年全校學生人均閱讀量；2012年讀書社人均閱讀量是全校學生人均閱讀量的2.5倍，如果2012年、2014年這兩年讀書社人均閱讀量都比前一年增長一個相同的百分數a，2014年全校學生人均閱讀量比2012年增加的百分數也是a，那么2014年讀書社全部80名成員的閱讀總量將達到全校學生閱讀總量的25%，求a的值15.（15分）木匠黃師傅用長ab=3，寬bc=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設計了四種方案：方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；方案二：圓心o1、o2分別在cd、ab上，半徑分別是o1c、o2a，鋸兩個外切的半圓拼

6、成一個圓；方案三：沿對角線ac將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形bcef拼到矩形afed下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓（1）寫出方案一中圓的半徑；（2）通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？（3）在方案四中，設ce=x（0x1），圓的半徑為y求y關于x的函數解析式；當x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大16.（15分）如圖1，矩形oabc頂點b的坐標為（8，3），定點d的坐標為（12，0），動點p從點o出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點q從點d出發(fā)，以每秒1個單位長度的

7、速度沿x軸的負方向勻速運動，pq兩點同時運動，相遇時停止在運動過程中，以pq為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形pqr設運動時間為t秒（1）當t= 時，pqr的邊qr經過點b；（2）設pqr和矩形oabc重疊部分的面積為s，求s關于t的函數關系式；（3）如圖2，過定點e（5，0）作efbc，垂足為f，當pqr的頂點r落在矩形oabc的內部時，過點r作x軸、y軸的平行線，分別交ef、bc于點m、n，若man=45，求t的值參考答案：1.a 2.b 3.c 4.b 5.b 6.a 7. 8.17 9. 10. 11.50114.解：（1）由題意，得2013年全校學生人數為：1000（1+10%）=11

8、00人，2014年全校學生人數為：1100+100=1200人；（2）設2012人均閱讀量為x本，則2013年的人均閱讀量為（x+1）本，由題意，得1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6答：2012年全校學生人均閱讀量為6本；由題意，得2012年讀書社的人均讀書量為：2.56=15本，2014年讀書社人均讀書量為15（1+a）2本，2014年全校學生的讀書量為6（1+a）本，8015（1+a）2=12006（1+a）25%2（1+a）2=3（1+a），a1=1（舍去），a2=0.5答：a的值為0.515.解：（1）方案一中的最大半徑為1分析如下：因為長方形的長寬分別為3，2，那

9、么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1（2）如圖1，方案二中連接o1，o2，過o1作o1eab于e，方案三中，過點o分別作ab，bf的垂線，交于m，n，此時m，n恰為o與ab，bf的切點方案二：設半徑為r，在rto1o2e中，o1o2=2r，o1e=bc=2，o2e=abao1co2=32r，（2r）2=22+（32r）2，解得 r=方案三：設半徑為r，在aom和ofn中，aomofn，解得 r=比較知，方案三半徑較大（3）方案四：ec=x，新拼圖形水平方向跨度為3x，豎直方向跨度為2+x類似（1），所截出圓的直徑最大為3x或2+x較小的1當3x2+x時，即當x時，r=（3x）；2當3x=2+

10、x時，即當x=時，r=（3）=；3當3x2+x時，即當x時，r=（2+x）當x時，r=（3x）（3）=；當x=時，r=（3）=；當x時，r=（2+x）（2+）=，方案四，當x=時，r最大為1，方案四時可取的圓桌面積最大16.解：（1）pqr的邊qr經過點b時，abq構成等腰直角三角形，ab=aq，即3=4t， t=1 即當t=1秒時，pqr的邊qr經過點b（2）當0t1時，如答圖11所示設pr交bc于點g，過點p作phbc于點h，則ch=op=2t，gh=ph=3s=s矩形oabcs梯形opgc=83（2t+2t+3）3=6t；當1t2時，如答圖12所示設pr交bc于點g，rq交bc、ab于點

11、s、t過點p作phbc于點h，則ch=op=2t，gh=ph=3qd=t，則aq=at=4t，bt=bs=abaq=3（4t）=t1s=s矩形oabcs梯形opgcsbst=83（2t+2t+3）3（t1）2=t25t+19；當2t4時，如答圖13所示設rq與ab交于點t，則at=aq=4tpq=123t，pr=rq=（123t）s=spqrsaqt=pr2aq2=（123t）2（4t）2=t214t+28綜上所述，s關于t的函數關系式為：s=（3）e（5，0），ae=ab=3，四邊形abfe是正方形如答圖2，將ame繞點a順時針旋轉90，得到abm，其中ae與ab重合man=45，eam+nab=45，bam+nab=45，man=man連接mn在man與man中，manman（sas）mn=mn=mb+bnmn=em+bn設em=m，bn=n，則fm=3m，fn=3n在rtfmn中，由勾股定理得：fm2+fn2=mn2