222反證法學(xué)案（人教A版選修1-2）

1、22.2反證法課標(biāo)解讀1.了解反證法是間接證明的一種基本方法(重點(diǎn))2.理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題(難點(diǎn))反證法【問題導(dǎo)思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小時(shí)候，愛和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動(dòng)等到小朋友摘了李子一嘗，原來是苦的他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這棵樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”王戎的論述運(yùn)用了什么推理思想？【提示】實(shí)質(zhì)運(yùn)用了反證法的思想1反證法假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明

2、假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法2反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、定理、公理、事實(shí)矛盾等.用反證法證明否(肯)定式命題設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證：f(x)0無整數(shù)根【思路探究】此題為否定形式的命題，直接證明很困難，可選用反證法證題的關(guān)鍵是根據(jù)f(0)，f(1)均為奇數(shù)，分析出a，b，c的奇偶情況，并應(yīng)用【自主解答】假設(shè)f(x)0有整數(shù)根n，則an2bnc0(nZ)而f(0)，f(1)均為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，ab為偶數(shù)，則an2bnc

3、為奇數(shù)，即n(anb)為奇數(shù)n，anb均為奇數(shù)又ab為偶數(shù)，ana為奇數(shù)，即a(n1)為奇數(shù)，n1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)矛盾f(x)0無整數(shù)根1對(duì)某些結(jié)論為肯定形式或者否定形式的命題的證明，從正面突破較困難時(shí)，可用反證法通過反設(shè)將肯定命題轉(zhuǎn)化為否定命題或?qū)⒎穸}轉(zhuǎn)化為肯定命題，然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進(jìn)行推理，推出矛盾，從而達(dá)到證題的目的2常見否定詞語的否定形式如下表所示：否定詞語否定詞語的否定形式?jīng)]有有不大于大于不等于等于不存在存在已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列ac，求證：，不可能成等差數(shù)列【證明】假設(shè)，成等差數(shù)列，則，又a、b、c成等差數(shù)列，2bac，b，(ac)20，即ac.這與ac

4、矛盾故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確.用反證法證明“唯一性”命題若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象連續(xù)不斷開，f(a)0，f(b)0，且f(x)在a，b上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【思路探究】先由函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理判定函數(shù)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，再用反證法證明零點(diǎn)唯一【自主解答】由于f(x)在a，b上的圖象連續(xù)不斷開，且f(a)0，f(b)0，即f(a)f(b)0，所以f(x)在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，則f(m)0，假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，即f(n)0，則nm.若nm，則f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，則f(n)f(m)，即0

5、0，矛盾因此假設(shè)不正確，即f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡(jiǎn)單明了已知a與b是異面直線，求證：過a且平行于b的平面只有一個(gè)【證明】如圖所示假設(shè)過直線a且平行于直線b的平面有兩個(gè)，分別為和，在直線a上取點(diǎn)A，過b和A確定一個(gè)平面，且與、分別交于過點(diǎn)A的直線c、d，由b，知bc，同理bd，故cd，這與c、d相交于點(diǎn)A矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立.用反證法證明“至多、至少”問題已知x，y0，且xy2.求證：，

6、中至少有一個(gè)小于2.【思路探究】明確“至少”的含義對(duì)結(jié)論作出假設(shè)得出矛盾【自主解答】假設(shè)，都不小于2，即2，2.x0，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)即xy2，這與已知xy2矛盾，中至少有一個(gè)小于2.常見結(jié)論詞與反設(shè)詞列表如下：原結(jié)論詞等于()大于()小于()對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立至少一個(gè)至多一個(gè)反設(shè)詞不等于()不大于()不小于()存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立一個(gè)都沒有至少兩個(gè)在本例中，若x，y0且xy2，求證：，中至少有一個(gè)不小于2.【證明】假設(shè)，都小于2.則1x2y,1y2x，那么2xy2與已知xy2矛盾所以假設(shè)不成立，原命題成立.利用反證法證題時(shí)，假設(shè)錯(cuò)誤而致誤已知a，b

7、，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)求證：三個(gè)方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根【錯(cuò)解】假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20，此不等式不能成立，所以假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根【錯(cuò)因分析】上面解法的錯(cuò)誤在于認(rèn)為“方程沒有兩個(gè)相異實(shí)根就有0”，事實(shí)上，方程沒有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)0.【防范措施】用反證法證題要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都

8、是不全面的(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【正解】假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20，(*)由題意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立所以假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根1反證法：假設(shè)原命題的反面正確，根據(jù)

9、已知條件及公理、定理、定義，按照嚴(yán)格的邏輯推理導(dǎo)出矛盾從而說明假設(shè)不正確，得出原命題正確2反證法是間接證明的一種方法，在證明否定性命題、唯一性命題和存在性命題時(shí)運(yùn)用反證法比較簡(jiǎn)便3反證法的基本步驟是：(1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果；(3)存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定結(jié)論成立1用反證法證明“如果ab，那么”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是()A.B.C. D【解析】“大于”的對(duì)立面為“小于等于”，故應(yīng)假設(shè)“”【答案】C2否定“任何一個(gè)三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”時(shí)正確的說法為()A存在一個(gè)三角形，其外角最

10、多有一個(gè)鈍角B任何一個(gè)三角形的外角都沒有兩個(gè)鈍角C沒有一個(gè)三角形的外角有兩個(gè)鈍角D存在一個(gè)三角形，其外角有兩個(gè)鈍角【解析】原命題的否定為：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角【答案】A3用反證法證明命題：若a、b是實(shí)數(shù)，且|a1|b1|0，則ab1時(shí)，應(yīng)作的假設(shè)是_【解析】“ab1”的否定為“a1或b1”，故應(yīng)填a1或b1.【答案】a1或b14證明方程2x3有且僅有一個(gè)實(shí)根【證明】2x3，x，方程2x3至少有一個(gè)實(shí)根設(shè)x1，x2是方程2x3的兩個(gè)不同實(shí)根，則由得2(x1x2)0，x1x2，這與x1x2矛盾故假設(shè)不正確，從而方程2x3有且僅有一個(gè)實(shí)根.一、選擇題1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，

11、要把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的否定，即假設(shè)；原命題的條件；公理、定理、定義等；原命題的結(jié)論ABCD【解析】由反證法的定義可知應(yīng)選C.【答案】C2(2013?？诟叨z測(cè))用反證法證明命題：三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A三個(gè)內(nèi)角都不大于60B三個(gè)內(nèi)角都大于60C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60【解析】三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60，即有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不大于60，其反設(shè)為都大于60，故B正確【答案】B3實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價(jià)于()Aa，b，c均不為0Ba，b，c中至多有一個(gè)為0Ca，b，c中至少有一個(gè)為0Da，b，c中至少有一個(gè)不為0【解析】實(shí)數(shù)a，

12、b，c不全為0，即a，b，c至少有一個(gè)不為0，故應(yīng)選D.【答案】D4(1)已知p3q32，求證pq2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq2.(2)已知a，bR，|a|b|2；(2)的假設(shè)正確【答案】D5下列命題不適合用反證法證明的是()A同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交B兩個(gè)不相等的角不是對(duì)頂角C平行四邊形的對(duì)角線互相平分D已知x，yR，且xy2，求證：x，y中至少有一個(gè)大于1【解析】A中命題條件較少，不易正面證明；B中命題是否定性命題，其反設(shè)是顯而易見的定理；D中命題是至少性命題，其結(jié)論包含兩種情況，而反設(shè)只有一種情況，適合用反證法證明【答案】C二、填空題6命題“三角形中最多只有一

13、個(gè)內(nèi)角是直角”的否定是_【解析】“最多”的反面是“最少”，故本題的否定是：三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角【答案】“三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角”7用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a、b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_【解析】“a、b全為0”即“a0且b0”，因此它的反設(shè)為“a0或b0”【答案】“a、b不全為0”8用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：ABC9090C180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)A90，B90.上述步驟的正確順序?yàn)開【答案】三、解答題9(2013泰安高二檢測(cè))用反證法證明：無論m取何值，關(guān)于x的方程x25xm0與2x2x6m0至少有一個(gè)有實(shí)數(shù)根【解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得這兩個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根，則解得無解與假設(shè)存在實(shí)數(shù)m矛盾故無論m取何值，兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根10已知abc0，abbcca0，abc0，求證：a0，b0，c0.【證明】假設(shè)a0，由abc0得bc0，由abc0，得bca0，于是abbccaa(bc)bc0，這與已知矛盾又若a0，則ab