邊界層運(yùn)動(dòng)微分方程

1、2.9邊界層運(yùn)動(dòng)微分方程邊界層運(yùn)動(dòng)微分方程 本節(jié)將以本節(jié)將以平壁層流平壁層流為例，建立為例，建立邊界層運(yùn)動(dòng)微分方程邊界層運(yùn)動(dòng)微分方程，并根據(jù)，并根據(jù)布拉修斯布拉修斯 相似原理相似原理討論其分析解。討論其分析解。 2.9.1邊界方程的推導(dǎo)邊界方程的推導(dǎo) 普朗特充分運(yùn)用了普朗特充分運(yùn)用了邊界層很薄邊界層很薄這一特性，通過(guò)分析這一特性，通過(guò)分析N-SN-S方程方程 中各項(xiàng)數(shù)量級(jí)，并中各項(xiàng)數(shù)量級(jí)，并忽略高階小量忽略高階小量，大大簡(jiǎn)化了，大大簡(jiǎn)化了N-SN-S方程，導(dǎo)出了方程，導(dǎo)出了 邊界層微分方程，成功地解決了邊界層的定量計(jì)算。邊界層微分方程，成功地解決了邊界層的定量計(jì)算。 下面先讓我們以下面先讓我們

2、以x x方向方向N-SN-S方程方程為例，回憶一下為例，回憶一下N-SN-S方程都有方程都有 哪些項(xiàng)。哪些項(xiàng)。 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x p X D Du xxxx 慣性力慣性力 體積力體積力 壓力壓力 黏性力黏性力 量級(jí)比較量級(jí)比較 方程中的變量方程中的變量y y限制在邊界層之內(nèi)，滿足不等式限制在邊界層之內(nèi)，滿足不等式0 0yy。也就是說(shuō)，。也就是說(shuō)，y 與與為為同一量級(jí)同一量級(jí)，記為：，記為：y。與與x 方向的距離相比要小很多，即方向的距離相比要小很多，即 是是小小 量量。符號(hào)。符號(hào)表示數(shù)量級(jí)相同。表示數(shù)量級(jí)相同。 下面估算（下面估算（2-186）中各項(xiàng)的量級(jí)。）

3、中各項(xiàng)的量級(jí)。 在壁面上，在壁面上，ux=0；在邊界層的外緣；在邊界層的外緣ux具有具有u0的量級(jí)，此處的量級(jí)，此處u0是主流速度是主流速度 （來(lái)流速度）。當(dāng)（來(lái)流速度）。當(dāng)y由由0變到變到時(shí)，時(shí)，ux由由0變到變到u0，所以有：，所以有： x 2-187a 0 u y u y u xx 2 0 22 2 u y u y u xx 2-187b 量級(jí)比較量級(jí)比較 l1 1、假定流體沿、假定流體沿x x方向的直線邊界流動(dòng)并形成邊界層，其厚度為方向的直線邊界流動(dòng)并形成邊界層，其厚度為。 l2 2、假定平板無(wú)限寬，流速在、假定平板無(wú)限寬，流速在z z方向無(wú)變化方向無(wú)變化。 l3 3、在邊界層流動(dòng)中，

4、重力的影響可忽略不計(jì)，即、在邊界層流動(dòng)中，重力的影響可忽略不計(jì)，即忽略體積力忽略體積力。 則則N-SN-S方程可以簡(jiǎn)化為如下形式方程可以簡(jiǎn)化為如下形式： 2 2 2 2 1 y u x u x p y u u x u u u xxx y x x x 2 2 2 2 1 y u x u y p y u u x u u u yyy y y x y 2-186a 2-186b 量級(jí)比較量級(jí)比較 同理，沿同理，沿x x方向有：方向有： 由二維連續(xù)性方程由二維連續(xù)性方程 ，可得：，可得： x u x u x0 2 0 2 2 x u x u x 2-188a 0 y y u x ux y u x u x

5、 y 2-189 2-188b 量級(jí)比較量級(jí)比較 比較（比較（2-187a2-187a）、（）、（2-188a2-188a）和（）和（2-1892-189）可得：）可得： 即：即： 在壁面上在壁面上u uy y=0,=0,并根據(jù)邊界層內(nèi)并根據(jù)邊界層內(nèi)u uy y的量級(jí)，從而得一下（的量級(jí)，從而得一下（2-1912-191） 式：式： x u x u y u y u xx yy x u y x u u x y 0 2-190 3 0 2 y 2 x u x u 2 0 x u x u y x u y u y 0 2 2 2-191c 2-191b2-191a 量級(jí)比較量級(jí)比較 比較式（比較式（2

6、-186a2-186a）中各項(xiàng)的量級(jí)，有：）中各項(xiàng)的量級(jí)，有： 顯然，方程中的顯然，方程中的 與與 相比可以忽略，故式（相比可以忽略，故式（2-186a2-186a）簡(jiǎn)）簡(jiǎn) 化為：化為： 2 2 2 2 1 y u x u x p y u u x u u u xxx y x x x 2-186a x u 2 0 x u 2 0 2 0 x u 2 0 u 2 2 x ux 2 2 y ux 量級(jí)比較量級(jí)比較 在邊界層內(nèi)，在邊界層內(nèi)，黏性力與慣性力應(yīng)有相同量級(jí)黏性力與慣性力應(yīng)有相同量級(jí)，故兩者之比應(yīng)近，故兩者之比應(yīng)近 似為似為1 1，即：，即： 由此可以得出：由此可以得出： 2 2 1 y u

7、x p y u u x u u u xx y x x x 2-192 x u 2 0 x u 2 0 2 0 u 慣性力慣性力 黏性力黏性力 壓力壓力 1Re 22 0 2 0 2 0 2 0 xx xu x uu x u ： 2-193 Re 1 x 2-194 量級(jí)比較量級(jí)比較 式（式（2-1942-194）表明，層流邊界層厚度的量級(jí)大小等于）表明，層流邊界層厚度的量級(jí)大小等于 或或 再分析式（再分析式（2-186b2-186b）, ,其各項(xiàng)的量級(jí)如下：其各項(xiàng)的量級(jí)如下： 至此，（至此，（2-1862-186）格式的量級(jí)已經(jīng)寫(xiě)出，讓我們對(duì)比來(lái)看看：）格式的量級(jí)已經(jīng)寫(xiě)出，讓我們對(duì)比來(lái)看看：

8、Re x 0 u x 2 2 2 2 1 y u x u y p y u u x u u u yyy y y x y 2-186b 2 2 0 x u 2 2 0 x u 3 0 x u x u 0 2 2 1 y u x p y u u x u u u xx y x x x 2-192 x u 2 0 x u 2 0 2 0 u 2 2 2 2 1 y u x u y p y u u x u u u yyy y y x y 2-186b 2 2 0 x u 2 2 0 x u 3 0 x u x u 0 簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化 后的后的 N-S 方程方程 量級(jí)量級(jí) 比較比較 慣性力慣性力壓力壓力黏性力黏性

9、力 量級(jí)比較量級(jí)比較 慣性項(xiàng)慣性項(xiàng) 和和 為同一量級(jí)，但不同于為同一量級(jí)，但不同于 及及 的量級(jí)，兩者相差的量級(jí)，兩者相差 倍，是一個(gè)小量；至于倍，是一個(gè)小量；至于 ，一般可以認(rèn)為具有，一般可以認(rèn)為具有 慣性項(xiàng)的量級(jí)，即慣性項(xiàng)的量級(jí)，即 。于是，式（。于是，式（2-186b2-186b）左端三項(xiàng)均系小量，）左端三項(xiàng)均系小量， 可以忽略。另一方面，可以忽略。另一方面， 與與 相比也可以忽略，故式（相比也可以忽略，故式（2-186b2-186b） 就簡(jiǎn)化為：就簡(jiǎn)化為： x u u y x y u u y y x u u x x y u u x y x y u 2 2 0 x u u y 2 2 y

10、 u y 2 2 y ux 0 y p 2-195 量級(jí)比較量級(jí)比較 式（式（2-1952-195）表明，）表明，壓力與壓力與y y無(wú)關(guān)，只是無(wú)關(guān)，只是x x的函數(shù)的函數(shù)。因此在。因此在y y 方向上，方向上，邊界層內(nèi)壓力不變，等于邊界層外緣處的壓力邊界層內(nèi)壓力不變，等于邊界層外緣處的壓力。事實(shí)。事實(shí) 上，通過(guò)勢(shì)流理論計(jì)算得到的邊界層外緣處壓力，與實(shí)驗(yàn)測(cè)得上，通過(guò)勢(shì)流理論計(jì)算得到的邊界層外緣處壓力，與實(shí)驗(yàn)測(cè)得 的物體表面的壓力吻合，也可證明（的物體表面的壓力吻合，也可證明（2-1952-195）式的正確性。此式）式的正確性。此式 頗為重要，據(jù)此可直接根據(jù)歐拉方程計(jì)算邊界層外緣處壓力，頗為重要，

11、據(jù)此可直接根據(jù)歐拉方程計(jì)算邊界層外緣處壓力， 獲得邊界層中的壓力。獲得邊界層中的壓力。 邊界層方程邊界層方程 經(jīng)量級(jí)比較，式（經(jīng)量級(jí)比較，式（2-1862-186）的兩個(gè)方程只留下一個(gè)，其中有）的兩個(gè)方程只留下一個(gè)，其中有 兩個(gè)未知數(shù)兩個(gè)未知數(shù)u ux x和和u uy y，假定壓力已經(jīng)預(yù)先確定，再加上二維連續(xù)，假定壓力已經(jīng)預(yù)先確定，再加上二維連續(xù) 性方程性方程 對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)， ， 寫(xiě)成寫(xiě)成 方程式（方程式（2-1862-186）簡(jiǎn)化為：）簡(jiǎn)化為： 式（式（2-1962-196）為）為普朗特邊界層運(yùn)動(dòng)微分方程，普朗特邊界層運(yùn)動(dòng)微分方程， 適用于平壁穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體流動(dòng)。不適用與平壁

12、前緣。適用于平壁穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體流動(dòng)。不適用與平壁前緣。 0 y y u x ux 0 x u x p dx dp 2 2 1 y u dx dp y u u x u u xx y x x 2-196 邊界層條件邊界層條件 邊界層方程的邊界條件是：邊界層方程的邊界條件是： 根據(jù)布拉修斯原理可以求解邊界層方程，得出根據(jù)布拉修斯原理可以求解邊界層方程，得出u ux x(x,y),u(x,y),uy y(x,y)(x,y) 和和p(x,y),p(x,y),再按牛頓黏性定律，就可以得出邊壁上的剪應(yīng)力和摩擦阻再按牛頓黏性定律，就可以得出邊壁上的剪應(yīng)力和摩擦阻 力。力。 0y 0 yx uu y 0 uu

13、x 2-198b 2-198a 邊界邊界 條件條件 2.9.2邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 布拉修斯相似原理布拉修斯相似原理 圖2-33為平壁邊界層流動(dòng)示意圖，邊界層外主體流速為u0， 圖中示出了相距x的兩截面的速度分布曲線，前已訴及，邊界 層中的壓力p與y無(wú)關(guān)，故p1=p2,p3=p4。因點(diǎn)2和4均處于邊界層 以外，故p2和p4的關(guān)系符合伯努利方程： 4 2 42 2 2 22 pupu 2-199 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 式中，式中，u u2 2和和u u4 4分別為點(diǎn)分別為點(diǎn)2 2和點(diǎn)和點(diǎn)4 4處的速度，顯然有：處的速度，顯然有： 將式（將式（2-2002-200）

14、帶入式（）帶入式（2-1992-199）得：）得： 由此可得：由此可得： 2-200042 uuu 42 pp 2-201a 2-201b31 pp 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 式（式（2-2012-201）表明，在邊界層內(nèi)，壓力不隨）表明，在邊界層內(nèi)，壓力不隨x x而變，即：而變，即： 故故普朗特邊界層方程最終可以簡(jiǎn)化普朗特邊界層方程最終可以簡(jiǎn)化為：為： 0 dx dp 2-202 2 2 y u y u u x u u xx y x x 2-203 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 由于由于隨隨x x而逐漸變大，而逐漸變大，每一個(gè)每一個(gè)x x處處都存在相應(yīng)的都存在相應(yīng)的速度分

15、布速度分布 曲線曲線，且具有共同特征：壁面速度為零，邊界層外緣速度為，且具有共同特征：壁面速度為零，邊界層外緣速度為u u0 0。 也就是說(shuō)也就是說(shuō)它們是相似的它們是相似的。 布拉修斯首先觀察到這一特征，并假設(shè)在距平壁前緣不同布拉修斯首先觀察到這一特征，并假設(shè)在距平壁前緣不同 的的x x距離處，距離處，速度分布的形狀是相似的速度分布的形狀是相似的， 即：即： 該式即為該式即為布拉修斯相似原理布拉修斯相似原理的數(shù)學(xué)式。的數(shù)學(xué)式。 0 u u x y 2-204 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 將式（將式（2-1942-194）代入（）代入（2-2042-204）可得：）可得： 式（式（2-

16、2052-205）右側(cè)的量為）右側(cè)的量為x x和和y y的函數(shù)，可用的函數(shù)，可用(x,y)表示，即：表示，即： 由上訴兩式可知，由上訴兩式可知， 和和(x,y)相似，即存在某種函數(shù)關(guān)系：相似，即存在某種函數(shù)關(guān)系： 0 u u x x u y 0 2-205 x u yyx 0 ),(2-206 0 u u x 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 故可得：故可得： 或或 由此可見(jiàn)，通過(guò)引進(jìn)量綱為一的變量由此可見(jiàn)，通過(guò)引進(jìn)量綱為一的變量，已使兩個(gè)獨(dú)立自，已使兩個(gè)獨(dú)立自 變變 量量x,y合二為一?？紤]到流函數(shù)合二為一?？紤]到流函數(shù)與兩個(gè)因變量與兩個(gè)因變量ux與與uy有關(guān)，但有關(guān)，但 是有量綱的，故

17、還需尋找一個(gè)量綱為一的流函數(shù)將是有量綱的，故還需尋找一個(gè)量綱為一的流函數(shù)將ux和和uy統(tǒng)統(tǒng) 一起來(lái)。一起來(lái)。 前已知，前已知，流函數(shù)的定義式流函數(shù)的定義式為：為： )( 0 u u x )( 0 uu x 2-207 r u r 1 r u 2-109a 2-109b 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 將流函數(shù)定義式代入式（將流函數(shù)定義式代入式（2-2072-207）可得：）可得： 積分式（積分式（2-2082-208）得：）得： 將式（將式（2-2062-206）對(duì)）對(duì)y y求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得： 2-208 )( 0 u y dyu )( 0 2-209 d u x dy 0 2-210

18、 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 將式（將式（2-2102-210）代入式（）代入式（2-2092-209），經(jīng)整理得：），經(jīng)整理得： 雖然無(wú)法獲知式中積分項(xiàng)的具體函數(shù)形式，但可以推知它雖然無(wú)法獲知式中積分項(xiàng)的具體函數(shù)形式，但可以推知它 必為必為的函數(shù)，故可令：的函數(shù)，故可令： 即即 將式（將式（2-211）代入式（）代入式（2-212）得：）得： 量綱為一的流函數(shù)量綱為一的流函數(shù) 2-211 dxudyu )()( 00 2-212 df )()()()( f 0 )( xu f 2-213 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 由此可得速度分量由此可得速度分量ux和和uy分別是：分別

19、是： 2-214a)( 0 fu yy ux 2-214b ）（ff x u f x u x fxu x u y 0 0 0 2 1 )( 2 1 )( 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 ux和和uy的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為：的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為： 2-215af x u x ux 0 2 1 f x u u y ux 0 0 f x u y ux 2 0 2 2 2-215b 2-215c 2-215 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 將上式各式代入將上式各式代入(2-203) (2-203) 得：得： 經(jīng)簡(jiǎn)化后，得關(guān)于經(jīng)簡(jiǎn)化后，得關(guān)于f(f() )的微分方程為：的微分方程為

20、： 2-216 2 2 y u y u u x u u xx y x x f x u fff x u f f x u 2 0 2 0 2 0 )( 22 02 ff f 2-217 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 相應(yīng)的邊界條件變?yōu)椋合鄳?yīng)的邊界條件變?yōu)椋?由此可知，經(jīng)過(guò)上述相似變換，普朗特邊界層方程已由二由此可知，經(jīng)過(guò)上述相似變換，普朗特邊界層方程已由二 階非線性偏微分方程轉(zhuǎn)換成三階非線性常微分方程。結(jié)合式階非線性偏微分方程轉(zhuǎn)換成三階非線性常微分方程。結(jié)合式 （2-2182-218）所示的三個(gè)邊界條件，可獲得）所示的三個(gè)邊界條件，可獲得f(f() )的精確解。的精確解。 2-218b 0

21、0 ff 1 f 邊界邊界 條件條件 2-218a 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 因方程（因方程（2-2172-217）是非線性的，難以直接獲得精確解。布拉修斯）是非線性的，難以直接獲得精確解。布拉修斯 用冪級(jí)數(shù)將其解表達(dá)為：用冪級(jí)數(shù)將其解表達(dá)為： 式中，式中，a a0 0,a,a1 1,a,a2 2.為待定系數(shù)，根據(jù)邊界條件加以確定。為待定系數(shù)，根據(jù)邊界條件加以確定。 將式（將式（2-2192-219）依次對(duì)）依次對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)，得：求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)，得： 2-219 . ! 4! 3! 2 )( 4 4 3 3 2 2 10 aaa aaf . !

22、3! 2 )( 3 4 2 3 21 aa aaf . ! 3! 2 )( 3 5 2 4 32 aa aaf . ! 3! 2 )( 3 6 2 5 43 aa aaf 2-220a 2-220b 2-220c 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 將邊界條件將邊界條件f(0)=0f(0)=0代入式（代入式（2-2192-219），得），得a a0 0=0=0。將邊界條件。將邊界條件f(0)=0f(0)=0代代 入式（入式（2-220a2-220a），得），得a a1 1=0=0。在此基礎(chǔ)上，將式（。在此基礎(chǔ)上，將式（2-2192-219）、（）、（2-220b2-220b）、）、 （2-2

23、20c2-220c）代入（）代入（2-2172-217），合并同類(lèi)項(xiàng)，得：），合并同類(lèi)項(xiàng)，得： 式（式（2-2212-221）是一恒等式，因其右側(cè)為零，故左側(cè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系）是一恒等式，因其右側(cè)為零，故左側(cè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系 數(shù)均為零，得：數(shù)均為零，得： 由此可得：由此可得： 2-221 0.2 ! 2 22 5 2 2 2 43 ）（aaaa .020202 5 2 243 ，aaaa 2-222 . 2 00 2 2 543 ， a aaa2-223 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 式（式（2-2232-223）表明，除了為零得系數(shù)以外，所有非零項(xiàng)系數(shù)均可表達(dá)）表明，除了為零得系數(shù)以

24、外，所有非零項(xiàng)系數(shù)均可表達(dá) 為為a a2 2的函數(shù)。將各系數(shù)代入式（的函數(shù)。將各系數(shù)代入式（2-2192-219），得：），得： 式中系數(shù)式中系數(shù)a a2 2可根據(jù)邊界條件可根據(jù)邊界條件f(f()=1,)=1,采用數(shù)值計(jì)算法確定，結(jié)果為采用數(shù)值計(jì)算法確定，結(jié)果為 將將a a2 2值代入式值代入式(2-224),(2-224),可得可得f(f() )的表達(dá)式為：的表達(dá)式為： 該式即為該式即為普朗特邊界層方程精確解普朗特邊界層方程精確解，又稱(chēng)，又稱(chēng)布拉修斯精確解布拉修斯精確解。 2-224. !118 375 ! 84 11 ! 52 1 ! 2 )( 11 4 2 8 3 2 5 2 2 2 2

25、 aaaa f 33206. 0 2 a 2-225 .0000024972. 000045943. 016603. 0)( 852 f 2-226 邊界層方程的精確解邊界層方程的精確解 至此，我們已求出邊界層方程精確解，它適用于平板壁面上不可至此，我們已求出邊界層方程精確解，它適用于平板壁面上不可 壓縮流體的層流流動(dòng)。再加上推導(dǎo)時(shí)的簡(jiǎn)化過(guò)程，我們可以得出此方壓縮流體的層流流動(dòng)。再加上推導(dǎo)時(shí)的簡(jiǎn)化過(guò)程，我們可以得出此方 程的幾個(gè)適用條件：程的幾個(gè)適用條件： 1 1、平板壁面、平板壁面 2 2、不可壓縮流體、不可壓縮流體 3 3、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)、穩(wěn)態(tài)流動(dòng) 4 4、層流流動(dòng)、層流流動(dòng) 由于式（由于式（2

26、-2262-226）為無(wú)窮級(jí)數(shù)之代數(shù)和，為方便起見(jiàn)，研究者們）為無(wú)窮級(jí)數(shù)之代數(shù)和，為方便起見(jiàn)，研究者們 已將式（已將式（2-2262-226）列成表格，參加附錄）列成表格，參加附錄2 2。 邊界層方程精確解邊界層方程精確解 適用條件適用條件 邊界層內(nèi)速度分布函數(shù)邊界層內(nèi)速度分布函數(shù) 在壁面附近（在壁面附近（1 1），由式（），由式（2-2142-214） 可得壁面附近速度的近似表達(dá)式：可得壁面附近速度的近似表達(dá)式： 2-214 )( 0 fuux ）（ff x u uy 0 2 1 yu ux 0 3 2 0 yu u y 速度近似表達(dá)式速度近似表達(dá)式 2-227a 2-227b 邊界層厚度邊

27、界層厚度 在在y=y=時(shí)，時(shí)，u ux x=0.99u0=0.99u0。由。由u ux x=u=u0 0f(f() )，可知，可知f(f()=0.99,)=0.99,查表可得所對(duì)查表可得所對(duì) 應(yīng)的應(yīng)的=5.0，于是有：，于是有： 式（式（2-228）又可變形為：）又可變形為： 根據(jù)牛頓黏性定律可得壁面上的剪應(yīng)力為：其中，根據(jù)牛頓黏性定律可得壁面上的剪應(yīng)力為：其中，f(0)=0.332。 2-228 0 0 . 5 u x 2 1 Re0 . 5 x x 2-229 2 1 - Re332. 0)0( 2 0 0 0 0 x y x wx uf x u u y u 2-230 摩擦阻力、摩擦因數(shù)

28、或曳力因素摩擦阻力、摩擦因數(shù)或曳力因素 對(duì)于長(zhǎng)為對(duì)于長(zhǎng)為L(zhǎng) L，寬為，寬為b b的平板，其一側(cè)的摩擦阻力為：的平板，其一側(cè)的摩擦阻力為： 根據(jù)平壁摩擦因素或曳力因素定義，有：根據(jù)平壁摩擦因素或曳力因素定義，有： 上述分析和計(jì)算，對(duì)平板前緣附近，即上述分析和計(jì)算，對(duì)平板前緣附近，即L L很小時(shí)是不適用的。這是很小時(shí)是不適用的。這是 由于此時(shí)不能滿足建立邊界層方程所作的假定由于此時(shí)不能滿足建立邊界層方程所作的假定 。 2-231 LL wds Lubu x dxu abudxbF 0 00 0 0 0 664. 0 2 1 Re328. 1 328. 1 2 2 2 0 2 0 L Lu bL u

29、 F C ds D 2-232 2 2 y ux 2 2 x ux 2.9.3位移厚度與動(dòng)量厚度位移厚度與動(dòng)量厚度 圖圖2-342-34(a)(a)是邊界層中的速度分布，邊界層以外是勢(shì)流，速度均一，是邊界層中的速度分布，邊界層以外是勢(shì)流，速度均一， 直至邊界。比較圖直至邊界。比較圖2-34(a),(b)2-34(a),(b)兩種情況可見(jiàn)，由于邊界層內(nèi)速度減慢，兩種情況可見(jiàn)，由于邊界層內(nèi)速度減慢， 與不存在邊界層的情況相比，通過(guò)同樣區(qū)域的質(zhì)量流量減少。這種減少與不存在邊界層的情況相比，通過(guò)同樣區(qū)域的質(zhì)量流量減少。這種減少 （或稱(chēng)（或稱(chēng)“虧損虧損”），相當(dāng)于將勢(shì)流流線向外推移了一段距離（圖），相當(dāng)

30、于將勢(shì)流流線向外推移了一段距離（圖2-34c2-34c） 稱(chēng)為稱(chēng)為位移厚度位移厚度* *，又稱(chēng)，又稱(chēng)排擠厚度排擠厚度。使流過(guò)。使流過(guò)* *的流量與因邊界層所造成的流量與因邊界層所造成 的的 流量虧損量相等，由此可決定流量虧損量相等，由此可決定* *，即令圖中，即令圖中陰影面積相等陰影面積相等。 2.9.3位移厚度與動(dòng)量厚度位移厚度與動(dòng)量厚度 或或 將式（將式（2-226）代入式（）代入式（2-233）可得）可得平板壁面邊界層位移厚度平板壁面邊界層位移厚度： 2-233 dyuuu x 0 0 * 0 )( dy u ux 0 0 * )1 ( 0 0 0 0 0 * 73. 1)1 ()1 (

31、 u x df u x dy u ux 2-235 2.9.3位移厚度與動(dòng)量厚度位移厚度與動(dòng)量厚度 類(lèi)似的可以得到動(dòng)量厚度類(lèi)似的可以得到動(dòng)量厚度?的定義。由于邊界層內(nèi)速度減慢，相應(yīng)的定義。由于邊界層內(nèi)速度減慢，相應(yīng) 地使動(dòng)量減少。設(shè)想厚度為地使動(dòng)量減少。設(shè)想厚度為?，運(yùn)動(dòng)速度為，運(yùn)動(dòng)速度為u0的流體，其動(dòng)量等于邊界的流體，其動(dòng)量等于邊界 層中損失的動(dòng)量。邊界層中的動(dòng)量損失是層中損失的動(dòng)量。邊界層中的動(dòng)量損失是 ，于是有：，于是有： 或：或： dyuuuu xx 0 0 2 0 )( dy u u u u xx 0 00 )1 ( 2-234 dyuuu xx 0 0 )( 2.9.3位移厚度與

32、動(dòng)量厚度位移厚度與動(dòng)量厚度 將式（將式（2-226）代入式（）代入式（2-234）可得）可得平板壁面邊界層動(dòng)量厚度平板壁面邊界層動(dòng)量厚度： 由此可見(jiàn)，對(duì)于平板上的層流邊界層，位移厚度約為邊界層厚度的由此可見(jiàn)，對(duì)于平板上的層流邊界層，位移厚度約為邊界層厚度的 三分之一，動(dòng)量厚度約為邊界層厚度的三分之一，動(dòng)量厚度約為邊界層厚度的13%13%。 2-236 0 0 0 0 00 664. 0) 1 ( )1 ( u x dff u x dy u u u u xx 2.9.4圓管進(jìn)口段的流動(dòng)圓管進(jìn)口段的流動(dòng) 圓管進(jìn)口段內(nèi)發(fā)展著的流動(dòng)和繞流時(shí)壁面附近的流動(dòng)具有相似之處，圓管進(jìn)口段內(nèi)發(fā)展著的流動(dòng)和繞流時(shí)壁

33、面附近的流動(dòng)具有相似之處， 因而分析進(jìn)口段流動(dòng)的特點(diǎn)和計(jì)算進(jìn)口段的長(zhǎng)度可以借助邊界層理論。因而分析進(jìn)口段流動(dòng)的特點(diǎn)和計(jì)算進(jìn)口段的長(zhǎng)度可以借助邊界層理論。 進(jìn)口段流動(dòng)的發(fā)展：進(jìn)口段流動(dòng)的發(fā)展： 進(jìn)口處邊界層厚度為零，沿管長(zhǎng)厚進(jìn)口處邊界層厚度為零，沿管長(zhǎng)厚 度逐漸增加，離開(kāi)圓管進(jìn)口不同距離處度逐漸增加，離開(kāi)圓管進(jìn)口不同距離處 的速度分布如圖所示。的速度分布如圖所示。沿流動(dòng)方向壓力沿流動(dòng)方向壓力 降低，推動(dòng)中心部分加速，存在著軸向降低，推動(dòng)中心部分加速，存在著軸向 速度梯度速度梯度 。 z uz 2.9.3位移厚度與動(dòng)量厚度位移厚度與動(dòng)量厚度 至壓降與剪應(yīng)力平衡，速度分布不再變化，邊界層充滿了整個(gè)流

34、動(dòng)至壓降與剪應(yīng)力平衡，速度分布不再變化，邊界層充滿了整個(gè)流動(dòng) 截面，建立所謂充分發(fā)展了的流動(dòng)。截面，建立所謂充分發(fā)展了的流動(dòng)。從管道進(jìn)口到充分發(fā)展這一段距離從管道進(jìn)口到充分發(fā)展這一段距離 稱(chēng)為稱(chēng)為進(jìn)口段長(zhǎng)度進(jìn)口段長(zhǎng)度L Le e，此后的速度分布呈，此后的速度分布呈拋物線形拋物線形充分發(fā)展形充分發(fā)展形， 有：有： 2-206 0 ),( z zru 1 2)( 2 i b r r uruu 進(jìn)口段的流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)口段的流動(dòng)狀態(tài) 當(dāng)當(dāng)流率較小流率較小，充分發(fā)展后的流動(dòng)是，充分發(fā)展后的流動(dòng)是層流層流時(shí)，管道進(jìn)口的形狀，對(duì)于時(shí)，管道進(jìn)口的形狀，對(duì)于 以后流動(dòng)的以后流動(dòng)的影響不大影響不大。這時(shí)，不論進(jìn)口處的流動(dòng)是層流還是湍流，邊界。這時(shí)，不論進(jìn)口處的流動(dòng)是層流還是湍流，邊界 層中的流動(dòng)通常是層流。層中的流動(dòng)通常是層流。 當(dāng)管道內(nèi)充分發(fā)展后的流動(dòng)是當(dāng)管道內(nèi)充分