傳熱學第3章非穩(wěn)態(tài)導熱

1、第三章 非穩(wěn)態(tài)導熱 主講人：孫晴主講人：孫晴 第三章第三章 非穩(wěn)態(tài)導熱非穩(wěn)態(tài)導熱 非周期性非穩(wěn)態(tài)導熱非周期性非穩(wěn)態(tài)導熱 1 1、非穩(wěn)態(tài)導熱的基、非穩(wěn)態(tài)導熱的基 本概念本概念 2 2、集中參數(shù)法分析、集中參數(shù)法分析 非穩(wěn)態(tài)導熱非穩(wěn)態(tài)導熱 3 3、非穩(wěn)態(tài)導熱的正、非穩(wěn)態(tài)導熱的正 規(guī)狀況階段（無限大規(guī)狀況階段（無限大 平壁的瞬態(tài)導熱）平壁的瞬態(tài)導熱） 4 4、非穩(wěn)態(tài)導熱的非、非穩(wěn)態(tài)導熱的非 正規(guī)狀況階段（半無正規(guī)狀況階段（半無 限大物體的瞬態(tài)導熱）限大物體的瞬態(tài)導熱） 5 5、多維非穩(wěn)態(tài)導熱、多維非穩(wěn)態(tài)導熱 周期性非穩(wěn)態(tài)導熱周期性非穩(wěn)態(tài)導熱 本章知識結構 3.1 3.1 非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導

2、熱的基本概念 導熱系統(tǒng)內(nèi)的溫度場隨時間變化的導熱過程為導熱系統(tǒng)內(nèi)的溫度場隨時間變化的導熱過程為 。溫度隨時間變化，熱流也隨時間變化。溫度隨時間變化，熱流也隨時間變化。 非穩(wěn)態(tài)導熱：周期性和非周期性（瞬態(tài)導熱）非穩(wěn)態(tài)導熱：周期性和非周期性（瞬態(tài)導熱） ：物體：物體溫度隨時間而做周期溫度隨時間而做周期性的性的變化變化。 （瞬態(tài)導熱）：物體的溫度隨時間（瞬態(tài)導熱）：物體的溫度隨時間 不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經(jīng)歷相當不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經(jīng)歷相當 長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質溫度，最終達到熱長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質溫度，最終達到熱 平衡。平

3、衡。 兩個階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）、兩個階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）、 正規(guī)狀況階段正規(guī)狀況階段 ：環(huán)境的熱影響不斷向物體內(nèi)：環(huán)境的熱影響不斷向物體內(nèi) 部擴展的過程，即物體大部分區(qū)域受到初始溫度部擴展的過程，即物體大部分區(qū)域受到初始溫度 分布控制的階段分布控制的階段。必須用無窮級數(shù)描述。必須用無窮級數(shù)描述。 ：環(huán)境的熱影響已經(jīng)擴展到整：環(huán)境的熱影響已經(jīng)擴展到整 個物體內(nèi)部，即物體主要受熱邊界條件影響的階個物體內(nèi)部，即物體主要受熱邊界條件影響的階 段?？梢杂贸醯群瘮?shù)描述。段?？梢杂贸醯群瘮?shù)描述。 x 0 x t t (b) (a) (c) 邊界條件對系統(tǒng)溫度分布邊界條件對系統(tǒng)

4、溫度分布 的影響是很顯著的的影響是很顯著的 , ,這里以一這里以一 維非穩(wěn)態(tài)導熱過程（也就是大維非穩(wěn)態(tài)導熱過程（也就是大 平板的加熱或冷卻過程）為例平板的加熱或冷卻過程）為例 來加以說明。來加以說明。 圖中表示一個大平板的加圖中表示一個大平板的加 熱過程，并畫出在某一時刻的熱過程，并畫出在某一時刻的 三種不同邊界情況的溫度分布三種不同邊界情況的溫度分布 曲線（曲線（a a）、（）、（b b）、（）、（c c） x 0 x t t (b) (a) (c) 這是這是下下 可能的三種溫度分布?？赡艿娜N溫度分布。 按照傳熱關系式按照傳熱關系式 作一個近似的分析。作一個近似的分析。 tt h tt q

5、 ww 1 x 0 x t t (b) (a) (c) 曲線（曲線（a a）表示平板外環(huán)境）表示平板外環(huán)境 的換熱熱阻的換熱熱阻 1/h 遠大于平遠大于平 板內(nèi)的導熱熱阻板內(nèi)的導熱熱阻 , , 即即 /1h 從曲線上看，從曲線上看， ，物體的溫，物體的溫 度場僅僅是時間的函數(shù)，與度場僅僅是時間的函數(shù)，與 空間坐標無關。這樣的非穩(wěn)空間坐標無關。這樣的非穩(wěn) 態(tài)導熱系統(tǒng)可用態(tài)導熱系統(tǒng)可用 求解。求解。 x 0 x t t (b) (a) (c)曲線（曲線（b b）表示平板外環(huán)境）表示平板外環(huán)境 的換熱熱阻的換熱熱阻 相當于相當于 平板內(nèi)的導熱熱阻平板內(nèi)的導熱熱阻 , , 即即 h1 /1h 這也是正

6、常的第三類邊界條這也是正常的第三類邊界條 件件 x 0 x t t (b) (a) (c) 曲線（曲線（c c）表示平板外環(huán)境）表示平板外環(huán)境 的換熱熱阻的換熱熱阻 遠小于遠小于 平板內(nèi)的導熱熱阻平板內(nèi)的導熱熱阻 , , 即即 h1 /1h 從曲線上看，物體內(nèi)部溫度從曲線上看，物體內(nèi)部溫度 變化比較大，而變化比較大，而 ，此時可用，此時可用 認為認為 。那么，。那么， 邊界條件就變成了邊界條件就變成了 ，即給定物體邊界上，即給定物體邊界上 的溫度。的溫度。 w tt h h Bi 1 是導熱分析中的一個重要的無因次是導熱分析中的一個重要的無因次準則數(shù)，準則數(shù)， 它它表征了給定導熱系統(tǒng)內(nèi)的表征了

7、給定導熱系統(tǒng)內(nèi)的與其與其 的對比關系。的對比關系。 平壁非穩(wěn)態(tài)導熱第三類邊界條件表達式平壁非穩(wěn)態(tài)導熱第三類邊界條件表達式 x x h x xx x xhBi 1 h Bi h ( /,0)OBi 2 2）畢渥數(shù)）畢渥數(shù)BiBi對溫度分布的影響對溫度分布的影響 3.2 3.2 集中參數(shù)法分析導熱問題 當物體內(nèi)部導熱熱阻遠小于其表面的換熱熱阻，當物體內(nèi)部導熱熱阻遠小于其表面的換熱熱阻， 也就是物體內(nèi)部溫度分布幾乎趨于一致，可以近似也就是物體內(nèi)部溫度分布幾乎趨于一致，可以近似 認為物體內(nèi)部在同一瞬間均處于同一溫度下。認為物體內(nèi)部在同一瞬間均處于同一溫度下。 此時此時 0hBi 對于任意形狀的物體當對

8、于任意形狀的物體當Bi0.1Bi t t ） ttA d dt cV 初始條件為初始條件為 ： 0 ，0tt 引入過余溫度：引入過余溫度： tt 0 ,0; cV A d d cV A n 0 分離變量積分并代入初始條件得：分離變量積分并代入初始條件得： (1)(1)溫度場的計算溫度場的計算 物體的溫度隨時間的變化關系是一條負物體的溫度隨時間的變化關系是一條負 自然指數(shù)曲線，或者無因次溫度的對數(shù)自然指數(shù)曲線，或者無因次溫度的對數(shù) 與時間的關系是一條負斜率直線。與時間的關系是一條負斜率直線。 cV hA e 0 FoBi A V A V cV A eee 2 )( a )( 0 其中其中V/AV

9、/A具有長度的量綱，稱為特征長度。具有長度的量綱，稱為特征長度。 （2 2）導熱量的計算）導熱量的計算 溫度變化得越慢；表面換熱條件越好單位時間內(nèi)傳遞的熱溫度變化得越慢；表面換熱條件越好單位時間內(nèi)傳遞的熱 量越多，則越能使物體自身溫度迅速接近流體溫度。量越多，則越能使物體自身溫度迅速接近流體溫度。 /0 /s 0.386 1 01 386.0 1 0 e 當當=4=4s s，01.0 6.4 0 e 工程上認為工程上認為 = = 44s s時導時導 熱體已達到熱平衡狀態(tài)。熱體已達到熱平衡狀態(tài)。 物體的過余溫度已經(jīng)降到了初始過余溫度的物體的過余溫度已經(jīng)降到了初始過余溫度的36.8%36.8%。

10、是反應物體對流體溫度變動響應快慢的指標。它是反應物體對流體溫度變動響應快慢的指標。它 取決于自身的熱容量取決于自身的熱容量cvcv及表面換熱條件及表面換熱條件hAhA。熱容量越大，。熱容量越大， hA cV 稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)，記為稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)，記為 s s。 二、集中參數(shù)法的適用范圍二、集中參數(shù)法的適用范圍 如何去判定一個任意的系統(tǒng)是否適用集中參數(shù)法如何去判定一個任意的系統(tǒng)是否適用集中參數(shù)法 ？ 對于直徑為對于直徑為2r2r的球體的球體 V/A=r/3V/A=r/3 則則 M M = 0.33 = 0.33 直徑為直徑為2r2r的長圓柱體的長圓柱體 V/A=r/2 V/A=r/2 則則

11、 M M = 0.5 = 0.5 對于厚度為對于厚度為2 2 的大平板的大平板 V/A= V/A= 則則 M M = 1 = 1 3.3 3.3 無限大無限大平平壁的非穩(wěn)態(tài)壁的非穩(wěn)態(tài)導熱導熱 （正規(guī)狀況（正規(guī)狀況階段）階段） 厚度厚度 2 2 的無限大平壁，的無限大平壁， 、a a為已知常數(shù)為已知常數(shù)； =0=0時時 溫度為溫度為 t t0 0; ; 突然把兩側介質溫度降低突然把兩側介質溫度降低 為為 t t 并保持不變；壁表并保持不變；壁表 面與介質之間的表面?zhèn)鳠崦媾c介質之間的表面?zhèn)鳠?系數(shù)為系數(shù)為h h。 兩側冷卻情況相同、溫度兩側冷卻情況相同、溫度 分布對稱。中心為原點。分布對稱。中心為

12、原點。 導熱微分方程：導熱微分方程： 2 2 x t a t 初始條件：初始條件： , 0 0 tt 邊界條件：邊界條件： ( (第三類第三類) ) 0 , 0 xtx )(- , tthxtx 過余溫度 ),( txt 2 2 x a 00 , 0 -tt 0 , 0 xx x hxx- , 解的最后形式為：解的最后形式為： )exp()cos( cossin )sin(2),( 2 2 1n 0 nn nnn n axx )exp()cos( cossin )sin(2),( 2 1n 0 nn nnn n Fo xx 2 FoahBi )exp()cos( cossin )sin(2),

13、( 2 1n 0 nn nnn n Fo xx 若若FoFo0.20.2時，利用上述公式計算時，采用該級數(shù)時，利用上述公式計算時，采用該級數(shù) 的第一項與采用完整的級數(shù)計算平板中心的溫度的第一項與采用完整的級數(shù)計算平板中心的溫度 差別小于差別小于1%1%。因而可以簡化為：。因而可以簡化為： )exp()cos( cossin )sin(2),( 2 11 111 1 0 Fo xx 所以對于所以對于 時無限大平壁的非穩(wěn)態(tài)導熱時無限大平壁的非穩(wěn)態(tài)導熱過過 程程, ,溫度場溫度場可按上式計算?？砂瓷鲜接嬎恪?對于圓柱體和球體在對于圓柱體和球體在下的一維下的一維 非穩(wěn)態(tài)導熱問題，也可以求得溫度分布的分

14、析解。非穩(wěn)態(tài)導熱問題，也可以求得溫度分布的分析解。 2 0 1 0 Jexp nnn n r CFo R 1 22 01 J ()2 J ()J n n nnn C 1 0 J () J () n n n Bi 2 1 0 sin(/) exp / n nn n n r R CFo r R sincos 2 sincos nnn n nnn C 1cot nn Bi 26 32 0 12 1 )( 1 )1 ( )( dxcxbxaxJ bBi cBia B ebaA Bi b a cBi 二、非穩(wěn)態(tài)二、非穩(wěn)態(tài)導熱正規(guī)狀況階段的工程計算方法導熱正規(guī)狀況階段的工程計算方法 2.2.諾謨圖法諾謨圖

15、法 0 1 mm0 cos, xx fBi 2 1 m1 0111 2sin , sincos Fo ef BiFo 2 1 1 1 0111 ,2sin cos sincos Fo xx e m m 00 )( )( ),(),( 00 m m xx )Fo Bi,( ) Bi,( ; )( )( ),(),( 00 f x f xx m m )( ),( ) Bi,( m xx P130P130圖圖3-83-8 P129P129圖圖3-73-7 )Fo Bi,( ) Bi,( ; )( )( ),(),( 00 f x f xx m m 0 )( Fo) (Bi, m 定義無量綱的熱量定義

16、無量綱的熱量 0 Q Q 其中其中Q Q 為 為0 0時間內(nèi)傳導的時間內(nèi)傳導的熱量熱量 VcQ 00 從初始時刻到平板與周圍介質處于從初始時刻到平板與周圍介質處于 熱平衡這一過程中所傳遞的熱平衡這一過程中所傳遞的總總傳熱傳熱 量（物體內(nèi)能改變總量）量（物體內(nèi)能改變總量） 經(jīng)過經(jīng)過 秒鐘、每平方米平壁放出或吸收的熱秒鐘、每平方米平壁放出或吸收的熱 量：量： 2Fo 1n 2 2 0 00 mJ cossin sin2 12 )()( 2 n ec dxcdxttcQ nnnn n ttcQf Q Q 0 2 00 0 m2 );Bi Fo,(平壁每 P130P130圖圖3-93-9 傅里葉準則數(shù)

17、：傅里葉準則數(shù)： FoFo：稱之為稱之為或或。其。其 表征非穩(wěn)態(tài)過程進行深度的無量綱時間，是給定表征非穩(wěn)態(tài)過程進行深度的無量綱時間，是給定 系統(tǒng)的動態(tài)特征量。這一無量綱時間越大，熱擾系統(tǒng)的動態(tài)特征量。這一無量綱時間越大，熱擾 動就越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而物體內(nèi)部各動就越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而物體內(nèi)部各 點的溫度就越接近周圍介質溫度。點的溫度就越接近周圍介質溫度。 由正規(guī)狀況階的分析解及諾莫圖可以看出，物體由正規(guī)狀況階的分析解及諾莫圖可以看出，物體 中各點的中各點的。 3.43.4 半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱 （非正規(guī)狀況階段）（非正規(guī)狀況階段） 在一定的時間內(nèi)，邊

18、界面處的溫度在一定的時間內(nèi)，邊界面處的溫度 擾動只能傳播到有限深度，在此深度以外，物體仍保擾動只能傳播到有限深度，在此深度以外，物體仍保 持原有狀態(tài)（初始狀態(tài)）。于是，在此時間內(nèi)，可以持原有狀態(tài)（初始狀態(tài)）。于是，在此時間內(nèi)，可以 把物體視為把物體視為。 假設半無限大物體具有均勻假設半無限大物體具有均勻 一致的初始溫度一致的初始溫度t t0 0、常物性、無、常物性、無 內(nèi)熱源內(nèi)熱源, ,表面溫度突然升至表面溫度突然升至t tw w并保并保 持不變。選擇坐標系如圖，這是持不變。選擇坐標系如圖，這是 一維的非穩(wěn)態(tài)導熱問題。一維的非穩(wěn)態(tài)導熱問題。 數(shù)學模型：數(shù)學模型： 2 2 tt a x 0 w

19、0 0, 0, , tt xtt xtt 分析解：分析解： w 00w tt tt erferf 2 x u a 高斯高斯誤差函數(shù)誤差函數(shù) 2 0 2 erf u x uedx 2 2 a x 0 0 0, 0,0 ,x x w t t 2 2 x u a 0 /erf0.99531u 說明以下兩點：說明以下兩點： 4xa （1）在 時刻， 深處的溫度尚未變化，仍為 t0，x 也稱為穿透深度穿透深度。 t t0 tw x 1 2 3 x1x2x3 （2）當 時，深 度x 處的溫度保持不變，時 間 稱為深度 x 處的惰性時間惰性時間。 2 /16xa 2 /16xa 根據(jù)傅里葉定律，半無限大物體

20、內(nèi)任意一點在根據(jù)傅里葉定律，半無限大物體內(nèi)任意一點在 時刻的熱流密度時刻的熱流密度為：為： 2 w0 exp 4 x tttx q xaa 表面表面（X= =0 )在在 時刻的熱流密度時刻的熱流密度為：為： w0 ww0 () ctt qtt a ww0 0 d2()/Qqttc 可見，在溫差一定的情況下，可見，在溫差一定的情況下， 越大，越大，通過表通過表 面的面的熱量越多，熱量越多， 稱為稱為，反映物體從與其，反映物體從與其 接觸的高溫物體的吸熱能力。接觸的高溫物體的吸熱能力。 c c 1 1、常熱流邊界條件下半無限大物體內(nèi)溫度場的解析、常熱流邊界條件下半無限大物體內(nèi)溫度場的解析 解：解：

21、 0w ( , )( , )2ierfc 4 x xt xtq ca 0 f0 ( , )t xt tt 2 2 erfcexperfc 44 xhxh axh a aa 3.5 多維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解 多維導熱問題中，幾種簡單幾何形狀物體的非多維導熱問題中，幾種簡單幾何形狀物體的非 穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解，可以用幾個相應的一穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解，可以用幾個相應的一 維非穩(wěn)態(tài)分析解維非穩(wěn)態(tài)分析解得出，稱之為得出，稱之為。 乘積解法實際上與數(shù)學上的分離變量法的原理相似。因乘積解法實際上與數(shù)學上的分離變量法的原理相似。因 此其應用也就有相應的限制條件。此其應用也就有相應的限制條件。 n 物體的初始溫度均勻物體的初始溫度均勻 n 周圍介質溫度均勻周圍介質溫度均勻 n 表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)均勻表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)均勻 n 常物性沒有內(nèi)熱源常物性沒有內(nèi)熱源 22 2 y x 0 21 1 例如：例如：1.1.矩形截面的長棱柱矩形截面的長棱柱 （正四棱柱）（正四