第3章 2定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)

1、1 3.2.3 定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù) 計(jì)算機(jī)中的兩種表示方式 數(shù)值范圍：一種數(shù)據(jù)類型所能表示的最大值和 最小值 數(shù)據(jù)精度：實(shí)數(shù)所能表示的有效數(shù)字位數(shù)。 數(shù)值范圍和數(shù)據(jù)精度均與使用多少位二進(jìn)制位 數(shù)以及編碼方式有關(guān)。 計(jì)算機(jī)用數(shù)字表示正負(fù)，隱含規(guī)定小數(shù)點(diǎn)。 采用“定點(diǎn)”、“浮點(diǎn)”兩種表示形式。 2 1. 數(shù)的定點(diǎn)表示方法 (1). 定點(diǎn)整數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)的最低位之后 如： Dn-1 Dn-2 D1 D0 . 范圍： 2n-1 -1 -2n-1 (采用字長n=16位補(bǔ)碼時(shí) 其值為32767 -32768) (2). 定點(diǎn)小數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)的符號位之后、數(shù) 值最高位之前。 如：D0. D-1 D-

2、(n-2) D-(n-1) 范圍：1 - 2-(n-1) -1 (采用字長n=16位時(shí)其值為 32767/32768 -1) 其中n表示字長多少位 3 （1） 浮點(diǎn)數(shù)的表示：是把字長分成階碼和 尾數(shù)兩部分。其根據(jù)就是： J Em-2.E0 S D-1D-(n-1) 階符 階碼值 數(shù)符 . . 尾數(shù)值 S J Em-2 .E0 D-1D-(n-1) 數(shù)符 階符 階碼值 . . 尾數(shù)值 通常，階碼為補(bǔ)碼或移碼定點(diǎn)整數(shù)，尾數(shù)為補(bǔ)碼或原碼 定點(diǎn)小數(shù)。 2. 數(shù)的浮點(diǎn)表示方法 J E DX2 4 （2）浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化 目的：字長固定的情況下提高表示精 度的措施： 1 增加尾數(shù)位數(shù)（但數(shù)值范圍減小） 2

3、采用浮點(diǎn)規(guī)格化形式 5 規(guī)格化方法：調(diào)整階碼使尾數(shù)滿足下列關(guān)系： 尾數(shù)為原碼表示時(shí)，無論正負(fù)應(yīng)滿足1/2|d |1 即：小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)一定要為1。 正數(shù)的尾數(shù)應(yīng)為0.1x.x 負(fù)數(shù)的尾數(shù)應(yīng)為1.1x.x 尾數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，小數(shù)最高位應(yīng)與數(shù)符符號位 相反。 正數(shù)應(yīng)滿足 1/2d d -1，即 1.0 x.x 6 例題：設(shè)某機(jī)器用32位表示一個(gè)實(shí)數(shù)，階碼部分8位 （含1位階符），用定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼表示；尾數(shù)部分24 位（含數(shù)符1位），用規(guī)格化定點(diǎn)小數(shù)補(bǔ)碼表示，基 數(shù)為2。則： 1. 求X=256.5 的第一種浮點(diǎn)表示格式 X=(256. 5)10 =+(100000000.1)2 =+(0.100

4、0000001 x 2+9 )2 8位階碼為：（+9）補(bǔ)=0000 1001 24位尾數(shù)為：(+0.10 0000 0001)補(bǔ) =0.100 0000 0010 0000 0000 0000 所求256.5的浮點(diǎn)表示格式為： 0000 1001 0100 0000 0010 0000 0000 0000 用16進(jìn)制表示此結(jié)果則為：(09402000)16 7 Y=-(256. 5)10 =-(100000000.1)2 =-0.1000000001 x2+9 8位階碼為：(+9)補(bǔ)=0000 1001 24位尾數(shù)為：(-0.10 0000 0001)補(bǔ) =1.011 1111 1110 00

5、00 0000 0000 所求-256.5的浮點(diǎn)表示格式為： 0000 1001 1011 1111 1110 0000 0000 0000 用16進(jìn)制表示此結(jié)果則為：(09BFE000)16 2. 求Y= -256.5 的第一種浮點(diǎn)表示格式 8 （3） 溢出問題 定點(diǎn)數(shù)的溢出根據(jù)數(shù)值本身判斷 浮點(diǎn)數(shù)的溢出根據(jù)規(guī)格化后的階碼判斷 上溢浮點(diǎn)數(shù)階碼大于機(jī)器最大階碼 中斷 下溢浮點(diǎn)數(shù)階碼小于機(jī)器最小階碼 零處理 溢出的具體判斷方法將結(jié)合實(shí)例在后續(xù)課程中介紹 9 3. 微機(jī)中所能表示的數(shù)值類型 （1）無符號二進(jìn)制數(shù)（字節(jié)、字和雙字） （2）帶符號的二進(jìn)制定點(diǎn)整數(shù)形式（16、 32、64位補(bǔ)碼表示)和1

6、8位BCD碼整數(shù)形式 (80bit)。 （3）浮點(diǎn)數(shù)（IEEE754標(biāo)準(zhǔn)） 包括數(shù)符S、 階碼E和尾數(shù)D三個(gè)字段。 10 微機(jī)中的四種整數(shù)類型 整數(shù)類型 數(shù)值范圍 精 度 格 式 16位整數(shù) -3276832767 二進(jìn)制16位 補(bǔ)碼表 示 短整數(shù) -231 231-1 二進(jìn)制32位 補(bǔ)碼表 示 長整數(shù) -263 263-1 二進(jìn)制64位 補(bǔ)碼表 示 BCD整數(shù) -1018+11018-1 十進(jìn)制18位 80個(gè)二 進(jìn)制其中最左面1字節(jié)的最高位是符號位，余7位 無效；另外72位是18位BCD碼，原碼表示。 11 IEEE754標(biāo)準(zhǔn)格式如下 (-1)S 2E (D0.D-1D-(P-1) 最高是數(shù)

7、符S占1位，0表示正、1表示負(fù)； 指數(shù)項(xiàng)E，基數(shù)是2，E是一個(gè)帶有一定偏移 量的無符號整數(shù)；尾數(shù)部分D，它是一個(gè)帶 有一位整數(shù)位的二進(jìn)制小數(shù)真值形式。其 規(guī)格化形式應(yīng)調(diào)整階碼使其尾數(shù)整數(shù)位D0 為1且與小數(shù)點(diǎn)一起隱含掉。 12 微 機(jī) 中 三 種 不 同 類 型 浮 點(diǎn) 數(shù) 的 格 式 參 數(shù) 單 精 度 雙 精 度 擴(kuò) 展 精 度 浮 點(diǎn) 數(shù) 長 度 （ 位 ） 32 64 80 符 號 位 數(shù) 1 1 1 尾 數(shù) 長 度P(位 ) 23+1（ 隱 ） 52+1（ 隱 ） 64 階 碼E長 度 （ 位 ） 8 11 15 最 大 階 碼 +127 +1023 +16383 最 小 階 碼 -

8、126 -1022 -16382 階 碼 偏 移 量 +127 +1023 +16383 表 示 數(shù) 范 圍 10 -38 10 +38 10 -308 10 +308 13 微機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)表示成規(guī)格化形式，如下圖所示： 單精度 31 30 23 22 0 符號位 階 碼 尾數(shù)有效 位 1 雙精度 63 62 52 51 0 符號位 階 碼 尾數(shù)有效位 1 擴(kuò)展精度 79 78 64 63 0 符號位 階 碼 尾數(shù)有效位 微機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的三種表示形式 14 例如將十進(jìn)制數(shù)178.125表示成微 機(jī)中的單精度浮點(diǎn)數(shù) 解:178.125=10110010.001B =1.0110010001x27 指

9、數(shù)E=7+127=134=10000110B 127是單精度浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)加的指數(shù)偏移量，其完整的 浮點(diǎn)數(shù)形式為 ： 0 10000110 011 0010 0010 0000 0000 0000 = 43322000H 15 例:將下面Pentium機(jī)中的單精度浮點(diǎn)數(shù) 表示成十進(jìn)制真值是多少？ 0011 ,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000 數(shù)符:S=(-1) 0=1 （正號） 階碼: E=(01111110)2-127=126-127= -1 尾數(shù): D=(1.1011)2 X= 1.1011x2-1= (0.11011)2=0.84375 16 3.2.4 數(shù)

10、字化信息的編碼及表 示 計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算，就必須首先實(shí) 現(xiàn)數(shù)字化表達(dá)。 另外由于計(jì)算機(jī)除了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算外，還 要進(jìn)行各種文字(特別是中文)的處理與編輯。因 此，所有由計(jì)算機(jī)處理的信息也要用數(shù)字進(jìn)行編 碼。這樣在物理機(jī)制上可以以數(shù)字信號表示. 17 信息的數(shù)字化表示形式 數(shù)字信號:是一種在時(shí)間上或空間上離散的 信號,單個(gè)信號是常用的二值邏輯(0或1),依 靠多位信號組合表示廣泛的信息. 18 1.用一串脈沖信號表示數(shù)字代碼 （先發(fā)低位后發(fā)高位為例） 1 0 1 1 0 t U 19 2.用一組電平信號表示數(shù)字代碼 0t U 1 0t U 1 0t U 0 0t U 1 20 3.用一組

11、數(shù)字代碼表示字符（如ASCII碼） 4.用若干點(diǎn)的組合表示圖像 （如圖形點(diǎn)陣碼） 5.用數(shù)字信號表示聲音 （如VCD DVD光盤） 6.用數(shù)字代碼表示命令與狀態(tài) 21 數(shù)字化方法表示信息的優(yōu)點(diǎn): 抗干擾能力強(qiáng),可靠性高; 位數(shù)增多則數(shù)的表示范圍可擴(kuò)大; 物理上容易實(shí)現(xiàn),并可存儲; 表示信息的范圍與類型極其廣泛; 能用邏輯代數(shù)等數(shù)字邏輯技術(shù)進(jìn)行處理. 22 3.3 二進(jìn)制乘法運(yùn)算 1.軟件編程方法實(shí)現(xiàn)軟件編程方法實(shí)現(xiàn)(時(shí)序控制乘法器）時(shí)序控制乘法器） 由手算到機(jī)器實(shí)現(xiàn)，要解決三個(gè)問題：符號問題、由手算到機(jī)器實(shí)現(xiàn)，要解決三個(gè)問題：符號問題、 部分積相加進(jìn)位問題、移位問題。部分積相加進(jìn)位問題、移位問

12、題。 原碼乘法是先取絕對值相乘，再根據(jù)同號相乘為原碼乘法是先取絕對值相乘，再根據(jù)同號相乘為 正、異號相乘位負(fù)，單獨(dú)決定符號位。補(bǔ)碼乘法則讓正、異號相乘位負(fù)，單獨(dú)決定符號位。補(bǔ)碼乘法則讓 符號位直接參加運(yùn)算，算法將會復(fù)雜一些。符號位直接參加運(yùn)算，算法將會復(fù)雜一些。 2.硬件快速乘法器實(shí)現(xiàn)硬件快速乘法器實(shí)現(xiàn) 利用中大規(guī)模集成電路芯片，在一拍節(jié)中實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)利用中大規(guī)模集成電路芯片，在一拍節(jié)中實(shí)現(xiàn)多項(xiàng) 部分積的相加，成為陣列乘法器。部分積的相加，成為陣列乘法器。 23 3.3.1 定點(diǎn)數(shù)一位乘法定點(diǎn)數(shù)一位乘法 1. 定點(diǎn)原碼一位乘定點(diǎn)原碼一位乘 規(guī)則規(guī)則:在機(jī)器中采用在機(jī)器中采用A,B,C寄存器來分別存

13、放部分積，被乘寄存器來分別存放部分積，被乘 數(shù)和乘數(shù)數(shù)和乘數(shù) （1）在機(jī)器內(nèi)一次加法操作只能求出兩數(shù)之和，因此）在機(jī)器內(nèi)一次加法操作只能求出兩數(shù)之和，因此 每求得一個(gè)相加數(shù)時(shí)，就得與上次部分積相加。每求得一個(gè)相加數(shù)時(shí)，就得與上次部分積相加。 （2）人工計(jì)算時(shí)，相加數(shù)逐次向左偏移一位，由于最）人工計(jì)算時(shí)，相加數(shù)逐次向左偏移一位，由于最 后的乘積位數(shù)是乘數(shù)（或被乘數(shù)）的兩倍后的乘積位數(shù)是乘數(shù)（或被乘數(shù)）的兩倍.由于在求本由于在求本 次部分積時(shí)，前一次部分積的最低位，不再參與運(yùn)算，次部分積時(shí)，前一次部分積的最低位，不再參與運(yùn)算， 因此可將其右移一位。相加數(shù)可直送而不必偏移，于是因此可將其右移一位。相

14、加數(shù)可直送而不必偏移，于是 用用N位加法器就可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)位加法器就可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)N位數(shù)相乘。位數(shù)相乘。 （3）部分積右移時(shí)乘數(shù)寄存器同時(shí)右移一位，這樣可）部分積右移時(shí)乘數(shù)寄存器同時(shí)右移一位，這樣可 以用乘數(shù)寄存器的最低位來控制相加數(shù)（取被乘數(shù)或以用乘數(shù)寄存器的最低位來控制相加數(shù)（取被乘數(shù)或 零），同時(shí)乘數(shù)寄存器的最高位可接收部分積右移出來零），同時(shí)乘數(shù)寄存器的最高位可接收部分積右移出來 的一位，因此，完成乘法運(yùn)算后，的一位，因此，完成乘法運(yùn)算后，A寄存器中保存乘積寄存器中保存乘積 的高位部分，乘數(shù)寄存器的高位部分，乘數(shù)寄存器C中保存乘積的低位部分。中保存乘積的低位部分。 24 例例:設(shè)設(shè)X=0.11

15、01,Y=0.1011,求求XY. 其中寄存器其中寄存器B=X ,Cd=4.流程圖流程圖3.6 計(jì)算過程如下計(jì)算過程如下: 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 +x 右移一位 +x 右移一位 +0 右移一位 +x 右移一位 部分積 A 乘數(shù) C

16、 乘積高位 乘積低位 1(丟失) 1(丟失) 0(丟失) 1(丟失) XY=0.10001111 25 注意：注意： 兩操作數(shù)的絕對值相乘，兩操作數(shù)的絕對值相乘， 符號位單符號位單 獨(dú)處理。獨(dú)處理。 寄存器寄存器A.B均設(shè)置雙符號位，第均設(shè)置雙符號位，第1符符 號位始終是部分積符號，決定在右號位始終是部分積符號，決定在右 移時(shí)第移時(shí)第1符號位補(bǔ)符號位補(bǔ)0 操作步數(shù)由乘數(shù)的尾數(shù)位數(shù)決定，操作步數(shù)由乘數(shù)的尾數(shù)位數(shù)決定， 用計(jì)數(shù)器用計(jì)數(shù)器Cd來計(jì)數(shù)。即作來計(jì)數(shù)。即作n次累加次累加 和移位。和移位。 最后是加符號位，根據(jù)最后是加符號位，根據(jù)Sx Sy決定。決定。 26 2.定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法定點(diǎn)補(bǔ)碼一位

17、乘法 實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼乘法有兩種方法，現(xiàn)在廣泛使用的是實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼乘法有兩種方法，現(xiàn)在廣泛使用的是 Booth算法，也稱為比較法。這種方法在機(jī)器實(shí)算法，也稱為比較法。這種方法在機(jī)器實(shí) 現(xiàn)中要在乘數(shù)末位現(xiàn)中要在乘數(shù)末位Yi之后再增加一個(gè)附加位之后再增加一個(gè)附加位Yi+1, 并令其初始值為并令其初始值為0。然后根據(jù)比較。然后根據(jù)比較Yi、 Yi+1的值決的值決 定下一步操作，規(guī)則如下：定下一步操作，規(guī)則如下：(部分積初始為部分積初始為0) Yi Yi+1 操操 作作 0 0 原部分積右移一位原部分積右移一位 0 1 原部分積加原部分積加X補(bǔ)補(bǔ)后再右移一位后再右移一位 1 0 原部分積加原部分積加-X補(bǔ)補(bǔ)后再右

18、移一位后再右移一位 1 1 原部分積右移一位原部分積右移一位 27 例例3.35:設(shè)設(shè)X=-0.1101,Y=0.1011,即即X補(bǔ)補(bǔ)=11.0011,Y補(bǔ)補(bǔ)=0.1011 ,-X=00.1101 求求 XY補(bǔ)補(bǔ). 計(jì)算過程如下計(jì)算過程如下:0 0 0 0 0 0 0. 1 0 1 1 0 初始值,最后一位補(bǔ)0 0 0 1 1 0 1 Y5Y4=01 +-X補(bǔ) 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 右移一位 0 0 0 0 0 0 Y4Y3=11 +0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 右移一位 1 1 0 0 1 1 Y

19、3Y2=10 +X補(bǔ) 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 右移一位 0 0 1 1 0 1 Y2Y1=01 +-X補(bǔ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 右移一位 1 1 0 0 1 1 Y1Y0=10 +X補(bǔ) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 + + + + + 部分積 乘數(shù)Y Yi Yi+1 說明 乘積高位 乘積低位 XY補(bǔ)=1.01110001, XY=-0.10001111 28 初始值與符號位：初始值與符號位：A寄存器存放部分累加和，寄存器存放部分累加和， 初始為初始為0，采用雙符號位。第，采用雙符號位。第

20、1符號位指示累符號位指示累 加和的正負(fù)，以控制右移時(shí)補(bǔ)加和的正負(fù)，以控制右移時(shí)補(bǔ)0或補(bǔ)或補(bǔ)1。B中中 存放被乘數(shù)的補(bǔ)碼，雙符號位。存放被乘數(shù)的補(bǔ)碼，雙符號位。 基本操作：用基本操作：用C寄存器最末兩位作判斷位，寄存器最末兩位作判斷位， 決定下一步的操作。決定下一步的操作。 移位移位:在右移時(shí)，第在右移時(shí)，第2符號位值移入位數(shù)的最符號位值移入位數(shù)的最 高位，第高位，第1符號位值不變且移入第符號位值不變且移入第2符號位，符號位， 而而A寄存器末位移入寄存器末位移入C寄存器。寄存器。 步數(shù)與最后一步操作步數(shù)與最后一步操作:乘數(shù)有效位是乘數(shù)有效位是4位，共位，共 作作5步。注意，最后一步不移位因?yàn)檫@一

21、步步。注意，最后一步不移位因?yàn)檫@一步 是用來處理符號位的。是用來處理符號位的。 29 3.4.1 定點(diǎn)除法運(yùn)算 1.定點(diǎn)原碼一位除法定點(diǎn)原碼一位除法 有恢復(fù)余數(shù)法和不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法），計(jì)算機(jī)中常用有恢復(fù)余數(shù)法和不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法），計(jì)算機(jī)中常用 后者。因?yàn)樗牟僮鞑襟E少，而且也不復(fù)雜。其處理思想是：先后者。因?yàn)樗牟僮鞑襟E少，而且也不復(fù)雜。其處理思想是：先 減后判，如減后發(fā)現(xiàn)不夠減，則在下一步改作加除數(shù)操作。這樣減后判，如減后發(fā)現(xiàn)不夠減，則在下一步改作加除數(shù)操作。這樣 操作步驟固定易于編程。其要點(diǎn)如下：操作步驟固定易于編程。其要點(diǎn)如下： (1)要求被除數(shù)要求被除數(shù)|X|除數(shù)除數(shù)|

22、Y|,并取原碼尾數(shù)的絕對值相除；符號并取原碼尾數(shù)的絕對值相除；符號 位單獨(dú)處理，商的符號為相除兩數(shù)符號的半加和。位單獨(dú)處理，商的符號為相除兩數(shù)符號的半加和。 （2）被除數(shù)的位數(shù)可以是除數(shù)的兩倍，其低位的數(shù)值部分開）被除數(shù)的位數(shù)可以是除數(shù)的兩倍，其低位的數(shù)值部分開 始時(shí)放在商寄存器中。運(yùn)算中，放被除數(shù)和商的始時(shí)放在商寄存器中。運(yùn)算中，放被除數(shù)和商的A、C寄存器同寄存器同 時(shí)移位，并將商寄存器時(shí)移位，并將商寄存器C中最高位移到被除數(shù)寄存器中最高位移到被除數(shù)寄存器A的最低位的最低位 中。中。 （3）每步操作后，可根據(jù)余數(shù)）每步操作后，可根據(jù)余數(shù)Ri符號來判斷是否夠減：符號來判斷是否夠減：Ri位位 正

23、表明夠減，上商正表明夠減，上商Q為為1。Ri為負(fù)表明不夠減，上商為負(fù)表明不夠減，上商Q為為0。 （4）基本操作可用通式描述為：）基本操作可用通式描述為：Ri=2Ri+(1-2Qi)Y (5原碼除的思想是先當(dāng)成正數(shù)相除，若最后一步所得余數(shù)為原碼除的思想是先當(dāng)成正數(shù)相除，若最后一步所得余數(shù)為 負(fù)，則應(yīng)恢復(fù)余數(shù)，但不移位，以保持負(fù)，則應(yīng)恢復(fù)余數(shù)，但不移位，以保持Ri為正。為正。 舉例如下：舉例如下： 30 例例3.39:設(shè)被乘數(shù)設(shè)被乘數(shù)X=0.1011,Y=0.1101,用加減交替法求用加減交替法求X/Y. -Y補(bǔ)補(bǔ)=11.0011, 計(jì)算過程如下計(jì)算過程如下: 0 0 1 0 1 1 0 0 0

24、0 0 開始情形 1 1 0 0 1 1 +-Y補(bǔ) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 不夠減,商上0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 左移 0 0 1 1 0 1 +Y 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 夠減,商上1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 左移 1 1 0 0 1 1 +-Y補(bǔ) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 夠減,商上1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 左移 1 1 0 0 1 1 +-Y補(bǔ) 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 不夠減,商上0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 左移 0 0 1 1

25、 0 1 +Y 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 夠減,商上1 +) +) +) +) +) 被除數(shù)(余數(shù)R) （被除數(shù))(商） 操作說明 余數(shù) 商 X/Y=0.1101, 余數(shù)=0.0111 31 A寄存器中開始時(shí)存放被除數(shù)的絕對值，以后將存寄存器中開始時(shí)存放被除數(shù)的絕對值，以后將存 放各次余數(shù)，取雙符號位。放各次余數(shù)，取雙符號位。B寄存器存放除數(shù)的絕寄存器存放除數(shù)的絕 對值，取雙符號位。對值，取雙符號位。C寄存器同來存放商，取單符寄存器同來存放商，取單符 號位。號位。 第一步操作：將被除數(shù)第一步操作：將被除數(shù)X視為初始余數(shù)視為初始余數(shù)R0,根據(jù)根據(jù)R0符符 號位正（絕對值），令商

26、符為號位正（絕對值），令商符為0，正是的商符以后，正是的商符以后 再置入。第一步為再置入。第一步為-Y。 商值則根據(jù)余數(shù)商值則根據(jù)余數(shù)R0的符號來決定，正則商上的符號來決定，正則商上1，求，求 下一位商的辦法是余數(shù)左移一位再減去除數(shù)；當(dāng)余下一位商的辦法是余數(shù)左移一位再減去除數(shù)；當(dāng)余 數(shù)為負(fù)則商上數(shù)為負(fù)則商上0，求下一位商的辦法是余數(shù)左移一，求下一位商的辦法是余數(shù)左移一 位再加上除數(shù)。左移位時(shí)末位補(bǔ)位再加上除數(shù)。左移位時(shí)末位補(bǔ)0。 操作步數(shù)與最后一步操作：如果要求得操作步數(shù)與最后一步操作：如果要求得n位商（不位商（不 含符號位），則需作含符號位），則需作n步步“左移左移-加減加減”循環(huán)；若第循環(huán)

27、；若第 n步余數(shù)為負(fù)，則需增加一步恢復(fù)余數(shù)，這增加的步余數(shù)為負(fù)，則需增加一步恢復(fù)余數(shù)，這增加的 一步不移位。一步不移位。 32 2.定點(diǎn)補(bǔ)碼一位除法（加減交替法） 補(bǔ)碼除法規(guī)則表：補(bǔ)碼除法規(guī)則表：X補(bǔ)、補(bǔ)、Y補(bǔ)、補(bǔ)、r補(bǔ)補(bǔ)分別為被除數(shù)、除數(shù)和余分別為被除數(shù)、除數(shù)和余 數(shù)數(shù) X補(bǔ)Y補(bǔ) 數(shù) 符 商符第一步 操作 r補(bǔ) Y補(bǔ) 數(shù) 符 上商 下一步操作 同號 0 減法同號（夠減） 異號（不夠減） 1 0 2ri補(bǔ)-Y補(bǔ) 2ri補(bǔ)+Y補(bǔ) 異號 1 加法同號（不夠減） 異號（夠減） 1 0 2ri補(bǔ)-Y補(bǔ) 2ri補(bǔ)+Y補(bǔ) 33 以上是在以上是在|X|Y|即不溢出的前提下；即不溢出的前提下； （1）第一步如

28、果被除數(shù)與除數(shù)同號，用被除數(shù)減去除數(shù)；）第一步如果被除數(shù)與除數(shù)同號，用被除數(shù)減去除數(shù)； 若兩數(shù)異號，用被除數(shù)加上除數(shù)。如果所得余數(shù)與除數(shù)若兩數(shù)異號，用被除數(shù)加上除數(shù)。如果所得余數(shù)與除數(shù) 同號上商同號上商1，若余數(shù)與除數(shù)異號，上商，若余數(shù)與除數(shù)異號，上商0，該商即為結(jié)果，該商即為結(jié)果 的符號位。的符號位。 （2）求商的數(shù)值部分）求商的數(shù)值部分 如果上次上商如果上次上商1，將余數(shù)左移一位，將余數(shù)左移一位 后減去除數(shù)；如果上次上商后減去除數(shù)；如果上次上商0，將余數(shù)左移一位后加上，將余數(shù)左移一位后加上 除數(shù)。然后判斷本次操作后的余數(shù)，如果余數(shù)與除數(shù)同除數(shù)。然后判斷本次操作后的余數(shù)，如果余數(shù)與除數(shù)同 號

29、上商號上商1；若余數(shù)與除數(shù)異號上商；若余數(shù)與除數(shù)異號上商0。如此重復(fù)執(zhí)行。如此重復(fù)執(zhí)行 n-l次（設(shè)數(shù)值部分有次（設(shè)數(shù)值部分有n位）。位）。 （3）商的最后一位一般采用恒置）商的最后一位一般采用恒置1的辦法，井省略了最的辦法，井省略了最 低位低位+1的操作，此時(shí)最大誤差為士的操作，此時(shí)最大誤差為士2-n.如果對商的精度如果對商的精度 要求較高則可按規(guī)則（要求較高則可按規(guī)則（2）再進(jìn)行一次操作以求得商的）再進(jìn)行一次操作以求得商的 第第n位。當(dāng)除不盡時(shí)若商為負(fù)，要在商的最低一位加位。當(dāng)除不盡時(shí)若商為負(fù)，要在商的最低一位加 1， 使商從反碼值轉(zhuǎn)變成補(bǔ)碼值使商從反碼值轉(zhuǎn)變成補(bǔ)碼值;若商為正最低位不需要

30、加若商為正最低位不需要加1。 34 例例3.40:設(shè)設(shè)X補(bǔ)補(bǔ)=1.0111,Y補(bǔ)補(bǔ)=0.1101,求求X/Y補(bǔ)補(bǔ). -Y補(bǔ)補(bǔ)=11.0011,計(jì)算過程如下計(jì)算過程如下: X/Y補(bǔ)=1.0101 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 開始情形 0 0 1 1 0 1 兩數(shù)異號+Y補(bǔ) ？書 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 余數(shù)與除數(shù)同號,商上1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 左移 1 1 0 0 1 1 上次商1,+-Y補(bǔ) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 余數(shù)與除數(shù)異號,商上0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 左移 0 0 1 1 0 1 上

31、次商0,+-Y補(bǔ) 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 余數(shù)與除數(shù)同號,商上1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 左移 1 1 0 0 1 1 上次商1, +-Y補(bǔ) 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 余數(shù)與除數(shù)異號,商上0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 左移,商的最低位恒置1 +) +) +) +) 被除數(shù)(余數(shù)) 商 操作說明 余數(shù) 商 35 例例3.40最低位恒置最低位恒置1，余數(shù)不正確。，余數(shù)不正確。 A寄存器存放被除數(shù)（補(bǔ)碼），以后存放余數(shù)，寄存器存放被除數(shù)（補(bǔ)碼），以后存放余數(shù)， 取雙符號位。取雙符號位。B寄存器存放除數(shù)（補(bǔ)碼），雙寄存器存放除

32、數(shù)（補(bǔ)碼），雙 符號位。符號位。C寄存器存放商，初始值為寄存器存放商，初始值為0（未考（未考 慮商符之前），單符號位。慮商符之前），單符號位。 如余數(shù)為如余數(shù)為0，則表示除盡。例，則表示除盡。例3.41如采用商的如采用商的 最低位恒置最低位恒置1的方法，其誤差為的方法，其誤差為2-n=2-4。 補(bǔ)碼除法規(guī)則表補(bǔ)充說明：補(bǔ)碼除法規(guī)則表補(bǔ)充說明：1、表中、表中i=0n-1. 2、上采用末位恒置、上采用末位恒置1的方法，操作簡便。如的方法，操作簡便。如 要提高精度，則要提高精度，則按上述規(guī)則要提高精度，則要提高精度，則按上述規(guī)則 多求一位，再采用以下方法對商進(jìn)行處理：多求一位，再采用以下方法對商進(jìn)行

33、處理：兩兩 數(shù)能除盡時(shí)，如除數(shù)為正，商不必加數(shù)能除盡時(shí)，如除數(shù)為正，商不必加2-n, 如除數(shù)為負(fù)，商加如除數(shù)為負(fù)，商加2- n； ；兩數(shù)除不盡時(shí)，如商為正，商不必加兩數(shù)除不盡時(shí)，如商為正，商不必加2-n, 如商為負(fù)，商加如商為負(fù)，商加 2-n 。 36 例例3.42 X補(bǔ)補(bǔ)=1.0111, Y補(bǔ)補(bǔ)=1.0011, 則則-Y補(bǔ)補(bǔ) =0.1101。求。求X/Y補(bǔ)補(bǔ)=？ 被除數(shù)（余數(shù)）被除數(shù)（余數(shù)） 商商 操作說明操作說明 11。0111 + 00。1101 兩數(shù)同號，+-Y補(bǔ) 00。0100 0 余數(shù)與除數(shù)異號， 商0 左移 00。1000 + 11。0011 +Y補(bǔ) 11。1011 01 同號，

34、商1 左移 11。0110 + 00。1101 +-Y補(bǔ) 00。0011 010 異號，商0 左移 00。0110 + 11。0011 +Y補(bǔ) 11。1001 0101 同號，商1 左移 11。0010 + 00。1101 +-Y補(bǔ) 11。1111 01011 同號，商1 X/Y補(bǔ)=0.1011 余數(shù)補(bǔ)=1。1111x2-4 37 3.5 浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法 浮點(diǎn)數(shù)的表示形式（以浮點(diǎn)數(shù)的表示形式（以2為底）：為底）： N = M 2E 其中，其中，M為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，一般為絕對值小于為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，一般為絕對值小于1的的 規(guī)格化二進(jìn)制小數(shù)用原碼或補(bǔ)碼形式表示；規(guī)格化二進(jìn)制小數(shù)用原碼或補(bǔ)碼形式表示；

35、E 為浮點(diǎn)數(shù)的階碼，一般是用移碼或補(bǔ)碼表示的為浮點(diǎn)數(shù)的階碼，一般是用移碼或補(bǔ)碼表示的 整數(shù)。整數(shù)。 階碼的底除了階碼的底除了2以外，還有用以外，還有用8或或16表示表示 的，這里先以的，這里先以2為底進(jìn)行討論。然后再簡介以為底進(jìn)行討論。然后再簡介以8 或或16為底的數(shù)的運(yùn)算。為底的數(shù)的運(yùn)算。 38 1. 加、減法運(yùn)算 兩數(shù)首先均為規(guī)格化數(shù)，在進(jìn)行規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)兩數(shù)首先均為規(guī)格化數(shù)，在進(jìn)行規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù) 的加減運(yùn)算需經(jīng)過五步完成：的加減運(yùn)算需經(jīng)過五步完成： 對階操作：低階向高階補(bǔ)齊，使階碼相等；對階操作：低階向高階補(bǔ)齊，使階碼相等； 尾數(shù)運(yùn)算：階碼對齊后直接對尾數(shù)運(yùn)算；尾數(shù)運(yùn)算：階碼對齊后直接對尾數(shù)

36、運(yùn)算； 結(jié)果規(guī)格化：對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化處理；結(jié)果規(guī)格化：對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化處理； (使補(bǔ)碼尾數(shù)的最高位和尾數(shù)符號相反使補(bǔ)碼尾數(shù)的最高位和尾數(shù)符號相反) 如溢出則需左規(guī)，如不是規(guī)格化時(shí)應(yīng)右規(guī)。如溢出則需左規(guī)，如不是規(guī)格化時(shí)應(yīng)右規(guī)。 舍入操作：丟失位進(jìn)行舍入操作：丟失位進(jìn)行0舍舍1入或恒置入或恒置1處理；處理； 判斷溢出：判斷階碼是否溢出，下溢則將運(yùn)判斷溢出：判斷階碼是否溢出，下溢則將運(yùn) 算結(jié)果置算結(jié)果置0，上溢則中斷。，上溢則中斷。 39 具體說明如下： 對階運(yùn)算對階運(yùn)算(小階向大階對齊小階向大階對齊) 尾數(shù)為原碼時(shí)尾數(shù)為原碼時(shí),尾數(shù)右移尾數(shù)右移,符號位不動符號位不動,最高位補(bǔ)最高位補(bǔ)0 尾

37、數(shù)為補(bǔ)碼時(shí)尾數(shù)為補(bǔ)碼時(shí),尾數(shù)右移尾數(shù)右移,符號也移位符號也移位,最高位補(bǔ)符號最高位補(bǔ)符號 位位 例如：例如： 求求=? 小階對大階小階對大階 舍掉的是舍掉的是 如大階對小階如大階對小階 則舍掉的是則舍掉的是 21001. 021101. 0 3 333 21111. 020010. 021101. 0 21101. 021001. 020100. 0 20001.0 3 21100. 0 40 333 2101110. 02001010. 021001. 0 規(guī)格化：原碼尾數(shù)高位為規(guī)格化：原碼尾數(shù)高位為1，補(bǔ)碼與符號相反，補(bǔ)碼與符號相反 舍入操作：舍入操作：0舍舍1入入 或或 恒置恒置1 例1

38、：求=? 0舍1入后為 恒置1 例2：求 =? 0舍1入后為 恒置1 判斷結(jié)果的正確性(即結(jié)果的階碼是否溢出) 21001.021001.0 3 333 2101101.02001001.021001.0 21010.021001.0 3 3 21100.0 3 21011.0 3 21011.0 3 21011.0 41 例:假設(shè) 其中指數(shù)和小數(shù)均為二進(jìn)制真值其中指數(shù)和小數(shù)均為二進(jìn)制真值, ,求求X+Y=?X+Y=? 其階碼其階碼4 4位位 ( (含階符含階符),),補(bǔ)碼表示補(bǔ)碼表示; ;尾數(shù)尾數(shù)6 6位位, ,補(bǔ)碼表示補(bǔ)碼表示, ,尾數(shù)符號在最尾數(shù)符號在最 高位高位, ,尾數(shù)數(shù)值尾數(shù)數(shù)值5

39、 5位。位。 解: 尾符 階碼 尾數(shù)5位 X浮=0 0010 11010 Y浮=1 0011 00010 對階 X浮=0 0011 01101 尾數(shù)求和 00.01101+11.00010=11.01111 X浮+ Y浮=1 0011 01111 規(guī)格化、舍入操作、階碼溢出判斷，最后： X+Y真= 1110 21111.0,21101.0YX 11 210001.0 42 例例: :假設(shè)假設(shè) 其中指數(shù)和小數(shù)均為二進(jìn)制真值其中指數(shù)和小數(shù)均為二進(jìn)制真值, ,求求X-YX-Y。其階碼。其階碼4 4位位( (含階符含階符),),補(bǔ)補(bǔ) 碼表示碼表示; ;尾數(shù)尾數(shù)6 6位位, ,補(bǔ)碼表示補(bǔ)碼表示, ,尾數(shù)

40、符號在最高位尾數(shù)符號在最高位, ,尾數(shù)數(shù)值尾數(shù)數(shù)值5 5位位 解: 尾符 階碼 尾數(shù) X浮=0 0010 11010 Y浮=1 0011 00010 對階 X浮=0 0011 01101 尾數(shù)求差： X尾-Y 尾補(bǔ)=X 尾補(bǔ)+-Y 尾補(bǔ) =00.01101+00.11110=01.01011 規(guī)格化處理、舍入操作均不需要，階碼溢出檢查： 尾數(shù)符號位為01,尾數(shù)發(fā)生上溢出，做規(guī)格化處理 尾數(shù)連同符號右移一位00.101011，階碼加1至0100 舍入操作恒置1后：X浮- Y浮=0 0100 10101 X-Y真= 100 210101. 0 1110 21111.0,21101.0YX 43 3

41、.5.2 浮點(diǎn)數(shù)的乘、除法運(yùn)算 兩浮點(diǎn)數(shù)相乘其乘積的階碼為相乘兩數(shù)階碼之和兩浮點(diǎn)數(shù)相乘其乘積的階碼為相乘兩數(shù)階碼之和, 其尾數(shù)應(yīng)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積。其尾數(shù)應(yīng)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積。 兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)相除，商的階碼為被除數(shù)的階碼減去兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)相除，商的階碼為被除數(shù)的階碼減去 除數(shù)的階碼得到的差，尾數(shù)為被除數(shù)的尾數(shù)除以除數(shù)的階碼得到的差，尾數(shù)為被除數(shù)的尾數(shù)除以 除數(shù)的尾數(shù)所得的商。除數(shù)的尾數(shù)所得的商。 參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)都為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)，乘除運(yùn)算參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)都為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)，乘除運(yùn)算 都可能出現(xiàn)結(jié)果不滿足規(guī)格化要求的問題，因此都可能出現(xiàn)結(jié)果不滿足規(guī)格化要求的問題，因此 也必須進(jìn)行規(guī)格化、舍入和判溢出等

42、操作。規(guī)格也必須進(jìn)行規(guī)格化、舍入和判溢出等操作。規(guī)格 化時(shí)要修改階碼?；瘯r(shí)要修改階碼。 44 .浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算（階碼的底為浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算（階碼的底為8或或16） 前面的討論，是以階碼值的底為前面的討論，是以階碼值的底為2來進(jìn)行的。為了用相同位數(shù)的來進(jìn)行的。為了用相同位數(shù)的 階碼表示更大范圍的浮點(diǎn)數(shù)，在一些計(jì)算機(jī)中也有選用階碼的底階碼表示更大范圍的浮點(diǎn)數(shù)，在一些計(jì)算機(jī)中也有選用階碼的底 為為8或或16的。此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)的。此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)N被表示成被表示成 N=8EM 或或 N=16EM 階碼階碼E和尾數(shù)和尾數(shù)M還都是用二進(jìn)制表示的，其運(yùn)算規(guī)則與階碼以還都是用二進(jìn)制表示的，其運(yùn)算規(guī)則與階碼以2 為底基本相

43、同，但關(guān)于對階和規(guī)格化操作有新的相應(yīng)規(guī)定。當(dāng)階為底基本相同，但關(guān)于對階和規(guī)格化操作有新的相應(yīng)規(guī)定。當(dāng)階 碼以碼以8為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足 18Ml 或或 一一1M一一18就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對 階和規(guī)格化操作時(shí)，每當(dāng)階碼的值增或減階和規(guī)格化操作時(shí)，每當(dāng)階碼的值增或減1，尾數(shù)要相應(yīng)右移或，尾數(shù)要相應(yīng)右移或 左移三位。左移三位。 當(dāng)階碼以當(dāng)階碼以16為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足116M1或一或一1M 一一116就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對階和規(guī)格化操作時(shí)，階碼的值增就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對階和規(guī)格化操作時(shí)，階碼的值增 或減或減1，尾數(shù)必須移四位。，尾數(shù)必須移四位

44、。 判別為規(guī)格化數(shù)或?qū)崿F(xiàn)規(guī)格化操作，均應(yīng)使數(shù)值的最高三項(xiàng)判別為規(guī)格化數(shù)或?qū)崿F(xiàn)規(guī)格化操作，均應(yīng)使數(shù)值的最高三項(xiàng) （以（以8為底）或四位（以為底）或四位（以16為底）中至少有一位與符號位不同。為底）中至少有一位與符號位不同。 5浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算步驟浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算步驟 與乘法運(yùn)算類似，也分求商的階碼、尾數(shù)相除、規(guī)格化、與乘法運(yùn)算類似，也分求商的階碼、尾數(shù)相除、規(guī)格化、 舍入和判溢出舍入和判溢出5個(gè)步驟，不再詳細(xì)討論。個(gè)步驟，不再詳細(xì)討論。 45 3.6運(yùn)算部件 1.定點(diǎn)運(yùn)算部件定點(diǎn)運(yùn)算部件 定點(diǎn)運(yùn)算部件由算術(shù)邏輯運(yùn)算部件定點(diǎn)運(yùn)算部件由算術(shù)邏輯運(yùn)算部件ALU、 若干個(gè)寄存器、移位電路、計(jì)數(shù)器、門電路等若

45、干個(gè)寄存器、移位電路、計(jì)數(shù)器、門電路等 組成。組成。ALU部件主要完成加減法算術(shù)運(yùn)算及邏部件主要完成加減法算術(shù)運(yùn)算及邏 輯運(yùn)算（其功能可參考輯運(yùn)算（其功能可參考 2 4 2節(jié)），其中還應(yīng)包節(jié)），其中還應(yīng)包 含有快速進(jìn)位電路。含有快速進(jìn)位電路。 2.浮點(diǎn)運(yùn)算部件浮點(diǎn)運(yùn)算部件 通常由階碼運(yùn)算部件和尾數(shù)運(yùn)算部件組成。其通常由階碼運(yùn)算部件和尾數(shù)運(yùn)算部件組成。其 各自的結(jié)構(gòu)與定點(diǎn)運(yùn)算部件相似。但階碼部分各自的結(jié)構(gòu)與定點(diǎn)運(yùn)算部件相似。但階碼部分 僅執(zhí)行加減法運(yùn)算。其尾數(shù)部分則執(zhí)行加減乘僅執(zhí)行加減法運(yùn)算。其尾數(shù)部分則執(zhí)行加減乘 除運(yùn)算，左規(guī)時(shí)有時(shí)需要左移多位。為加速移除運(yùn)算，左規(guī)時(shí)有時(shí)需要左移多位。為加速移

46、 位過程，有的機(jī)器設(shè)置了可移動多位的電路。位過程，有的機(jī)器設(shè)置了可移動多位的電路。 46 3.7 計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)校驗(yàn)方法 采用冗余校驗(yàn)方法：采用冗余校驗(yàn)方法： 即在基本的有效數(shù)據(jù)外，再擴(kuò)充部分位，增加即在基本的有效數(shù)據(jù)外，再擴(kuò)充部分位，增加 部分（冗余部分）被稱為校驗(yàn)位。將校驗(yàn)位與部分（冗余部分）被稱為校驗(yàn)位。將校驗(yàn)位與 數(shù)據(jù)位一起按某種規(guī)則編碼，寫入存儲器或向數(shù)據(jù)位一起按某種規(guī)則編碼，寫入存儲器或向 外發(fā)送。當(dāng)從存儲器讀出或接收到外部傳入的外發(fā)送。當(dāng)從存儲器讀出或接收到外部傳入的 代碼時(shí)，再按相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行判讀。若約定的代碼時(shí)，再按相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行判讀。若約定的 規(guī)則被破壞，則表示出現(xiàn)錯誤。根

47、據(jù)錯誤的特規(guī)則被破壞，則表示出現(xiàn)錯誤。根據(jù)錯誤的特 征進(jìn)行修正恢復(fù)。征進(jìn)行修正恢復(fù)。 47 幾個(gè)名詞概念：幾個(gè)名詞概念： 碼字：由若干代碼組成的一個(gè)字。碼字：由若干代碼組成的一個(gè)字。 如如8421碼中碼中6（0110），），7（0111） 碼距：一種碼制中任意兩個(gè)碼字間的最小距離。碼距：一種碼制中任意兩個(gè)碼字間的最小距離。 距離：兩個(gè)碼字之間不同的代碼個(gè)數(shù)。距離：兩個(gè)碼字之間不同的代碼個(gè)數(shù)。 8421碼中，最小的碼距為碼中，最小的碼距為1，如，如0000和和 0001、0010和和0011等；最大碼距為等；最大碼距為4， 如如0111和和1000。8421碼的碼距為碼的碼距為1。 碼距為碼距為

48、1，即不能查錯也不能糾錯。，即不能查錯也不能糾錯。 碼距越大，查錯、糾錯能力越強(qiáng)。碼距越大，查錯、糾錯能力越強(qiáng)。 48 3.7.1 奇偶校驗(yàn)法 奇偶校驗(yàn)法是計(jì)算機(jī)中廣泛采用的檢查傳輸奇偶校驗(yàn)法是計(jì)算機(jī)中廣泛采用的檢查傳輸 數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的方法。奇偶校驗(yàn)法的原理是：數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的方法。奇偶校驗(yàn)法的原理是： 在每組數(shù)據(jù)信息上附加一個(gè)校驗(yàn)位，校驗(yàn)位在每組數(shù)據(jù)信息上附加一個(gè)校驗(yàn)位，校驗(yàn)位 的取值（的取值（0或或1）取決于這組信息中）取決于這組信息中1的個(gè)數(shù)和校的個(gè)數(shù)和校 驗(yàn)方式（奇或偶校驗(yàn)）。驗(yàn)方式（奇或偶校驗(yàn)）。 如果采用奇校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位如果采用奇校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位 后數(shù)據(jù)中后數(shù)據(jù)

49、中1的個(gè)數(shù)應(yīng)為奇數(shù)個(gè)。的個(gè)數(shù)應(yīng)為奇數(shù)個(gè)。 如果采用偶校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位如果采用偶校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位 后數(shù)據(jù)中后數(shù)據(jù)中1的個(gè)數(shù)應(yīng)為偶數(shù)個(gè)。的個(gè)數(shù)應(yīng)為偶數(shù)個(gè)。 49 例如：八位信息例如：八位信息10101011中共有中共有5個(gè)個(gè)1，附，附 加校驗(yàn)位后變?yōu)榫盼?。若采用奇校?yàn)，則附加加校驗(yàn)位后變?yōu)榫盼?。若采用奇校?yàn)，則附加 的校驗(yàn)位應(yīng)取的校驗(yàn)位應(yīng)取0值，保證值，保證1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)即的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)即 0 10101011 ；若采用偶校驗(yàn)則附加的校驗(yàn)位應(yīng)；若采用偶校驗(yàn)則附加的校驗(yàn)位應(yīng) 取取1值即值即 1 10101011 。 奇偶校驗(yàn)的特點(diǎn)：奇偶校驗(yàn)的特點(diǎn)： 1、奇偶校驗(yàn)法使數(shù)據(jù)的碼

50、距為、奇偶校驗(yàn)法使數(shù)據(jù)的碼距為2，因而可檢出，因而可檢出 數(shù)據(jù)傳送過程中奇數(shù)個(gè)數(shù)位出錯的情況；數(shù)據(jù)傳送過程中奇數(shù)個(gè)數(shù)位出錯的情況； 2、實(shí)際中兩位同時(shí)出錯的概率極低，奇偶校驗(yàn)、實(shí)際中兩位同時(shí)出錯的概率極低，奇偶校驗(yàn) 法簡便可靠易行，但它只能發(fā)現(xiàn)錯誤，卻不法簡便可靠易行，但它只能發(fā)現(xiàn)錯誤，卻不 知錯在何處，因而不能自動糾正。知錯在何處，因而不能自動糾正。 50 偶校驗(yàn) 出錯 奇校驗(yàn)出錯 偶形成 奇形成 D校為校驗(yàn)位 D校 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 8位數(shù)據(jù)的奇偶校驗(yàn)碼形成電路及檢碼電路 51 3.7.2 海明碼校驗(yàn)方法 海明碼校驗(yàn)方法以奇偶校驗(yàn)法為基礎(chǔ)，其校驗(yàn)海明碼校驗(yàn)方法

51、以奇偶校驗(yàn)法為基礎(chǔ)，其校驗(yàn) 位不是一個(gè)而是一組，故其碼距大于位不是一個(gè)而是一組，故其碼距大于2 。 海明碼校驗(yàn)方法能夠檢測出具體錯誤并糾正。海明碼校驗(yàn)方法能夠檢測出具體錯誤并糾正。 原理是在數(shù)據(jù)中加入原理是在數(shù)據(jù)中加入r個(gè)校驗(yàn)位，將數(shù)據(jù)的碼個(gè)校驗(yàn)位，將數(shù)據(jù)的碼 距按照一定規(guī)則拉長。距按照一定規(guī)則拉長。r個(gè)校驗(yàn)位可以表示個(gè)校驗(yàn)位可以表示2r 個(gè)信息，除一個(gè)表示無誤信息外，其余個(gè)信息，除一個(gè)表示無誤信息外，其余2r-1信信 息可以用來標(biāo)明錯誤的具體位置，但由于校驗(yàn)息可以用來標(biāo)明錯誤的具體位置，但由于校驗(yàn) 位本身也可能在傳送中出錯，所以只有位本身也可能在傳送中出錯，所以只有2r-1-r 個(gè)信息可用，

52、即個(gè)信息可用，即r位校驗(yàn)碼只可標(biāo)明位校驗(yàn)碼只可標(biāo)明2r-1-r個(gè)錯個(gè)錯 誤信息。或誤信息?；?rk+r+1 k是被傳送數(shù)據(jù)的位數(shù)。是被傳送數(shù)據(jù)的位數(shù)。 例如例如：用：用4個(gè)校驗(yàn)位能可靠傳輸個(gè)校驗(yàn)位能可靠傳輸24-1-4=11位信位信 息；而要校驗(yàn)息；而要校驗(yàn)32位數(shù)據(jù)則需至少位數(shù)據(jù)則需至少6個(gè)校驗(yàn)位。個(gè)校驗(yàn)位。 52 如要能檢測與自動校正一位錯井發(fā)現(xiàn) 兩位錯此時(shí)校驗(yàn)位的位數(shù)r和數(shù)據(jù)位的 位數(shù)k應(yīng)滿足下述關(guān)系： 2r-1 k+r （3. 19） 按式（3.19），可計(jì)算出數(shù)據(jù)位k與 校驗(yàn)位r的對應(yīng)關(guān)系，如教材表3.8所 示。 53 一、編碼方法（以四個(gè)校驗(yàn)位進(jìn)行說明） 四個(gè)校驗(yàn)位最多可以校驗(yàn)四個(gè)

53、校驗(yàn)位最多可以校驗(yàn)11位數(shù)據(jù)。設(shè)：位數(shù)據(jù)。設(shè)： D10D9D8D7D6D5D4D3D2D1D0為為11個(gè)數(shù)據(jù)位，個(gè)數(shù)據(jù)位， P4P3P2P1分別為四個(gè)校驗(yàn)碼，則編碼規(guī)則是：分別為四個(gè)校驗(yàn)碼，則編碼規(guī)則是： 海明碼的總位數(shù)等于數(shù)據(jù)位與校驗(yàn)位之和；海明碼的總位數(shù)等于數(shù)據(jù)位與校驗(yàn)位之和； 每個(gè)校驗(yàn)位每個(gè)校驗(yàn)位Pi排放在排放在2i-1的位置，例如的位置，例如P4排放排放 在第在第24-1=8位，其余數(shù)據(jù)位依序排列。即：位，其余數(shù)據(jù)位依序排列。即： D10D9D8D7D6D5D4P4D3D2D1P3D0P2P1 海明碼的每一位用多個(gè)校驗(yàn)位一起進(jìn)行校驗(yàn)，海明碼的每一位用多個(gè)校驗(yàn)位一起進(jìn)行校驗(yàn)， 被校驗(yàn)的位

54、號等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位位號和；被校驗(yàn)的位號等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位位號和； 各校驗(yàn)位的值為它參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位的異或。各校驗(yàn)位的值為它參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位的異或。 54 海明碼校驗(yàn)表 海明碼位號參與校驗(yàn)的校驗(yàn)位位號參與的校驗(yàn)位 H1 P1 1P1 H2 P2 2P2 H3 D0 2,1 (3=2+1)P2 P1 H4 P3 4P3 H5 D1 4,1 (5=4+1)P3,P1 H6 D2 4,2 (6=4+2),P3,P2 H7 D3 4,2,1 (7=4+2+1)P4,P3,P2,P1 H8 P4 8P4 H9 D4 8,1 (8=8+1)P4,P1 H10 D5 8,2 (10=8+2)P4,P2

55、H11 D6 8,2,1 (11=8+2+1)P4,P2,P1 55 各校驗(yàn)位形成公式： P1=D0 D1 D3 D4 D6 D8 D10 (1) P2=D0 D2 D3 D5 D6 D9 D10 (2) P3=D1 D2 D3 D7 D8 D9 D10 (3) P4=D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 (4) 按上述方式按上述方式Pi的取值是采用偶校驗(yàn)時(shí)的取值，的取值是采用偶校驗(yàn)時(shí)的取值， 當(dāng)采用奇校驗(yàn)時(shí)，當(dāng)采用奇校驗(yàn)時(shí)，Pi則取反。這樣則取反。這樣Pi連同數(shù)據(jù)連同數(shù)據(jù) 位一起形成了海明碼的各位。位一起形成了海明碼的各位。 56 二、檢查糾錯（以四個(gè)校驗(yàn)位進(jìn)行說明） 海明碼數(shù)據(jù)傳送到

56、接收方后，再將各校驗(yàn)海明碼數(shù)據(jù)傳送到接收方后，再將各校驗(yàn) 位的值與它所參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位的異或結(jié)果進(jìn)位的值與它所參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位的異或結(jié)果進(jìn) 行異或運(yùn)算。行異或運(yùn)算。 運(yùn)算結(jié)果稱為校驗(yàn)和。校驗(yàn)和共運(yùn)算結(jié)果稱為校驗(yàn)和。校驗(yàn)和共 有四個(gè)。有四個(gè)。 對偶校驗(yàn)來說，如果校驗(yàn)和不為零則傳輸對偶校驗(yàn)來說，如果校驗(yàn)和不為零則傳輸 過程中間有錯誤。而錯誤的具體位置則由四個(gè)過程中間有錯誤。而錯誤的具體位置則由四個(gè) 校驗(yàn)和依序排列后直接指明。如果四個(gè)校驗(yàn)和校驗(yàn)和依序排列后直接指明。如果四個(gè)校驗(yàn)和 S4S3S2S1 依序排列后等于依序排列后等于(1001)2=(9)10 時(shí)，就時(shí)，就 表明海明碼的第九位也就是表明海明

57、碼的第九位也就是D4發(fā)生了錯誤，此發(fā)生了錯誤，此 時(shí)只要將時(shí)只要將D4取反，也就糾正了錯誤。取反，也就糾正了錯誤。 57 校驗(yàn)和校驗(yàn)和Si的表達(dá)式：的表達(dá)式： S1 =D0 D1 D3 D4 D6 D8 D10 P1 S2 = D0 D2 D3 D5 D6 D9 D10 P2 S3 =D1 D2 D3 D7 D8 D9 D10 P3 S4 =D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 P4 當(dāng)采用偶校驗(yàn)方式其傳送數(shù)據(jù)正確時(shí)，校驗(yàn)和當(dāng)采用偶校驗(yàn)方式其傳送數(shù)據(jù)正確時(shí)，校驗(yàn)和 S1 S4的值分別都為的值分別都為0；當(dāng)采用奇校驗(yàn)方式其；當(dāng)采用奇校驗(yàn)方式其 傳送數(shù)據(jù)正確時(shí)，校驗(yàn)和傳送數(shù)據(jù)正確時(shí)，校驗(yàn)和

58、S1 S4的值分別都為的值分別都為 1。當(dāng)不為上述值時(shí)，傳送就發(fā)生了錯誤。當(dāng)不為上述值時(shí)，傳送就發(fā)生了錯誤。 58 解：已知解：已知D10D9D8D7D6D5D4D3D2D1D0=10110100110 由于被校驗(yàn)位的位號等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位位號由于被校驗(yàn)位的位號等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位位號 之和以及各校驗(yàn)位的取值等于它參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位取之和以及各校驗(yàn)位的取值等于它參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位取 值的異或。所以校驗(yàn)位的取值以及值的異或。所以校驗(yàn)位的取值以及所求所求海明碼為：海明碼為： P1=D0 D1 D3 D4 D6 D8 D10=1 P2=D0 D2 D3 D5 D6 D9 D10=1 P3=D1 D2

59、D3 D7 D8 D9 D10=1 P4=D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10=0 D10D9D8D7D6D5D4P4D3D2D1P3D0P2P1=101101000111011 傳送正確時(shí)校驗(yàn)和的值為傳送正確時(shí)校驗(yàn)和的值為0 0，如果不等于，如果不等于0 0，則是幾就是，則是幾就是 第幾位出錯，是第幾位出錯，是7 7則是第則是第7 7位位D3出錯，此時(shí)將其取反即可出錯，此時(shí)將其取反即可 糾正錯誤。糾正錯誤。 例題：采用例題：采用4位校驗(yàn)位、偶校驗(yàn)方式，位校驗(yàn)位、偶校驗(yàn)方式， 寫出寫出10110100110的海明碼。的海明碼。 59 譯 碼 器 無 錯 有 錯 寄 偶 形 成 線 路寄

60、偶 形 成 線 路寄 偶 形 成 線 路寄 偶 形 成 線 路 60 以上以上 圖圖3.11是是H=12，數(shù)據(jù)位，數(shù)據(jù)位k=8，校驗(yàn)位，校驗(yàn)位 r=4的海明校驗(yàn)線的海明校驗(yàn)線 路，記作（路，記作（l2.8）分組碼。）分組碼。 圖圖3.ll中的中的H12,H11,.,H1是被校驗(yàn)碼，是被校驗(yàn)碼，D8,D7,.，D1是糾正是糾正 后的數(shù)據(jù)。在線路中，先用奇偶形成線路得到后的數(shù)據(jù)。在線路中，先用奇偶形成線路得到S4,S3,S2,S1，如，如 果果S4S1為全為全“0”，說明代碼無錯，則，說明代碼無錯，則 D8D7.DI=H12H11H10H9H7H6H5H3。如果。如果S4S1不為全不為全0， 說明