宿松縣2017屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3講函數(shù)概念與表示教案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精函數(shù)概念與表示課標(biāo)要 求1通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念;2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；命題走 向函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法,函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。從近幾年來看，對(duì)本部分內(nèi)容的考察形勢(shì)穩(wěn)中求變,向著更靈活的的方向發(fā)展,對(duì)于函數(shù)的概念

2、及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實(shí)際應(yīng)用題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果。高考對(duì)函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主,以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對(duì)較小，本節(jié)知識(shí)作為工具和其他知識(shí)結(jié)合起來命題的可能性依然很大。預(yù)測(cè)2017年高考對(duì)本節(jié)的考察是：1題型是1個(gè)選擇和1個(gè)填空；2熱點(diǎn)是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點(diǎn).教學(xué)準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程要點(diǎn)精講:1函數(shù)的概念：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f（x)和它對(duì)應(yīng)，那

3、么就稱f：ab為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù).記作：y=f（x)，xa。其中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x） xa 叫做函數(shù)的值域。注意：（1）“y=f(x）”是函數(shù)符號(hào),可以用任意的字母表示，如“y=g(x）；（2）函數(shù)符號(hào)“y=f（x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù),而不是f乘x。2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域（1）解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式:自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的

4、真數(shù)為正數(shù)，等等）；限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤；實(shí)際型:解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）;判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì))；函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）.3兩個(gè)函數(shù)的相等:函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域a、值域c和對(duì)應(yīng)法則f.當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確

5、定。因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4區(qū)間(1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示.5映射的概念一般地，設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：ab為從集合a到集合b的一個(gè)映射.記作“f:ab”.函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就叫映射。注意:

6、（1）這兩個(gè)集合有先后順序，a到b的射與b到a的映射是截然不同的其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則,可以用漢字?jǐn)⑹?。?)“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。6常用的函數(shù)表示法（1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式,簡稱解析式；(2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；（3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。7分段函數(shù)若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8復(fù)合函數(shù)若y=f（u），u=g(x),x(a,b）,u（m，n），那么y=f

7、稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量,它的取值范圍是g（x）的值域。典例解析：1(教材習(xí)題改編）設(shè)g(x)2x3，g(x2)f（x），則f(x）等于（)a2x1b2x1c2x3 d2x7解析：選df（x）g（x2)2（x2)32x7.2(2012江西高考）設(shè)函數(shù)f(x)則f(f（3)(）a. b3c。 d.解析：選df(3),f（f(3）)21。3已知集合a，集合b，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，不能看作從a到b的映射的是（)af:xyx bf：xyxcf：xyx df：xyx解析：選d按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xyx,對(duì)a中某些元素(如x8)，b中不存在元素與之對(duì)應(yīng)4已知fx25x，則f(x)_。解析：令t,則x。所以f

8、（t）.故f(x)（x0）答案:（x0)5(教材習(xí)題改編）若f(x）x2bxc，且f（1)0，f(3）0，則f(1）_.解析:由已知得得即f(x）x24x3。所以f(1)(1)24（1）38.答案：8 1.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系 （1)函數(shù)是特殊的映射,其特殊性在于集合a與集合b只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集a到非空數(shù)集b的映射 (2）映射不一定是函數(shù),從a到b的一個(gè)映射，a、b若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù) 2定義域與值域相同的函數(shù),不一定是相同函數(shù) 如函數(shù)yx與yx1,其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù)；再如函數(shù)ysin x與ycos x，其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù)因此

9、判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，關(guān)鍵是看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同 3求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題 在求分段函數(shù)的值f（x0）時(shí),一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集函數(shù)的基本概念典題導(dǎo)入有以下判斷：(1）f（x)與g（x)表示同一函數(shù);(2)函數(shù)yf（x)的圖象與直線x1的交點(diǎn)最多有1個(gè);（3）f（x)x22x1與g（t)t22t1是同一函數(shù)；(4）若f（x）|x1|x|,則f0.其中正確判斷的序號(hào)是_對(duì)于（1），由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤xr，且x0，而函數(shù)g（x)的定義域是r,所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于（2），若x

10、1不是yf(x）定義域的值,則直線x1與yf（x)的圖象沒有交點(diǎn)，如果x1是yf（x)定義域內(nèi)的值,由函數(shù)定義可知，直線x1與yf(x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即yf（x)的圖象與直線x1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于（3），f（x)與g（t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同,所以f(x）和g(t)表示同一函數(shù);對(duì)于（4），由于f0,所以ff（0）1.綜上可知，正確的判斷是(2)（3)(2)（3)由題悟法兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同,只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)另外，函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f（x)2x1，g(t）2

11、t1，h(m）2m1均表示同一函數(shù)以題試法1已知f:xsin x是集合a(a)到集合b的一個(gè)映射，則集合a中的元素個(gè)數(shù)最多有（)a4個(gè)b5個(gè)c6個(gè) d7個(gè)解析：選b當(dāng)sin x0時(shí)sin x0，x可取0，,2;當(dāng)sin x時(shí)，sin x，x可取,，故集合a中的元素最多有5個(gè)求函數(shù)的解析式典題導(dǎo)入（1）已知fx2，求f（x)的解析式；(2）已知flg x，求f(x）的解析式；(3)已知f(x)是二次函數(shù)，且f（0）0,f（x1)f（x)x1，求f（x）（1）由于fx222，所以f(x)x22,x2或x2,故f(x)的解析式是f(x)x22（x2或x2)(2)令1t得x,代入得f(t）lg,又x0

12、，所以t1，故f（x)的解析式是f（x)lg（x1）（3)設(shè)f（x）ax2bxc(a0）,由f（0)0，知c0，f（x）ax2bx,又由f(x1)f（x）x1，得a（x1)2b（x1）ax2bxx1，即ax2（2ab)xabax2（b1）x1，所以解得ab。所以f(x）x2x（xr)由題悟法函數(shù)解析式的求法（1）配湊法：由已知條件f（g(x)f（x),可將f（x)改寫成關(guān)于g(x）的表達(dá)式，然后以x替代g(x），便得f(x)的解析式(如例（1)）；(2）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法(如例（3）);（3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g（x）的解析式，可用換元法

13、，此時(shí)要注意新元的取值范圍(如例(2）；（4）方程思想：已知關(guān)于f（x）與f或f（x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f（x)（如a級(jí)t6）以題試法2（1)已知f(1）x2，求f(x）的解析式;（2）設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f（x)0有兩個(gè)相等實(shí)根，且f(x)2x2，求f（x)的解析式解：（1）法一:設(shè)t1，則x(t1）2(t1）；代入原式有f(t)(t1）22(t1）t22t12t2t21。故f（x)x21(x1)法二：x2（)2211(1）21，f(1）(1)21（11)，即f(x）x21(x1)（2）設(shè)f(x）ax2bxc（a0)，則f（x)2

14、axb2x2，a1,b2，f（x）x22xc。又方程f（x）0有兩個(gè)相等實(shí)根，44c0，c1,故f（x）x22x1。分 段 函 數(shù)典題導(dǎo)入(2012廣州調(diào)研考試）設(shè)函數(shù)f（x）若f（x)4，則x的取值范圍是_當(dāng)x4，得2x4,即x4得x24，所以x2或x2，由于x1，所以x2。綜上可得x2或x2。（,2)（2,)若本例條件不變，試求f（f（2）的值解：f(2)224，f（f(2)）f(4)16.由題悟法求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求值若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變

15、量值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍以題試法3。(2012衡水模擬)已知f（x)的圖象如圖，則f（x)的解析式為_解析：由圖象知每段為線段設(shè)f（x)axb，把（0,0),和,（2,0）分別代入，解得答案：f（x）函數(shù)的定義域和值域1(教材習(xí)題改編)若f(x）x22x，x,則f(x)的值域?yàn)?）abc d答案：a2函數(shù)y的值域?yàn)椋ǎ゛r b.c。 d。解析：選dx222，0.0y.3（2012山東高考)函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?)a b（1，0）（0,2c d(1，2解析：選bx滿足即解得1x0或0x2.4（教材習(xí)題改編）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)開解析：由得x4且x5.答案：x|x4，且x5

16、5(教材習(xí)題改編）若有意義，則函數(shù)yx23x5的值域是_解析:有意義，x0.又yx23x525,當(dāng)x0時(shí)，ymin5。答案：求函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的作用，而且還要特別注意函數(shù)定義域典題導(dǎo)入（1）(2012大連模擬)求函數(shù)f（x）的定義域；（2)已知函數(shù)f(2x）的定義域是，求f（x)的定義域（1）要使該函數(shù)有意義，需要?jiǎng)t有解得3x0或2x3,所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?3,0)(2，3）（2）f(2x）的定義域?yàn)椋?x1,2x2，故f（x）的定義域?yàn)?。若本例?)條件變?yōu)?函數(shù)f(x）的定義域是,求f(log2x)的定義域解：函數(shù)f(x)的定義域是，1x1，1log2x1，x2。故f(

17、log2x)的定義域?yàn)椤Ｓ深}悟法簡單函數(shù)定義域的類型及求法（1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解（2）對(duì)實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解（3）對(duì)抽象函數(shù):若已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，則函數(shù)f（g(x）)的定義域由不等式ag（x)b求出;若已知函數(shù)f（g（x)的定義域?yàn)椋瑒tf（x）的定義域?yàn)間（x)在x時(shí)的值域以題試法1（1)函數(shù)y的定義域是_（2)(2013沈陽質(zhì)檢）若函數(shù)yf(x）的定義域?yàn)?則函數(shù)g（x)f(x1）f(x2）的定義域是（)abc d解析：(1）由得所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,2(2)由題意可得解不等式組可得1x4.所以函數(shù)g(

18、x）的定義域?yàn)榇鸢福海?)(1，2(2）c求已知函數(shù)的值域典題導(dǎo)入求下列函數(shù)的值域(1)yx22x(x）；（2)y；（3)yx(x0)；（4）f（x)x。（1)(配方法)yx22x（x1）21,y（x1)21在上為增函數(shù)，0y15,即函數(shù)yx22x(x）的值域?yàn)椋?）y1,1x21,02。111.即y(1，1函數(shù)的值域?yàn)?1，1(3）x0，x4，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立y(，4函數(shù)的值域?yàn)?，4(4）法一：（換元法）令t，則t0且x,于是yt（t1)21，由于t0,所以y,故函數(shù)的值域是.法二：(單調(diào)性法）f（x）的定義域?yàn)槿菀着袛鄁（x）為增函數(shù)，所以f（x)f，即函數(shù)的值域是.由題悟法求函數(shù)

19、值域常用的方法(1)配方法，多適用于二次型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù)（例（1）（2)換元法(例（4）)（3)基本不等式法(例（3)）（4)單調(diào)性法（例（4)）（5）分離常數(shù)法(例(2）)求值域時(shí)一定要注意定義域的使用，同時(shí)求值域的方法多種多樣，要適當(dāng)選擇以題試法2(1）函數(shù)y的值域?yàn)開(2)(2012?？谀M)在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算中,我們定義新運(yùn)算“如下：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)ab時(shí),abb2.設(shè)函數(shù)f（x）(1x)x（2x），x，則函數(shù)f（x)的值域?yàn)開解析:(1）y1，因?yàn)?，所以11，即函數(shù)的值域是yyr，y1(2）由題意知f（x）當(dāng)x時(shí)，f（x）；當(dāng)x(1，2時(shí)，f(x)(1,6，即當(dāng)x時(shí),f(x）答案：(1)yyr,y1（2）與函數(shù)定義域、值域有關(guān)的參數(shù)問題典題導(dǎo)入（2012合肥模擬）若函數(shù)f（x) 的定義域?yàn)閞，則a的取值范圍為_函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閞，所以2x22axa10對(duì)xr恒成立,即2x22axa1，x22axa0恒成立,因此有（2a）24a0,解得1a0。由題悟法求解定義域?yàn)閞或值域?yàn)閞的函數(shù)問題時(shí)，都是依據(jù)題意，對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)