2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 第節(jié) 算法案例教學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3節(jié) 算法案例核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材p34p45，回答下列問題(1)小學(xué)學(xué)過的求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法是什么?提示：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來(2)輾轉(zhuǎn)相除法的操作步驟是什么？提示：兩個數(shù)中用較大的數(shù)除以較小的數(shù),求得商和余數(shù)，再用除數(shù)除以余數(shù),如此重復(fù)，直到所得余數(shù)為0,即可求得兩個數(shù)的最大公約數(shù)（3）更相減損術(shù)的操作步驟什么？提示：第一步，任意給定兩個正整數(shù),判定它們是否都是偶數(shù)若是,用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比

2、較，并以大數(shù)減小數(shù)繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止,則這個數(shù)（等數(shù)）或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)（4)應(yīng)用秦九韶算法求多項式的值時應(yīng)怎樣操作？提示：求多項式的值時,先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v1anxan1，再由內(nèi)向外逐層計算一次多項式vk（k2,3，4，,n)的值(5）將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法是什么?提示：“除k取余法2歸納總結(jié)，核心必記(1）輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)輾轉(zhuǎn)相除法：又叫歐幾里得算法,是一種求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法更相減損術(shù)：我國古代數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)中介紹的一種求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法（2）秦九韶算法求多項式f（x）anxna

3、n1xn1a1xa0的值時,常用秦九韶算法，這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少，是多項式求值比較先進(jìn)的算法，其實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值，共進(jìn)行n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算其過程是：改寫多項式為:f（x)anxnan1xn1a1xa0（anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2）xa1）xa0(（anxan1)xan2）xa1）xa0.設(shè)v1anxan1,v2v1xan2,v3v2xan3，vnvn1xa0.（3)進(jìn)位制進(jìn)位制進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾其他進(jìn)位制與十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)化（）其他進(jìn)位制化成十進(jìn)制其他進(jìn)位制的數(shù)化成

4、十進(jìn)制時，表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式（）十進(jìn)制化成k進(jìn)制的方法-“除k取余法”問題思考(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)有什么聯(lián)系？提示：都是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法二者的實質(zhì)都是遞推的過程二者都是用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)（2)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)有什么區(qū)別？提示：輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)區(qū)別以除法為主兩個整數(shù)差值較大時運(yùn)算次數(shù)較少相除余數(shù)為零時得結(jié)果以減法為主兩個整數(shù)的差值較大時，運(yùn)算次數(shù)較多相減,差與減數(shù)相等得結(jié)果相減前要做是否都是偶數(shù)的判斷(3）當(dāng)所給的多項式按x的降冪排列“缺項”時，用秦九韶算法改寫多項式時，應(yīng)注意什么？提示：所缺的項寫成系數(shù)為零的形式，即寫成0xn的形式課前反

5、思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點(diǎn)：（1）輾轉(zhuǎn)相除法是什么? ；(2)更相減損術(shù)是什么？ ；(3）秦九韶算法是什么? ；（4)進(jìn)位制及進(jìn)位制間的互化： 。觀察如圖所示的內(nèi)容：思考1輾轉(zhuǎn)相除法的算理是什么? 名師指津：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)思考2更相減損術(shù)的算理是什么？名師指津：所謂更相減損術(shù)，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟,直到差數(shù)和較小的數(shù)相

6、等，此時相等的兩數(shù)便為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)講一講1用輾轉(zhuǎn)相除法求612與468的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗所得結(jié)果嘗試解答用輾轉(zhuǎn)相除法：6124681144，468144336,144364，即612和468的最大公約數(shù)是36.用更相減損術(shù)檢驗：612和468為偶數(shù)，兩次用2約簡得153和117,15311736，1173681，813645,45369,36927，27918,1899，所以612和468的最大公約數(shù)為92236.求最大公約數(shù)的兩種方法步驟(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定的兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即利用帶余除法,用數(shù)對中較大的數(shù)除以較小的數(shù),若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新

7、的數(shù)對，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時的較小數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)(2）利用更相減損術(shù)求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的一般步驟是:首先判斷兩個正整數(shù)是否都是偶數(shù)若是,用2約簡,也可以不除以2，直接求最大公約數(shù)，這樣不影響最后結(jié)果練一練1用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1 785的最大公約數(shù)；解：因為1 7858402105，8401058.所以840和1 785的最大公約數(shù)是105。觀察如圖所示的內(nèi)容:思考秦九韶算法的原理是什么？名師指津：秦九韶算法是按從內(nèi)到外的順序依次計算求值的設(shè)f（x)anxnan1xn1a1xa0，將其改寫為f(x）(anxn1an1xn2a1)xa0（anxn2an

8、1xn3a2）xa1）xa0(anxan1)xan2)xa1）xa0令v0an，則有公式其中k1，2，n。這樣我們便可由v0依次求出v1，v2，vn：v1v0xan1,v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.講一講2利用秦九韶算法求多項式f（x)x65x56x4x23x2當(dāng)x2時的值為（）a320 b160c320 d300嘗試解答將多項式變式為f(x)(（(（x5)x6)x0)x1)x3)x2,v01,v12（5)7，v27(2)620，v320（2)040，v440(2)181，v581（2）3159，v6159（2）2320，即x2時，多項式的值為320.答案：a利用秦九韶

9、算法計算多項式的值的關(guān)鍵是能正確地將所給多項式改寫,然后由內(nèi)向外逐次計算，由于后項計算需用到前項的結(jié)果，故應(yīng)認(rèn)真、細(xì)心，確保中間結(jié)果的準(zhǔn)確性練一練2用秦九韶算法計算多項式f(x)1235x8x26x45x53x6在x4時的值時，v3的值為（）a144 b136 c57 d34解析：選b根據(jù)秦九韶算法多項式可化為f（x)（(3x5）x6）x0）x8）x35)x12.由內(nèi)向外計算v03；v13（4)57；v27（4)634;v334(4）0136.觀察如圖所示的內(nèi)容:思考1進(jìn)位制應(yīng)如何表示?名師指津:若一個數(shù)為十進(jìn)制數(shù)，其基數(shù)可以省略不寫,若是其他進(jìn)位制,在沒有特別說明的前提下，其基數(shù)必須寫出，常

10、在數(shù)的右下角標(biāo)明基數(shù)思考2常見的進(jìn)位制有哪些?名師指津：(1）二進(jìn)制：只使用0和1兩個數(shù)字；滿二進(jìn)一，如1110(2)(2）八進(jìn)制：使用0，1,2,3，4,5，6,7八個不同數(shù)字；滿八進(jìn)一，如7110（8）；(3)十六進(jìn)制：使用0，1，2，3，4，5,6,7,8,9,a，b，c,d，e，f這十六個不同的數(shù)碼，其中a，b,c,d，e,f分別代表十進(jìn)制中的10，11，12，13,14,15；滿十六進(jìn)一，如f12e10(16）講一講3（1)把二進(jìn)制數(shù)101 101（2)化為十進(jìn)制數(shù);(2）把十進(jìn)制數(shù)458轉(zhuǎn)化為四進(jìn)制數(shù)嘗試解答(1）101 101（2)125024123122021120328414

11、5，所以二進(jìn)制數(shù)101 101（2）轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為45。（2）45813 022(4）進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換方法（1)將k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法是:先將這個k進(jìn)制數(shù)寫成各個數(shù)位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計算出結(jié)果（2）十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制，采用除k取余法，也就是除基數(shù)，倒取余練一練3(1)二進(jìn)制數(shù)算式1 010(2）10(2）的值是（） a1 011(2) b1 100(2）c1 101(2） d1 000(2)(2)下列各組數(shù)中最小的數(shù)是（）a1 111(2) b210(6）c1 000(4) d101(8）解析：（1)選b二進(jìn)制數(shù)的加法是逢二進(jìn)一，所以選b。(2)選a統(tǒng)

12、一化為十進(jìn)制數(shù)為1 111（2)15；210(6）78；1 000（4）64；101(8)65.-課堂歸納感悟提升-1本節(jié)課的重點(diǎn)是會用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，會用秦九韶算法求多項式的值，會在不同進(jìn)位制間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化難點(diǎn)是會用秦九韶算法求多項式的值2本節(jié)課要掌握以下幾類問題：(1）掌握求最大公約數(shù)的兩種方法步驟,見講1.（2）掌握秦九韶算法步驟，見講2.（3)進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換方法，見講3.3本節(jié)課的易錯點(diǎn)有兩個：（1)弄不清秦九韶算法的原理而致錯,如講2;（2）進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)換的方法混淆而致錯,如講3。課下能力提升（八)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1下列關(guān)于利用更相

13、減損術(shù)求156和72的最大公約數(shù)的說法中正確的是(）a都是偶數(shù)必須約簡b可以約簡，也可以不約簡c第一步作差為1567284；第二步作差為728412d以上都不對解析：選b約簡是為了使運(yùn)算更加簡捷,故不一定要約簡，a錯c中第二步應(yīng)為847212，故選b.2用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時，需做減法運(yùn)算的次數(shù)是（)a2 b3 c4 d5解析：選c29484210,21084126，1268442,844242，共做4次減法運(yùn)算31 624與899的最大公約數(shù)是_解析：1 6248991725，8997251174，725174429，174296，故1 624與899的最大公約數(shù)是29.答

14、案：294用兩種方法求210與98的最大公約數(shù)解：用輾轉(zhuǎn)相除法:21098214,98147.210與98的最大公約數(shù)為14。用更相減損術(shù):210與98都是偶數(shù)，用2約簡得105和49，1054956,56497，49742，42735,35728,28721，21714，1477。210與98的最大公約數(shù)為2714。題組2秦九韶算法5用秦九韶算法求多項式f（x）7x66x53x22當(dāng)x4時的值時，先算的是(）a4416 b7428c44464 d74634解析:選d因為f(x）anxnan1xn1a1xa0（anxan1）xan2)xa1）xa0,所以用秦九韶算法求多項式f（x)7x66x5

15、3x22當(dāng)x4的值時，先算的是74634。6用秦九韶算法計算多項式f（x)3x64x55x46x37x28x1當(dāng)x0.4時的值時，需要做乘法和加法的次數(shù)分別是（)a6，6 b5，6 c5，5 d6,5答案：a7利用秦九韶算法求多項式f（x)3x612x58x43.5x37.2x25x13當(dāng)x6時的值，寫出詳細(xì)步驟解：f(x)（3x12)x8）x3.5）x7。2）x5）x13。v03,v1v061230,v2v168188，v3v263。51 124.5，v4v367.26 754。2,v5v46540 530。2，v6v5613243 168.2。所以f(6）243 168.2.題組3進(jìn)位制及

16、其轉(zhuǎn)化8以下各數(shù)有可能是五進(jìn)制數(shù)的是（）a15 b106 c731 d21 340解析:選d五進(jìn)制數(shù)中各個數(shù)字均是小于5的自然數(shù)，故選d。9完成下列進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化(1）1 034（7）_（10)；（2)119（10)_（6)解析：(1）1 034（7)17307237470368.（2）119(10）315（6）答案：(1)368(2）31510若k進(jìn)制數(shù)123(k）與十進(jìn)制數(shù)38相等,則k_。解析:由k進(jìn)制數(shù)123可知k4.下面可用驗證法：若k4,則38(10）212（4），不合題意；若k5，則38（10）123(5）成立，所以k5.答案：511若1 0b1(2)a02（3),求數(shù)字a，b

17、的值及與此相等的十進(jìn)制數(shù)解：1 0b1(2)a02（3)，123b21a322,且a只能取1，2，b只能取0，1。整理得9a2b7.當(dāng)b0時，a(不合要求,舍去);當(dāng)b1時，a1。ab1.102(3)1 011（2）,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為132211。能力提升綜合練1用秦九韶算法求多項式f(x)x33x22x11當(dāng)xx0時的值時，應(yīng)把f（x)變形為()ax3（3x2)x11 b(x3)x2(2x11）c（x1）(x2)x11 d(x3）x2）x11解析:選df（x)x33x22x11（x23x2）x11(（x3）x2）x11,故選d.245和150的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)分別是()a5，150 b

18、15,450 c450，15 d15，150解析:選b利用輾轉(zhuǎn)相除法求45和150的最大公約數(shù)：15045315，45153，45和150的最大公約數(shù)為15。45和150的最小公倍數(shù)為15（4515)（15015)450,故選b。3下列各數(shù)中，最小的是（）a101 010(2) b111（5)c32(8) d54(6)解析：選c101 010（2）12502412302212102042，111（532（8）38128026,54(6)56146034。又42343126，故最小的是32（8）4(2016福州高一檢測)三進(jìn)制數(shù)2 022(3）化為六進(jìn)制數(shù)為abc（6）,則abc_。解析:2 022（3)23303223123062。三進(jìn)制數(shù)2 022（3）化為六進(jìn)制數(shù)為142(6），abc7。答案：75用秦九韶算法求多項式f(x）15x8x210x36x412x53x6當(dāng)x4時的值時，v0，v1，v2，v3，v4中最大值與最小值的差是_解析：多項式變形為f(x）3x612x56x410x38x25x1(（3x12）x6)x10）x8)x5）x1,v03，v13（4)12