圓錐曲線軌跡方程經(jīng)典例題

1、軌跡方程經(jīng)典例題一、 軌跡為圓的例題：1、 必修2課本p124b組2：長為2a的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在軸和軸上移動(dòng)，求線段ab的中點(diǎn)m的軌跡方程：必修2課本p124b組：已知m與兩個(gè)定點(diǎn)（0,0），a（3,0）的距離之比為，求點(diǎn)m的軌跡方程;（一般地：必修2課本p144b組2：已知點(diǎn)m(,)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為一個(gè)常數(shù)；討論點(diǎn)m(,)的軌跡方程（分=1，與1進(jìn)行討論）2、 必修2課本p122例5：線段ab的端點(diǎn)b的坐標(biāo)是（4,3），端點(diǎn)a在圓上運(yùn)動(dòng)，求ab的中點(diǎn)m的軌跡。（2013新課標(biāo)2卷文20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓在軸上截得線段長為，在軸上截得線段長為。 （1）求圓心的的軌跡方程；（2）

2、若點(diǎn)到直線的距離為，求圓的方程。如圖所示，已知p(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，a、b是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足apb=90，求矩形apbq的頂點(diǎn)q的軌跡方程.解：設(shè)ab的中點(diǎn)為r，坐標(biāo)為(x,y)，則在rtabp中，|ar|=|pr|.又因?yàn)閞是弦ab的中點(diǎn)，依垂徑定理：在rtoar中，|ar|2=|ao|2|or|2=36(x2+y2)又|ar|=|pr|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)r在一個(gè)圓上，而當(dāng)r在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)q(x,y)，r(x1,y1)，因?yàn)閞是pq的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,

3、得10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線設(shè)圓的半徑為，圓心在上 （1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍（2013陜西卷理20）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長為8.（1） 求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2） 已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn)。二、 橢圓類型：3、 定義法：（選修2-1p50第3題）點(diǎn)m(,)與定點(diǎn)f(2，0)的距離和它到定直線的距離之比為，求點(diǎn)m的軌跡方程.(圓錐曲線第二定義)討論：當(dāng)這個(gè)比例常數(shù)不是小于1，而是大于1，或等

4、于1是的情形呢？（對應(yīng)雙曲線，拋物線）4、 圓錐曲線第一定義：（選修2-1p50第2題）一個(gè)動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓的圓心軌跡方程。5、 圓錐曲線第一定義：點(diǎn)m()圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)（1,0）為定點(diǎn)。線段的垂直平分線與相交于點(diǎn)q(,),求點(diǎn)q的軌跡方程;(注意點(diǎn)（1,0）在圓內(nèi))6、 其他形式：（選修2-1p50例3）設(shè)點(diǎn)a,b的坐標(biāo)分別是（-5,0），（5,0），直線am,bm相交于點(diǎn)m，且他們的斜率的乘積為，求點(diǎn)m的軌跡方程:（是一個(gè)橢圓）（討論當(dāng)他們的斜率的乘積為時(shí)可以得到雙曲線）（2013新課標(biāo)1卷20）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線。 （1）求的方

5、程； （2）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長時(shí)，求（2013陜西卷文20）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的倍。（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，求直線的斜率。三、 雙曲線類型：8、圓錐曲線第一定義：點(diǎn)m()圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)（1,0）為定點(diǎn)。線段的垂直平分線與相交于點(diǎn)q(,),求點(diǎn)q的軌跡方程;(注意點(diǎn)（1,0）在圓外)定義法：（選修2-1p59例5）點(diǎn)m(,)與定點(diǎn)f(5，0)的距離和它到定直線的距離之比為，求點(diǎn)m的軌跡方程.(圓錐曲線第二定義)四、 拋物線類型：10、定義法：（選修2-1）點(diǎn)m(,)與定點(diǎn)f(2，0)的距離和

6、它到定直線的距離相等，求點(diǎn)m的軌跡方程。（或：點(diǎn)m(,)與定點(diǎn)f(2，0)的距離比它到定直線的距離小1，求點(diǎn)m的軌跡方程。）（2013陜西卷文20）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的倍。 （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，求直線的斜率已知三點(diǎn)，曲線上任意一點(diǎn)滿足。（1）求曲線的方程；）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的點(diǎn)均在c2：（x-5）2y2=9外，且對c1上任意一點(diǎn)m，m到直線x=2的距離等于該點(diǎn)與圓c2上點(diǎn)的距離的最小值.（）求曲線c1的方程；（湖北）設(shè)a是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，i是過點(diǎn)a與x軸垂直的直線，d是直線i與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)m在直線

7、l上，且滿足丨dm丨=m丨da丨（m0,且m1）。當(dāng)點(diǎn)a在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)m的軌跡為曲線c。（i）求曲線c的方程，判斷曲線c為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；（遼寧）如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓，。點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于a，b，c，d四點(diǎn)。 ()求直線與直線交點(diǎn)m的軌跡方程; （四川）如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍。1.()已知橢圓的焦點(diǎn)是f1、f2，p是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是( ) a.圓b.橢圓 c.雙曲線的一支d.拋物線2.()設(shè)a

8、1、a2是橢圓=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端點(diǎn)，則直線a1p1與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程為( ) a.b. c.d.二、填空題3.()abc中，a為動(dòng)點(diǎn)，b、c為定點(diǎn)，b(,0),c(,0)，且滿足條件sincsinb=sina,則動(dòng)點(diǎn)a的軌跡方程為_.4.()高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為a(5，0)、b(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_.三、解答題5.()已知a、b、c是直線l上的三點(diǎn)，且|ab|=|bc|=6，o切直線l于點(diǎn)a，又過b、c作o異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)p，求點(diǎn)

9、p的軌跡方程.6.()雙曲線=1的實(shí)軸為a1a2，點(diǎn)p是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引a1qa1p，a2qa2p，a1q與a2q的交點(diǎn)為q，求q點(diǎn)的軌跡方程.8.()已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)p為其上一點(diǎn)，f1、f2為橢圓的焦點(diǎn)，f1pf2的外角平分線為l，點(diǎn)f2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為q，f2q交l于點(diǎn)r.(1)當(dāng)p點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求r形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)r形成的曲線為c，直線l：y=k(x+a)與曲線c相交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)aob的面積取得最大值時(shí)，求k的值.一、1.解析：|pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a,動(dòng)點(diǎn)

10、q到定點(diǎn)f1的距離等于定長2a,故動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是圓.2.解析：設(shè)交點(diǎn)p(x,y）,a1(3,0),a2(3,0),p1(x0,y0),p2(x0,y0)a1、p1、p共線，a2、p2、p共線，解得x0=二、3.解析：由sincsinb=sina,得cb=a,應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為,故方程為.答案：4.解析：設(shè)p(x,y），依題意有,化簡得p點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設(shè)過b、c異于l的兩切線分別切o于d、e兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)p.由切線的性質(zhì)知：|ba|=|bd|，|pd|=|pe|，|ca|=|ce|，故|pb|+|pc|

11、=|bd|+|pd|+|pc|=|ba|+|pe|+|pc|=|ba|+|ce|=|ab|+|ca|=6+12=186=|bc|，故由橢圓定義知，點(diǎn)p的軌跡是以b、c為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以bc的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為=1(y0)6.解：設(shè)p(x0,y0）(xa),q(x,y).a1(a,0),a2(a,0).由條件而點(diǎn)p(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(xa).8.解：(1)點(diǎn)f2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為q，連接pq，f2pr=qpr，|f2r|=|qr

12、|，|pq|=|pf2|又因?yàn)閘為f1pf2外角的平分線，故點(diǎn)f1、p、q在同一直線上，設(shè)存在r(x0,y0）,q(x1,y1),f1(c,0),f2(c,0).|f1q|=|f2p|+|pq|=|f1p|+|pf2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故r的軌跡方程為：x2+y2=a2(y0)(2)如右圖，saob=|oa|ob|sinaob=sinaob當(dāng)aob=90時(shí)，saob最大值為a2.此時(shí)弦心距|oc|=.在rtaoc中，aoc=45，專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習(xí)：1如

13、圖1，中，已知，點(diǎn)在軸上方運(yùn)動(dòng)，且，則頂點(diǎn)的軌跡方程是圖1 圖2 圖3 圖42如圖2，若圓：上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)連線的垂直平分線交于點(diǎn)，則的軌跡方程是3如圖3，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于，則的軌跡方程是4與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程為5如圖4，垂直于軸的直線與軸及拋物線分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)滿足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是幾種常見求軌跡方程的方法：1直接法：由題設(shè)所給（或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法直接法求軌跡方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡檢驗(yàn)；【例1】（1）求和定圓的圓周的距離等

14、于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作圓：的割線，求割線被圓截得弦的中點(diǎn)的軌跡解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則有或即或故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為或（2）設(shè)弦的中點(diǎn)為，連結(jié)，則，化簡得：其軌跡是以為直徑的圓在圓內(nèi)的一段?。ú缓它c(diǎn)）【例2】已知直角坐標(biāo)平面上一點(diǎn)和圓：，動(dòng)點(diǎn)到圓的切線長等于圓的半徑與的和求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明它表示什么曲線解：如圖，設(shè)切圓于，又圓的半徑，由已知設(shè)，則，即可化為故所求的軌跡是以點(diǎn)為中心，實(shí)軸在軸上的雙曲線的右支，頂點(diǎn)為，如圖【例4】已知定圓的半徑為，定點(diǎn)與圓的圓心的距離為又一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與定圓相切求動(dòng)圓圓心的軌跡方程解：以所在的直線為軸，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖當(dāng)動(dòng)圓與定圓外切

15、時(shí)，；當(dāng)動(dòng)圓與定圓外切時(shí)，由雙曲線的定義知?jiǎng)訄A圓心的軌跡應(yīng)是以、為兩焦點(diǎn)的雙曲線（外切時(shí)為右支，內(nèi)切時(shí)為左支）顯然，又，故所以所求的點(diǎn)軌跡方程是：3動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法：若動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)，且、可用、表示，則將點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)的軌跡方程這種方法稱為動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法（或代換法或相關(guān)點(diǎn)法）【例5】已知定點(diǎn)、為拋物線，上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)，且設(shè)點(diǎn)，則有點(diǎn)是線段的中點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，將此式代入中，并整理得：，即為所求軌跡方程它是一條拋物線4待定系數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是確定的某種曲線時(shí)，設(shè)出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設(shè)的參

16、數(shù)，進(jìn)而求出方程如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求【例7】若拋物線和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在軸上的雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，又直線被雙曲線截得的線段長等于，求此雙曲線方程解：設(shè)所求雙曲線方程為，將代入整理得：拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程應(yīng)有等根，即由和得：由弦長公式得：即由得：，雙曲線的方程是5參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量，并用表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、，從而動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)，便可得到動(dòng)點(diǎn)的的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價(jià)性，即有的范圍確定出、的范圍【例8】拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交

17、拋物線于不同兩點(diǎn)、，以、為鄰邊作平行四邊形，求頂點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)，：，中點(diǎn)為，與聯(lián)立得：，為中點(diǎn)，消得：鞏固練習(xí)：1平面上和兩相交的定圓（半徑不等）同時(shí)相外切的動(dòng)圓圓心的軌為（）（a）橢圓的一部分（b）橢圓（c）雙曲線的一部分（d）雙曲線2已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離比動(dòng)點(diǎn)到軸的距離大，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡（）（a）拋物線（b）拋物線的一部分（c）拋物線和一射線（d）拋物線和一直線3已知定直線和外一點(diǎn)，過與相切的圓的圓心軌跡是（）（a）拋物線（b）雙曲線（c）橢圓（d）直線4一動(dòng)圓與兩圓和都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡為（）（a）圓（b）橢圓（c）雙曲線的一支（d）拋物線5已知橢圓的焦點(diǎn)是、是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如果延

18、長到，使得，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）（a）圓（b）橢圓（c）雙曲線的一支（d）拋物線6已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）（a）圓（b）橢圓（c）雙曲線（d）拋物線7與圓外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是（）（a）（b）和（c） （d）和8過拋物線的焦點(diǎn)作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)、，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為（）（a）（b）（c）（d）9過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（）（a）（b）（c）（d）10已知兩點(diǎn)、，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）（a）（b）（c）（d）11與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程是（）（a）（b）（c）（d）12設(shè)為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是13已知，是圓：（為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為14傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程是15求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在原點(diǎn)且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程16已知雙曲線