2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積教案 北師大版

1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積教案 北師大版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積教案 北師大版年級：姓名：立體幾何全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小題、1道解答題，分值約占22分2考查內(nèi)容(1)小題主要考查三視圖、幾何體體積與表面積計(jì)算，此類問題屬于中檔題目；對于球與棱柱、棱錐的切接問題，知識點(diǎn)較整合，難度稍大(2)解答題一般位于第18題或第19題的位置，常設(shè)計(jì)兩問：第(1)問重點(diǎn)考查線面位置關(guān)系的證明；第(2)問重點(diǎn)考查空間角，尤其是二面角、線面角的計(jì)

2、算屬于中檔題目.空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積考試要求1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱錐、臺體的表面積和體積的計(jì)算公式1多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2正棱柱、正棱

3、錐的結(jié)構(gòu)特征(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長度相等且相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓4三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x軸、

4、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.5圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式s圓柱側(cè)2rls圓錐側(cè)rls圓臺側(cè)(r1r2)l6柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)s表面積s側(cè)2s底vsh錐體(棱錐和圓錐)s表面積s側(cè)s底vsh臺體(棱臺和圓臺)s表面積s側(cè)s上s下v(s上s下)h球s4r2vr31按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的

5、關(guān)系：2多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球半徑r，外接球半徑r(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑r.(3)設(shè)正四面體的棱長為a，則它的高為ha，內(nèi)切球半徑rha，外接球半徑rha.一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)菱形的直觀圖仍是菱形()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1如圖所示，長方體abcdabcd中被截去一部分，其中ehad，

6、則剩下的幾何體是()a棱臺b四棱柱c五棱柱d簡單組合體c由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱2體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()a12 b c8d4a由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線2即為球的直徑，所以球的表面積為4r2(2r)212，故選a.3已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()a1 cmb2 cmc3 cm d cmbs表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)4已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為222222. 考點(diǎn)一空間

7、幾何體的三視圖、直觀圖和展開圖 1.三視圖畫法的基本原則長對正，高平齊，寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線2由三視圖還原幾何體的步驟3直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測畫法4通常利用空間幾何體的表面展開圖解決以下問題：(1)求幾何體的表面積或側(cè)面積；(2)求幾何體表面上任意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距離三視圖典例11(1)(2018全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是() a bc d(2)如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e為棱bb1的中點(diǎn)，

8、過點(diǎn)a，e，c1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為() a bcd(3)(2020全國卷)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為m，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為n，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為()aebf cgdh(1)a(2)c(3)a(1)由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選a.(2)過點(diǎn)a，e，c1的截面如圖所示，由圖可知該剩余幾何體的側(cè)視圖為c.(3)由三視圖知，該幾何體是由兩個(gè)長方體組合而成的，其直觀圖如圖所示，由圖知該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為e，故選a.點(diǎn)評：畫三視圖時(shí)，可先找出各個(gè)

9、頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定連線在投影面上的虛實(shí)直觀圖典例12已知正三角形abc的邊長為a，那么abc的平面直觀圖abc的面積為()a.a2 b.a2 c.a2 d.a2d法一：如圖1,2所示的實(shí)際圖形和直觀圖，圖1圖2由圖2可知，ababa，ococa，在圖2中作cdab于d，則cdoca，所以sabcabcdaaa2.法二：sabcaasin 60a2，又s直觀圖s原圖a2a2.故選d.點(diǎn)評：直觀圖的面積問題常常有兩種解法：一是利用斜二測畫法求解，注意 “斜”及“二測”的含義；二是直接套用等量關(guān)系：s直觀圖s原圖形展開圖典例13如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，ab2，bc，ac1

10、，aa13，f為棱aa1上的一動點(diǎn)，則當(dāng)bffc1最小時(shí)，bfc1的面積為_將直三棱柱abca1b1c1沿棱aa1展開成平面，連接bc1(圖略)，與aa1的交點(diǎn)即為滿足bffc1最小時(shí)的點(diǎn)f，直三棱柱abca1b1c1中，ab2，bc，ac1，aa13，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得a1faa11，故af2.由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得bf2，fc1，bc12，cosbfc1.故sinbfc1，bfc1的面積為sbffc1sinbfc12.點(diǎn)評：本題在探求bffc1最小時(shí)，采用了化曲為直的策略，將空間問題平面化，在解決空間折線段最短問題時(shí)可適當(dāng)考慮其展開圖1(2018全國卷)某圓柱的高為2，底面周長為16

11、，其三視圖如圖所示圓柱表面上的點(diǎn)m在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為a，圓柱表面上的點(diǎn)n在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為b，則在此圓柱側(cè)面上，從m到n的路徑中，最短路徑的長度為()a2b2 c3d2b先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)m，n的位置如圖1所示圖1圖2圓柱的側(cè)面展開圖及m，n的位置(n為op的四等分點(diǎn))如圖2所示，連接mn，則圖中mn即為m到n的最短路徑on164，om2，mn2.故選b.2某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是矩形o1a1b1c1，如圖2，其中o1a16，o1c12，則該幾何體的側(cè)面積為()圖1圖2a48b64 c96d128c由題意可知俯視圖的直觀圖面積為261

12、2，故俯視圖的面積為24.又由三視圖可知該幾何體為直四棱柱，且高為4，底面為邊長為6的菱形所以幾何體的側(cè)面積為64496.故選c. 考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積 1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量2空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)直接利用公式進(jìn)行求解(2)用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解(3)以三視圖的形式給出的應(yīng)先得到幾何體的直觀圖空間幾何體的表面積典例21(1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何

13、體的表面積是()a48b48c482d482(2)(2018全國卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為o1，o2，過直線o1o2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()a12b12 c8d10(3)(2020全國卷)已知a，b，c為球o的球面上的三個(gè)點(diǎn)，o1為abc的外接圓若o1的面積為4，abbcacoo1，則球o的表面積為()a64b48 c36d32(1)a(2)b(3)a(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為s2224251221248，故選a.(2)因?yàn)檫^直線o1o2的平面截該

14、圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2()22212.(3)如圖所示，設(shè)球o的半徑為r，o1的半徑為r，因?yàn)閛1的面積為4，所以4r2，解得r2，又abbcacoo1，所以2r，解得ab2，故oo12，所以r2oor2(2)22216，所以球o的表面積s4r264.故選a.點(diǎn)評：解答本題t(1)時(shí)易誤認(rèn)為幾何體的上底面不存在，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤空間幾何體的體積求空間幾何體的體積的常用方法典例22(1)如圖所示，正三棱柱abca1b1c1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，d為bc中點(diǎn)，則三棱錐ab1dc1的體積為()a3 bc1 d(2)(2017全國卷)

15、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()a90b63c42d36(3)已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，m、n分別為bb1、ab的中點(diǎn)，則三棱錐anmd1的體積為_(1)c(2)b(3)(1)(直接法)由題圖，在正三角形abc中，d為bc中點(diǎn)，則有adab，又平面bb1c1c平面abc，平面bb1c1c平面abcbc，adbc，ad平面abc，由面面垂直的性質(zhì)定理可得ad平面bb1c1c，即ad為三棱錐ab1dc1的底面b1dc1上的高，vab1dc1sb1dc1ad21.(2)法一：(分割法

16、)由題意知，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積v132436.上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積v232627.所以該組合體的體積vv1v2362763.法二：(補(bǔ)形法)由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，故圓柱的底面半徑為3，高為10414，該圓柱的體積v13214126.故該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即vv163.法三：(估值法)由題意，知v圓柱v幾何體v圓柱又v圓柱321090，所以45v幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合(3

17、)(等體積法)如圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，m、n分別為bb1、ab的中點(diǎn)，sanm11，vanmd1vd1amn2.點(diǎn)評：處理體積問題的思路(1)“轉(zhuǎn)”：指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿灰卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為易看出并易求解長度的高，即等體積法；(2)“拆”：指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡單的幾何體，便于計(jì)算，即分割法；(3)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱，這些都是拼補(bǔ)的方法，即補(bǔ)形法1(2019浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則

18、積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式v柱體sh，其中s是柱體的底面積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()a158b162 c182d324b由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為6162.故選b.2若正四棱錐的底面邊長和高都為2，則其表面積為_44如圖由題意知底面正方形的邊長為2，正四棱錐的高為2，則正四棱錐的斜高pe.所以該四棱錐的側(cè)面積s424，s表22444. 考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問題 與球有關(guān)的切

19、、接問題的解法(1)旋轉(zhuǎn)體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長方體中再去求解若球面上四點(diǎn)p，a，b，c中pa，pb，pc兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體，利用2r求r.一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題：可補(bǔ)形成直三棱柱先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解典例3(1)(2020全國卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(2)已知三棱錐pabc的三條側(cè)棱兩

20、兩互相垂直，且ab，bc，ac2，則此三棱錐的外接球的體積為()a. b. c. d.(3)已知直三棱柱abca1b1c1的各頂點(diǎn)都在以o為球心的球面上，且bac，aa1bc2，則球o的體積為()a4b8 c12d20(1)(2)b(3)a(1)易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球圓錐pe及其內(nèi)切球o如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則sinbpe，所以op3r，所以pe4r2，所以r，所以內(nèi)切球的體積vr3，即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.(2)ab，bc，ac2，pa1，pc，pb2.以pa，pb，pc為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖所示，則長方體的外接球同時(shí)也是三棱錐pabc的外接球長方體的

21、體對角線長為2，球的直徑為2，半徑r，因此，三棱錐pabc外接球的體積是r3()3.故選b.(3)在底面abc中，由正弦定理得底面abc所在的截面圓的半徑為r，則直三棱柱abca1b1c1的外接球的半徑為r，則直三棱柱abca1b1c1的外接球的體積為r34.故選a.母題變遷1若將本例(3)的條件“bac，aa1bc2”換為“ab3，ac4，abac，aa112”，則球o的半徑為_如圖所示，過球心作平面abc的垂線，則垂足為bc的中點(diǎn)m.又ambc，omaa16，所以球o的半徑roa .2若將本例(3)的條件改為“正四面體的各頂點(diǎn)都在以o為球心的球面上”，則此正四面體的表面積s1與其內(nèi)切球的表

22、面積s2的比值為_設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為s14a2a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為s24r2，則.3若將本例(3)的條件改為“側(cè)棱和底面邊長都是3的正四棱錐的各頂點(diǎn)都在以o為球心的球面上”，則其外接球的半徑為_3依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為36，高為3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.點(diǎn)評：通過本例(3)及母題變遷訓(xùn)練，我們可以看出構(gòu)造法、補(bǔ)形法等是處理“外接”問題的主要方法，其關(guān)鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑(1)錐體的外接球問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外

23、接球的特點(diǎn)，即球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離等于球的半徑(2)柱體的外接球問題，其解題關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置，找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系，結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑，然后再利用球的表面積和體積公式進(jìn)行正確計(jì)算1(2018全國卷)設(shè)a，b，c，d是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，abc為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐dabc體積的最大值為()a12b18 c24d54b由等邊abc的面積為9，可得ab29，所以ab6，所以等邊abc的外接圓的半徑為rab2.設(shè)球的半徑為r，球心到等邊abc的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐dabc高的最大值為246，所以三棱錐d

24、abc體積的最大值為9618.2(2020南寧模擬)已知三棱錐pabc中，abc為等邊三角形，papbpc3，papb，則三棱錐pabc的外接球的體積為()a. b. c27 d27b三棱錐pabc中，abc為等邊三角形，papbpc3，pabpbcpac. papb，papc，pcpb.以pa，pb，pc為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐pabc的外接球正方體的體對角線長為3，其外接球半徑r.因此三棱錐pabc的外接球的體積v3.核心素養(yǎng)5用數(shù)學(xué)眼光觀察世界巧解簡單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題簡單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要

25、的考點(diǎn)，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心o的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵下面從六個(gè)方面分類闡述該類問題的求解策略.利用長方體的體對角線探索外接球半徑已知邊長為2的等邊三角形abc，d為bc的中點(diǎn)，沿ad進(jìn)行折疊，使折疊后的bdc，則過a，b，c，d四點(diǎn)的球的表面積為()a3b4 c5d6c連接bc(圖略)，由題知幾何體abcd為三棱錐，bdcd1，ad，bdad，cdad，bdcd，將折疊后的圖形補(bǔ)成一個(gè)長、寬、高分別是，1,1的長方體，其體對角線長為，故該三棱錐外接球的半徑是，其表面積為5.評析若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或

26、者三條線有兩條垂直，可構(gòu)造墻角模型(如下圖)，直接用公式(2r)2a2b2c2求出r.(2020河北重點(diǎn)中學(xué)6月聯(lián)考)阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家他的一個(gè)重要數(shù)學(xué)成就是“圓柱容球”定理，即在帶蓋子的圓柱形容器(容器的厚度忽略不計(jì))里放一個(gè)球，該球與圓柱形容器的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切，則球的體積是圓柱形容器的容積的，并且球的表面積也是圓柱形容器的表面積的.則該圓柱形容器的容積與它的外接球的體積之比為()a. b. c. d.a設(shè)容器里所放球的半徑為r，則圓柱形容器的底面半徑為r，設(shè)圓柱形容器的高為h，由題意知h2r，圓柱形容器的外接球的半徑為r.圓柱形容器的容積

27、vr22r2r3，v外接球(r)3r3，所以，故選a.利用長方體的面對角線探索外接球半徑三棱錐sabc中，sabc，sbac，scab.則三棱錐的外接球的表面積為_14如圖，在長方體中，設(shè)aea，beb，cec.則scab，sabc，sbac.從而a2b2c214(2r)2，可得s4r214.故所求三棱錐的外接球的表面積為14.評析三棱錐的相對棱相等，探尋球心無從著手，注意到長方體的相對面的面對角線相等，可在長方體中構(gòu)造三棱錐，從而巧妙探索外接球半徑(2019全國卷)已知三棱錐pabc的四個(gè)頂點(diǎn)在球o的球面上，papbpc，abc是邊長為2的正三角形，e，f分別是pa，ab的中點(diǎn)，cef90，

28、 則球o的體積為()a8b4 c2 dd因?yàn)辄c(diǎn)e，f分別為pa，ab的中點(diǎn)，所以efpb，因?yàn)閏ef90，所以efce，所以pbce.取ac的中點(diǎn)d，連接bd，pd，易證ac平面bdp，所以pbac，又accec，ac，ce平面pac，所以pb平面pac，所以pbpa，pbpc，因?yàn)閜apbpc，abc為正三角形，所以papc，即pa，pb，pc兩兩垂直，將三棱錐pabc放在正方體中因?yàn)閍b2，所以該正方體的棱長為，所以該正方體的體對角線長為，所以三棱錐pabc的外接球的半徑r，所以球o的體積vr33，故選d.利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心平面四邊形abcd中，abadcd1，bd，

29、bdcd.將其沿對角線bd折成四面體abcd，使平面abd平面bcd.若四面體abcd的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為()ab3 cd2a如圖，設(shè)bd，bc的中點(diǎn)分別為e，f.因點(diǎn)f為底面直角bcd的外心，知三棱錐abcd的外接球球心必在過點(diǎn)f且與平面bcd垂直的直線l1上又點(diǎn)e為底面直角abd的外心，知外接球球心必在過點(diǎn)e且與平面abd垂直的直線l2上因而球心為l1與l2的交點(diǎn)又fecd，cdbd知fe平面abd.從而可知球心為點(diǎn)f.又abad1，cd1知bd，球半徑rfd.故v3.評析三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接

30、球球心，妙求半徑(2020廣州模擬)三棱錐pabc中，平面pac平面abc，abac，papcac2，ab4，則三棱錐pabc的外接球的表面積為()a23 b. c64 d.d如圖，設(shè)o為正pac的中心，d為rtabc斜邊的中點(diǎn)，h為ac中點(diǎn)由平面pac平面abc.則oh平面abc.作oohd，odoh，則交點(diǎn)o為三棱錐外接球的球心，連接op，又opph2，oodhab2.r2op2op2oo24.故幾何體外接球的表面積s4r2.利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個(gè)

31、球的體積為_設(shè)正六棱柱底面邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a，底面積為s62，v柱shh，h，r2221，r1，球的體積為v.評析直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如圖：其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)(2017全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()a b. c. d.b設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為r，且r1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，r及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形r.圓柱的體積為vr2h1.故選b.錐體的內(nèi)切球問題(1)題設(shè)：如圖1，三棱錐pabc是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑圖1第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，e，h分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求dhcd，pophr，pd是側(cè)面abp的高；第三步：由poepdh，建立等式：，解出r.(2)題設(shè)：如圖2，四棱錐pabcd是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑圖2第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，p，o，h三點(diǎn)共線；第二步：求fhbc，pophr，pf是側(cè)面pcd的高；第三步：由pogpfh，建立等式：，解出r.(3)題設(shè)：三棱錐pabc是任意三棱錐，求其內(nèi)切球半徑方法：等體積法，三棱錐pabc體積等