材料力學第5章彎曲應力

1、第五章第五章 彎曲應力彎曲應力 5-2 5-2 純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力 5-3 5-3 橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力 5-4 5-4 彎曲切應力彎曲切應力 5-6 5-6 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施 5-1 5-1 純彎曲純彎曲 m m M m m m m M + + F F + Fa FF aa C D AB 中性軸中性軸 dx y z x O d d y z y x O O b b y bb O O xbbd OO OO d yy d dd)( d)(ybb y z O x E y E y z x O M z yFN Mz My dA dA z y AA AFd

2、d N N F iy M iz M AA y AzMdd AA z AyMdd 0 0 M N dF y Md z Md Ad z IE M 1 0d N A y EF A 0d A Ay E 0d A Ay z S 0d A y zEM A iy 0d A Ayz E 0d A Ayz yz I MA y yEM A iz d MI E z MAy E A d 2 z EI M 1 y E z I My 討論討論 I yM z max max W M max max y I W z b h z y z d y z D d y 32 2/ 64/ 2/ 34 d d d d I W z 62/

3、 12/ 2/ 23 bh h bh h I W z D d D W )1( 32 4 3 z y y maxc y maxt M y maxt y maxc z I My maxc tmax I My z maxc maxc I My z maxt maxt 5-3 5-3 橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力 彈性力學精確分析表明，彈性力學精確分析表明， 當跨度當跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之之 比比 l / h 5 （細長梁）時，（細長梁）時， 純彎曲正應力公式對于橫力純彎曲正應力公式對于橫力 彎曲近似成立。彎曲近似成立。 橫力彎曲橫力彎曲 橫力彎曲正應力公式橫力彎曲正應力公

4、式 Z I My maxmaxmax max ZZ MyM IW 橫力彎曲最大正應力橫力彎曲最大正應力 5-3 5-3 橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力 細長梁的細長梁的純彎曲純彎曲或或橫力彎曲橫力彎曲 橫截面慣性積橫截面慣性積 I IYZ YZ =0 =0 彈性變形階段彈性變形階段 公式適用范圍公式適用范圍 彎曲正應力強度條件彎曲正應力強度條件 Z W max maxmax max z MyM I 1.1.等截面梁彎矩最大的截面上等截面梁彎矩最大的截面上 2.2.離中性軸最遠處離中性軸最遠處 3.3.變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與M z I max M W max WM ma

5、x W M ct maxcmaxt tmaxt cmaxc A C B F a 2a 20 30 14 FRA FRB Fa 4 33 cm07. 1 12 )cm2)(cm4 . 1( 12 )cm2)(cm3( z I 3 4 max cm07. 1 1cm cm07. 1 y I W z z max WM z kN3 a W F WFa z z 80 y1 y2 20 20120 z F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m - + 4kN 2.5kN kN52 R .F A kN510 R .F B mkN

6、5 . 2 MC mkN4 MB MPa2 .27 t 1 maxt I y M z B MPa2 .46 c 2 maxc I y M z B MPa8 .28 t 2 maxt I y M z C 80 y1 y2 20 20120 z 22 例例 3 ( 書例書例5.2) 已知已知： =100 MPa， P = 25.3 kN。 解解： 求求：校核校核心心 軸軸的強度。的強度。 計算簡圖如圖。計算簡圖如圖。 (1) 求彎矩圖求彎矩圖 支反力支反力 kN,6 .23 A RkN27 B R 23 (1)求彎矩圖求彎矩圖 (2) 確定危險截面確定危險截面 u I截面截面 u II截面截面 u

7、 III截面截面 24 (3) 強度校核強度校核 u I截面 max MM I mkN72. 4 32 3 1 d WI 32 )1095( 33 36 m101 .84 I I I W M MPa1 .56 u II截面 32 3 2 d WII 32 )1085( 33 36 m103 .60 II II II W M MPa7 .56 mkN42. 3 II M u III截面 32 3 3 d WIII 32 )1088( 33 36 m109 .66 III III III M W MPa4 .69 l 結論 mkN64. 4 III M l 注意注意 滿足強度要求。滿足強度要求。

8、最大正應力并非發(fā)生在彎矩最大的截面。最大正應力并非發(fā)生在彎矩最大的截面。 橫力彎曲時 橫力彎曲時, 橫截面上既有正應力橫截面上既有正應力, 又有切應力。又有切應力。 推導切應力公式的方法： 推導切應力公式的方法： 假設切應力的分布規(guī)律，然后根據假設切應力的分布規(guī)律，然后根據平衡條件平衡條件求出切求出切 應力。應力。 按截面形狀，分別討論。按截面形狀，分別討論。 q(x) F1F2 q(x) F1F2 m m n n xdx m n n m x y z O b dx m m h n y A B A1B1 A B B1 A1 mn x z y y FN2 FN1 m n n m x y z O y

9、 A B A1 B1 b dx m m h n A B B1 A1 mn x z y y FN1 FN2 dFS A B B1 A1 mn x z y y m FN1 FN2 dFS 1 d 11N A AF Ay I M A I My A z A z dd 11 1 1 z z S I M z z A S I MM AF d d 1 22N 1 d 1 A z AyS Ad 1 z z S I M F 1N z z S I MM F d 2N xbFdd s 0 x F 0d S1N2N FFF b I S x M z z d d S d d F x M b I SF z z S A B B

10、1 A1 mn x z y y m FN2 FN1 dFS Ad 1 b bI SF z z S y A* z z I Sz Sz yd 1 y1 n B m A x y z Oy A1B1 m1 1 d 1 A z AyS ) 4 ( 2 d 2 2 1 2/ 1 y hb yby h y ) 4 ( 2 2 2 SS y h I F bI SF zz z z bh F bh h F I h F z S 3 2 S 2 S max 2 3 12 8 8 A F 2 3 S max z y A z yAAy S d H o yB xb z h bI SF z z S * y * z S) 22

11、 ( hH B) 22 ( 2 1 2 hHh ) 2 (y h b) 2 ( 2 1 y h y ) 4 ( 2 )( 8 2 2 22 y hb hH B O z y dx y A* 則，距中性層則，距中性層 y處的切應力公式為處的切應力公式為: ) 4 ( 2 )( 8 2 2 22 y hb hH B bI Q z o z y 最小切應力最小切應力 發(fā)生在發(fā)生在 y y= =h h/2 /2 處處 minmax bh FS 切應力分布如圖。切應力分布如圖。 因為因為: (1): (1)腹板切應力近似為均勻分布腹板切應力近似為均勻分布; ; (2)(2)腹板負擔了絕大部分剪力。腹板負擔了

12、絕大部分剪力。 38 3 圓形截面梁圓形截面梁 l 切應力分布的切應力分布的特點特點 (1) 邊緣各點的切應力與圓周相切；邊緣各點的切應力與圓周相切； (2) y軸上各點軸上各點的切應力沿的切應力沿y軸。軸。 l 假設假設 (1) AB弦上各點的切應力作用線通過同一弦上各點的切應力作用線通過同一 點點 p； (2) AB弦上各點的切應力沿弦上各點的切應力沿 y軸的分量軸的分量 y相等。相等。 39 所以，對所以，對 y可用矩形截面梁的公式可用矩形截面梁的公式 bI QS z z y * 式中，式中，b為為AB弦的長度，弦的長度，Sz*為為AB弦以外弦以外 的面積對的面積對z軸的靜矩。軸的靜矩。

13、 l 最大切應力最大切應力 最大切應力發(fā)生在中性軸上。最大切應力發(fā)生在中性軸上。 中性軸上的切應力的方向？中性軸上的切應力的方向？ 40 3 4 2 1 2* R RS z 最大切應力是平均切應力的最大切應力是平均切應力的1.33倍。倍。 中性軸處中性軸處 Rb2 bI QS z z y * 2 max 3 4 R Q 64 4 D I z 3* 3 2 RS z 4 4 R max Smax * max max b I SF z z l 實心截面梁正應力與切應力的比較實心截面梁正應力與切應力的比較 , max z W Pl bI PS z z * max 42 u 對矩形截面梁對矩形截面梁

14、h l 4 max max u 對圓形截面梁對圓形截面梁 d l 6 max max F + 37.5 kNm 5m AB 2.5m F C mkN5 .37 max M 3 cm237 Wz MPa158 max max W M z + FSmax 5m AB F C kN30 RmaxS FFF A cm2 .17 * max S I z z MPa9 .24 * max maxS max d I S F z z q B A CDE l F F a a 8kN 210kN 208kN 41.8 kNm 41.8 kNm 45 kNm 3 6 3 max cm281 10160 1045 M

15、 Wz 47 u 查型鋼表(p. 353)3 cm281 z W 單位為: cm ,cm9 .18 * max z z S I MPa100MPa148 1075. 0109 .18 10210 22 3 maxmaxS max bI SF z z ,cm9 .18 * max z z S I MPa100MPa6 .98 101103 .21 10210 22 3 max 懸臂梁由三塊木板粘接而成?？鐟冶哿河扇龎K木板粘接而成?？?度為度為1 1m m。膠合面的許可切應力為。膠合面的許可切應力為 0.340.34MPaMPa，木材的，木材的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MP

16、a，求許可載荷。，求許可載荷。 2 1max max 6 bh lF W M z 1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖 2.2.按正應力強度條件計算許可載荷按正應力強度條件計算許可載荷 S F F M Fl 3.75kNN3750 6 1015010010 6 9272 1 l bh F bhFAFS2/32/3 2max 3.3.按切應力強度條件計算許可載荷按切應力強度條件計算許可載荷 kN01N100003/101501001023/2 66 2 bhF F l 100 50 50 50 z 解：解： 例題6 g Z ZS bh F b bh h bF bI SF 3 4 12

17、 3 3 3 2 3* g 4.4.按膠合面強度條件計算許可按膠合面強度條件計算許可 載荷載荷 3.825kNN3825 4 1034. 0101501003 4 3 66 3 g bh F 5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3 minmin i FF F l 100 50 50 50 M Fl z S F F max max W M z F l F aa l q l q Z max max W M 二二. . 增大增大 W WZ Z 合理設計截面合理設計截面 合理放置截面合理放置截面 54 u 幾種常用截面的比較幾種常用截面的比較 用比值用

18、比值AW來衡量來衡量 可看出：材料遠離中性軸的截面可看出：材料遠離中性軸的截面(環(huán)形、槽形、工字形等環(huán)形、槽形、工字形等)比較比較 經濟合理。經濟合理。 6 2 bh WZ 左 6 2 hb WZ 右 合理放置截面合理放置截面 b h W W 右 左 z max 1 t1 max 2 c2 z z y M y I y M y I t tm ma ax x c cm ma ax x 對如圖的簡支梁對如圖的簡支梁: 只有中點處的截面上達到只有中點處的截面上達到 最大正應力。最大正應力。 )( )( max xW xM )( )( xM xW 58 l 中點受集中力作用的簡支等強度梁中點受集中力作用的簡支等強度梁 彎矩方程為彎矩方程為: PxxM 2 1 )( ) 2 0( l x 橫截面采用橫截面采用矩形截面矩形截面 59 (1) 高度為常數(shù)高度為常數(shù)h，確定寬度，確定寬度 b = b(x) )( )( xM xW 2 1 Px 6 )( 2 hxb x h P xb 2 3 )( 60 u 根據剪切強度設計根據剪切強度設計最小寬度最小寬度