機械工程控制基礎~補-拉普拉斯變換

1、 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎1 河北工程大學 Hebei University of Engineering 此課件除了此課件除了PPTPPT內容，課件下內容，課件下 方附帶的備注里講解內容更細方附帶的備注里講解內容更細 致：備注里有很多案例可以幫致：備注里有很多案例可以幫 助理解；備注里有很多重點、助理解；備注里有很多重點、 難點內容的詳細講解；備注里難點內容的詳細講解；備注里 有很多易錯、易誤導內容的講有很多易錯、易誤導內容的講 解。解。 機械工程控制基礎機械工程控制基礎2 河北工程大學 Hebei University of Engineering 機電工程控制基礎機電工程控制基

2、礎 河北工程大學河北工程大學 機械與裝備工程學院機械與裝備工程學院 周雁冰周雁冰 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎3 河北工程大學 Hebei University of Engineering 補充：拉普拉斯變換補充：拉普拉斯變換 一、復數和復變函數一、復數和復變函數 二、拉氏變換與拉氏反變換的定義二、拉氏變換與拉氏反變換的定義 三、典型時間函數的拉氏變換三、典型時間函數的拉氏變換 四、拉氏變換的性質四、拉氏變換的性質 五、拉氏反變換的數學方法五、拉氏反變換的數學方法 六、用拉氏變換解常微分方程六、用拉氏變換解常微分方程 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎4 河北工程大學 Hebei Un

3、iversity of Engineering 一、復數和復變函數一、復數和復變函數 1 1、復數的概念、復數的概念 2 2、復數的表示方法、復數的表示方法 表達復數的直角坐標系平面稱為表達復數的直角坐標系平面稱為復平面復平面或或S S平面平面。 js Re( )Im( )ss， 1j 其中其中、均為實數，分別稱為均為實數，分別稱為s的實部和虛部，的實部和虛部， 記做：記做： 為虛單位。兩個復數相等時，必須且只須它們的為虛單位。兩個復數相等時，必須且只須它們的 實部和虛部分別相等，一個復數為零，它的實部和虛部均實部和虛部分別相等，一個復數為零，它的實部和虛部均 必須為零。必須為零。 機械工程控

4、制基礎 機械工程控制基礎5 河北工程大學 Hebei University of Engineering , 22 rs arctan （1 1）點表示法點表示法 （2 2）向量表示法向量表示法 復數復數S S用從原點指向點用從原點指向點 的向量來表示。向量的長度稱為復的向量來表示。向量的長度稱為復 數數S S的的模?；蚧蚪^對值絕對值 ；向量與；向量與軸（橫軸）的夾角軸（橫軸）的夾角稱稱 為為 復數的復數的幅角幅角，即，即 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎6 河北工程大學 Hebei University of Engineering cosr sin r (cossin )srj coss

5、in j ej j sr e （3 3）三角表示法：三角表示法： 由上圖可看出：由上圖可看出： ， 因此復數的三角表示法為：因此復數的三角表示法為： （4 4）指數表示法指數表示法： 利用利用歐拉公式歐拉公式 復數復數S S也可用也可用指數表示為指數表示為： 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎7 河北工程大學 Hebei University of Engineering js ( )G sujv 12 12 ()()() ( ) ()()() m n k szszsz G s s spspsp 12 , m sz zz( )0G s 12 , m z zz 12 0, n sppp ( )G

6、 s 12 0, n ppp 3 3、復變函數、極點與零點的概念、復變函數、極點與零點的概念 以復數以復數 為為自變量自變量，按某一確定法則構成的函數，按某一確定法則構成的函數 G(s)G(s)稱為稱為復變函數復變函數，G(s)G(s)可寫成：可寫成： ，在線性控制，在線性控制 系統中，通常遇到的復變函數系統中，通常遇到的復變函數G(s)G(s)是是S S的單值函數，的單值函數，G(s)G(s)就就 唯一被確定。唯一被確定。 若有復變函數若有復變函數 當當 時，時， , ,稱稱 為為G(s)G(s)的的零點零點； 當當 時，時， , ,稱稱 為為 G(s)G(s)的的極點極點。 機械工程控制基

7、礎 機械工程控制基礎8 河北工程大學 Hebei University of Engineering 二、拉氏變換與拉氏反變換的定義二、拉氏變換與拉氏反變換的定義 1 1、拉氏變換、拉氏變換 設有時間函數設有時間函數 ，則，則 的的拉氏變換記做拉氏變換記做 （L可寫為可寫為 ）或）或F F( (s s) )，并，并定義定義為：為： ( )f t ( )L f t ( ),0f tt + 0 ( )( )( ) st L f tF sf tedt 式中式中s s為為復數復數，稱，稱 為為原函數原函數，F(s)為為象函數象函數。( )f t 解：解： 000 1 ( )( )() 11 (1) 0

8、 ststst sts L f tf tedtedtedst s ee ss 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎9 河北工程大學 Hebei University of Engineering 2 2、拉氏變換的存在定理、拉氏變換的存在定理 若函數若函數 滿足下列條件：滿足下列條件： 在在 t 0 的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)，的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)， t 0及及 (M，均為實數均為實數)，使得使得 成立，則成立，則 的拉氏變換的拉氏變換 收斂于一確定的數值，即收斂于一確定的數值，即 的拉氏變的拉氏變 換換 存在。存在。 ( )f t ( )=0f t +t ( )f t ( )0 t f tM

9、et ， ( )f t 0 ( )( ) st F sf tedt ( )f t ( )F t 例：求函數例：求函數 的拉氏變換。的拉氏變換。 01 ( ) 01 tt f t t 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎10 河北工程大學 Hebei University of Engineering 1 00 1 2 0 ( )( ) 1 111 (1) 0 stst ststss L f tf tedttedt teedtese sss 在上式中用到在上式中用到分部積分分部積分，復習一下。，復習一下。 令令 分部積分公式為：分部積分公式為： - 1 - stst utveve s uv dxu

10、vu vdx 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎11 河北工程大學 Hebei University of Engineering 3 3、拉氏反變換、拉氏反變換 當已知當已知 的拉氏變換的拉氏變換 ，欲求原函數，欲求原函數 時，稱為拉時，稱為拉 氏反變換，記做氏反變換，記做 ，并定義為如下積分，并定義為如下積分 ( )f t( )F s ( )f t 1 ( )LF s 1 1 ( )( )( ) 2 jw st jw f tLF sF s e ds j 式中式中為大于為大于 所求奇異點實部的實常數（奇異點即所求奇異點實部的實常數（奇異點即 在該點不解析，也就是在該點即其鄰域不處處可導）。在

11、該點不解析，也就是在該點即其鄰域不處處可導）。 ( )F s ( )F s 這就是求拉氏反變換的一般公式，因這就是求拉氏反變換的一般公式，因 是一復變函數，是一復變函數， 上式積分需借助復變函數中留數定理來求。上式積分需借助復變函數中留數定理來求。 ( )F s 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎12 河北工程大學 Hebei University of Engineering 三、典型時間函數的拉氏變換三、典型時間函數的拉氏變換 1 1、單位階躍函數、單位階躍函數 階躍函數：是自動控制系統在實際工作條件下經常遇到階躍函數：是自動控制系統在實際工作條件下經常遇到 的一種外作用形式。在控制系統的

12、分析和設計工作中，一的一種外作用形式。在控制系統的分析和設計工作中，一 般將階躍函數作用下系統的響應特性作為評估系統動態(tài)性般將階躍函數作用下系統的響應特性作為評估系統動態(tài)性 能指標的依據。能指標的依據。 單位階躍函數：定義為單位階躍函數：定義為 00 1( ) 10 t t t 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎13 河北工程大學 Hebei University of Engineering 00 0 1 1( )1( )() 1111 ()0() 0 stst stst Lttedtestdt s edste ssss 1 1 1L s （換元法）（換元法） （換元法）（換元法） 機械工程

13、控制基礎 機械工程控制基礎14 河北工程大學 Hebei University of Engineering 2 2、單位脈沖函數、單位脈沖函數 脈沖函數在現實中是不存在的，只是數學上的定義，脈沖函數在現實中是不存在的，只是數學上的定義， 但它卻是一個重要的數學工具。但它卻是一個重要的數學工具。 單位脈沖函數：定義為單位脈沖函數：定義為 0 ( ) 00 ( )1 t t t t dt 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎15 河北工程大學 Hebei University of Engineering 在工程中常用長度等于在工程中常用長度等于1 1的有向線段表示，該線段的長度表的有向線段表示，

14、該線段的長度表 示它的積分值，稱為它的脈沖強度。示它的積分值，稱為它的脈沖強度。且具有如下特性：且具有如下特性： ， 為為t=0時刻的函數時刻的函數 的值。的值。 ( )( )(0)tf t dtf (0)f( )f t 故其拉氏變換：故其拉氏變換： 其拉氏反變換：其拉氏反變換： 0 0 ( )( )1 stst t Ltt edte 1 1( )Lt 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎16 河北工程大學 Hebei University of Engineering 3 3、單位斜坡函數、單位斜坡函數 斜坡函數：在工程實踐中，某些隨動系統就常常工作于斜坡函數：在工程實踐中，某些隨動系統就常常

15、工作于 這種外作用下。這種外作用下。 單位斜坡函數：定義為單位斜坡函數：定義為 00 ( ) 0 t f t tt 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎17 河北工程大學 Hebei University of Engineering 1 2 00 1 ( ) 0 t Lf t tts 用用分部積分法分部積分法： 令：令： ， ； 則則 ， udvuvvdu ut 1 () stst dvedtedst s dudt st e v s 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎18 河北工程大學 Hebei University of Engineering 4 4、指數函數、指數函數 () () 00

16、0 () () () 1 0 s a t s a t atatste s a t e L ee edtedtdsa t sa e sasa 1 1 at Le sa 0 0 ( ) 0 at t f t et 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎19 河北工程大學 Hebei University of Engineering 5.5.正弦函數正弦函數 正弦函數是控制系統常用的一種典型外作用，更為重要的正弦函數是控制系統常用的一種典型外作用，更為重要的 是，系統在正弦函數作用下的響應即頻率響應，是自動控制是，系統在正弦函數作用下的響應即頻率響應，是自動控制 理論中研究控制系統性能的重要依據。理論

17、中研究控制系統性能的重要依據。 由歐拉由歐拉 公式：公式： 1 sin() 2 1 cos() 2 jwtjwt jwtjwt wtee j wtee =cossin =cossin jwt jwt ewtjwt ewtjwt 得：得： sinwt 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎20 河北工程大學 Hebei University of Engineering 00 00 ()() 22 1 sinsin() 2 11 22 1 002 111 2 stjwtjwtst sjw tsjw t sjw tsjw t Lwtwt edteeedt j edtedt jj ee jsjwsjw

18、w jsjwsjwsw 其拉氏反變換：其拉氏反變換： 1 22 sin w Lwt sw 其拉氏變換：其拉氏變換： 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎21 河北工程大學 Hebei University of Engineering 6 6、余弦函數、余弦函數 由歐拉公式：由歐拉公式： coswt 1 cos 2 jwtjwt wtee 00 00 2222 1 coscos 2 1 2 1111 0022 1 2 stjwtjwtst sjw tsjw t sjw tsjw t Lwtwt edteeedt edtedt ee sjwsjwsjwsjw sjwsjws swsw 其拉氏反變換

19、：其拉氏反變換： 1 22 cos s Lwt sw 其拉氏變換：其拉氏變換： 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎22 河北工程大學 Hebei University of Engineering 7 7、冪函數、冪函數 n t 0 nnst L ttedt 1 , u usttdtdu ss 令則即 所以所以 1 00 11 = n nunu nn u L teduu e du sss 式中式中 是是函數（函數（ ） 0 1 nu u e dun 1 0 xt xte dt 已知當已知當n n是正整數時，伽馬函數有是正整數時，伽馬函數有 1!nn 故故 11 1! n nn nn L t s

20、s 其拉氏反變換：其拉氏反變換： 1 1 ! n n n Lt s 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎23 河北工程大學 Hebei University of Engineering 常用函數的拉氏變換表常用函數的拉氏變換表 序號序號f(t)F(s) 1 (t)單位脈沖函數單位脈沖函數1 21(t) 單位階躍函數單位階躍函數u(t) 3t 單位斜坡函數單位斜坡函數r(t) 4 5 6Sin( t)22 s 1 s 2 1 s at e 1 sa at te 2 1 sa 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎24 河北工程大學 Hebei University of Engineering 序號

21、序號f(t)F(s) 7 cos( t) 8 9 10 11 12 1 ! n n s 1 atbt ee ba 1 sasb 22 s s (1 2 3) n tn ， (1 2 3) nat t en ， 1 ! n n sa 1 btat beae ba s sasb 11 1 atbt beae abab 1 s sasb 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎25 河北工程大學 Hebei University of Engineering 則則 1 12211221122 ( )( ) ( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk L f tk F sk F s 四

22、、拉氏變換的基本性質四、拉氏變換的基本性質 若若k1 , k2為常數，為常數，并并設設 1 1、線性性質線性性質 拉氏反變換亦是線性變換，即拉氏反變換亦是線性變換，即 1 11221 122 Lk F sk Fsk ftk ft 23 24 116 1cos31 29 t s Lettt ssss 例：求例：求 的拉氏變換。的拉氏變換。 解：解： 23 1cos3 t ettt 1122 ( )( )( )L f tF sL ftFs， 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎26 河北工程大學 Hebei University of Engineering 2 2、位移定理位移定理 實數域的位移定

23、理（延遲定理）：實數域的位移定理（延遲定理）：實域中的位移定理，若原實域中的位移定理，若原 函數在時間上延遲函數在時間上延遲 ，則其象函數應乘以，則其象函數應乘以 s e )()(sFetfL s 復域中的位移定理：復域中的位移定理：象函數的自變量延遲象函數的自變量延遲 a，原函數應乘，原函數應乘 以以 )()(asFtfeL at at e 0 t ()f t ( )f t 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎27 河北工程大學 Hebei University of Engineering 例：求圖所示方波的拉氏變換。例：求圖所示方波的拉氏變換。 解：方波可表達為解：方波可表達為 11 1f

24、 ttT TT 0 1 1 tT tT tT 111 1 sTsT L f tee TsTsTs 例：求例：求 的拉氏變換。的拉氏變換。 2 2 sin at w L ewt saw 2 2 cos at sa L ewt saw 1 ! at n n n L et sa 解：解： 同理：同理： sin at ewt 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎28 河北工程大學 Hebei University of Engineering （如果函數如果函數 的自變量的自變量 擴大擴大 倍，則倍，則 的象函數的象函數 等于等于 的象的象 在復數域在復數域 上壓縮上壓縮 倍，并乘以常倍，并乘以常 數數

25、 ）。即：）。即： 1 ()()()() ts L faF asL f t aF aaa 或 0 0 ( )( ) /,( )() st sa tt L ffedt aa t afeadaF as 證： 令則原式 3 3、時間比例尺定理時間比例尺定理 f tta f at f t F sS a 1 a 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎29 河北工程大學 Hebei University of Engineering 例：求例：求 解：解： 22 sin w Lwt sw 2 2 22 2 11 sinsin 1/ 1/ 1 1 w LtLwt ww s w w w w s sww sinLt

26、 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎30 河北工程大學 Hebei University of Engineering 4、微分定理、微分定理 若若 ，則有，則有 ，f(0)為原為原 函數函數f(t) 在在t=0時的初始值。時的初始值。 )()(sFtfL)0()()(fssFtfL 推論：若推論：若 ，則，則 當初始條件為當初始條件為0時，即時，即 則有則有 112 0 00 nnnnn L fts F ssfsff 1 0 000 n fff 2 nn L ftSF s L ftS F s L ftS F s )()(sFtfL 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎31 河北工程大學 Heb

27、ei University of Engineering 5、積分定理、積分定理 Lf tF s 1 0f f t dt 若若 , ,則則 式中式中 是是 在在t t=0=0時的值。時的值。 1 ( )(0) ( ) F sf Lf t dt ss 同理，對同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為的二重積分的拉氏變換為 若原函數若原函數f(t)及其各重積分的初始值都等于及其各重積分的初始值都等于0 則有則有 即原函數即原函數 f(t)的的n重積分的拉氏變換等于其象函數除以重積分的拉氏變換等于其象函數除以 。 )0( 1 )0( 1 )( 1 )( )2()1( 22 2 f s f s sF s

28、 dttfL )( 1 )(sF s dttfL n n n s 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎32 河北工程大學 Hebei University of Engineering 若函數若函數f(t)及其一階導數都是可拉氏變換的，則函數及其一階導數都是可拉氏變換的，則函數f(t) 的初值為：的初值為： 0 0limlim s t ff tsF s 6、初值定理、初值定理 即原函數即原函數 在自變量在自變量 從正趨于零時的極限值，取決于從正趨于零時的極限值，取決于 其象函數其象函數 的自變量的自變量 趨于無窮大時趨于無窮大時 的極限值。的極限值。 f tt F ss sF s 7 7、終值定

29、理、終值定理 )(lim)(lim 0 ssFtf st 若若 ，則，則 L f tF s 即原函數的終值等于其象函數乘以即原函數的終值等于其象函數乘以s s之后的初值。之后的初值。 這一定理對于求瞬態(tài)響應的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。這一定理對于求瞬態(tài)響應的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎33 河北工程大學 Hebei University of Engineering 0 1 0limlimlim1 tss ff tsF ss sa 00 1 limlimlim0 tss ff tsF ss sa 1at LF sef t 01f 0f 例：已知例：已知 ，求，求 和和 。 解

30、：解： 驗證：驗證： ，則，則 ， 1 0F sa sa f 0f 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎34 河北工程大學 Hebei University of Engineering 五、拉氏反變換的數學方法五、拉氏反變換的數學方法 已知象函數已知象函數 ，求原函數，求原函數 的方法有：的方法有： 查表法：即直接查表，查出相應的原函數，適用于查表法：即直接查表，查出相應的原函數，適用于 較簡單的象函數。較簡單的象函數。 有理函數法：根據拉氏變換公式求解，由于公式中的有理函數法：根據拉氏變換公式求解，由于公式中的 被積函數是一個復變函數，需用復變函數中的留數定理求解，被積函數是一個復變函數，需

31、用復變函數中的留數定理求解， 較復雜，本文不作介紹。較復雜，本文不作介紹。 部分分式法：通過代數運算，先將一個復雜的象函數部分分式法：通過代數運算，先將一個復雜的象函數 化為數個簡單的部分分式之和，再分別求出各個分式的原函化為數個簡單的部分分式之和，再分別求出各個分式的原函 數（這些部分分式的拉氏變換簡單易記或在表中可查），總數（這些部分分式的拉氏變換簡單易記或在表中可查），總 的原函數即可求得。的原函數即可求得。 這里介紹部分分式法。這里介紹部分分式法。 f t F s 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎35 河北工程大學 Hebei University of Engineering 例例

32、1 1： 例例2 2：求：求 的逆變換。的逆變換。 解：解： ab ee tf bsasabbsas sF btat )( ) 11 ( 1 )( 1 )( 則 ) 1( 1 )( 2 ss sF t etsFLtf sssss sF 1)()( 1 111 ) 1( 1 )( 1 22 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎36 河北工程大學 Hebei University of Engineering F s s一般，一般， 是復數是復數 的有理代數式，可表示為的有理代數式，可表示為 1 10 1 10 12 12 mm mm nn nn m n B sb sbsb F s A sa sas

33、a K szszsz spspsp 式中式中 和和 分別為分別為 的極點和零點，的極點和零點， 它們是實數或共軛復數，而且一般它們是實數或共軛復數，而且一般 。 n ppp, 21 m zzz, 21 F s n m 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎37 河北工程大學 Hebei University of Engineering 1 1、 無重極點的情況無重極點的情況 總是能展開為下面簡單的部分分式之和：總是能展開為下面簡單的部分分式之和： 為待定系數為待定系數 先在等號兩邊同乘以先在等號兩邊同乘以 ，后以，后以 代入，即有：代入，即有： F s F s n n n kk ps k ps

34、k ps k sA sB sF 1 2 2 1 1 , 1 sp 1 sp 1 121 11 2 ()()( ) () ( ) n sp n KspKspB s ksp A ssPsp 11 1111 ( ) () ( ) () ( ) s ps p B s kspkF ssp A s 或 故有故有 1 121 11 2 ()()( ) () ( ) n sp n KspKspB s spk A ssPsp 即：即： 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎38 河北工程大學 Hebei University of Engineering 依此類推有：依此類推有： ( ) () ( )(),(1,2

35、) ( ) ii iis piis p B s kspkF s spin A s 或 因為：因為： 所以：所以： 1 1 i p t i Le sp 12 1 12 ( ) n p tp tp t n LF sk ek ek e 312 1 :( )? (1)(2)(3) :( ) 123 F sf t sss kkk F s sss 例 已知，求 解 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎39 河北工程大學 Hebei University of Engineering 1 1 2 2 3 3 23 11 (1) (1)(2)(3)6 11 (2) (1)(2)(3)15 11 (3) (1)(

36、2)(3)10 111111 ( ) 61152103 111 ( ) 61510 s s s ttt ks sss ks sss ks sss F s sss f teee 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎40 河北工程大學 Hebei University of Engineering 當當 某極點等于零，或為共軛復數時，同樣可用上述某極點等于零，或為共軛復數時，同樣可用上述 方法求解。方法求解。 F s 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎41 河北工程大學 Hebei University of Engineering 例：求例：求 的拉氏反變換。的拉氏反變換。 2 1 ( ) (1)

37、 s F s s ss 2 312 11 ( ) (1) 1313 2222 1313 2222 ss F s s ss s sjsj AAsA s sjsj 12,3 13 0, 22 ssj 解：易求極點為解：易求極點為 32 0 1 1 (1) s s As s ss 易得易得 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎42 河北工程大學 Hebei University of Engineering 13 23 13 22 22 13 12 22 1 = = 左邊 右邊 sj sj sj s F sssss s A sA 121 1313 1- 2222 jAAj 實部虛部分別相等得：實部虛部

38、分別相等得： 1 1A 2 0A 左右相等得：左右相等得： 2 11 ( ) (1) 1313 2222 ss F s s sss sjsj 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎43 河北工程大學 Hebei University of Engineering 22 22 22 22 11 1122 = 1313 2222 1 3 11 12 2 = 23 1313 2 2222 s s F s ss ss s s ss 11 1 22 313 ( )( )1cossin 223 tt f tLF setet 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎44 河北工程大學 Hebei University

39、 of Engineering 設設 有有r r個重極點，其余極點均不相同，則：個重極點，其余極點均不相同，則： 11 1112112 1 11112 ( )( ) ( ) ( )() ()() ()() r nrn nrrr rr rrn B sB s F s A sa spspsp kkkkkk spspspspspsp F s 2 2、 有重極點的情況有重極點的情況 F s 式中系數式中系數 求法與無重極點所講述的方法相同，求法與無重極點所講述的方法相同， 即：即： 12 , rrn kkk (1,2, , ) ( )() j jjspj rrn kF s sp 機械工程控制基礎 機械工

40、程控制基礎45 河北工程大學 Hebei University of Engineering 1 1 1 1 111 121 2 131 2 1 11 1 ( )() ( )() 1 ( )() 2! 1 ( )() (1)! r sp r sp r sp r r rsp r kF s sp d kF s sp ds d kF s sp ds d kF s sp rds 式中式中 的求法如下：的求法如下： 11121 , r kkk 由此求得所有的待定系數。由此求得所有的待定系數。 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎46 河北工程大學 Hebei University of Engineeri

41、ng 111 1 1 1 -1 ! 1 1 ! nptnpt nn n pt n nn LteLte spsp t Le n sp 已知：, 于是： 即： 的反函數為：的反函數為： F s 1 12 1 12 1112 1 12 ( )( ) (1)!(2)! nrr p trr r p tptpt rrn f tLF s kk ttke rr kekek e 1112 1 11 ()() rr kk spsp 重極點：重極點： 機械工程控制基礎 機械工程控制基礎47 河北工程大學 Hebei University of Engineering 2 1 ( ) (2)(3) F s s ss 2112 2 ( ) (3)32 AABB F s ssss 2 2 3 11 ( )(3) ( 3)( 3 2)3 s AF s s 12 0 11 ( ) 2 318 s BF ss 22 2 11 ( )(2) ( 2)( 23)2 s