不等式的證明--分析法與綜合法課件

1、 3 cba 3 cba abc c 1 b 1 a 1 3 2 ba 2 ba ab b 1 a 1 2 222 3 22 綜合法：綜合法： 分析法：分析法： 從已知或已證明過(guò)的不等式 出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出 欲證的不等式.（由因?qū)Ч?從尋求結(jié)論成立的充分 條件入手，逐步尋求所需條 件成立的充分條件，直至所 需的條件已知正確時(shí)為止. （持果索因） 求證：求證：( (a+b) a+b) 44 例例1 1 已知已知a,bRa,bR+ +， ) b 1 a 1 ( 證明：證明：a+ba+b2 02 0 3 03 0 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). . ab ab 1 b 1

2、 a 1 (a+b) a+b) 44) b 1 a 1 ( 求證：求證：( (a+b+c) a+b+c) 99 已知已知a,b,cRa,b,cR+ +， ) c 1 b 1 a 1 ( (a+b+c) a+b+c) 99 ) c 1 b 1 a 1 ( 證明：證明：a+b+ca+b+c3 03 0 3 03 0 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=ca=b=c時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). . 3 abc 3 abc 1 c 1 b 1 a 1 1.1.求證：求證：( (a+b+c) a+b+c) 99 已知已知a,b,cRa,b,cR+ +， ) c 1 b 1 a 1 ( 2.2.若若a+b+c=1,a+b+c=

3、1,求證求證: : 9 c 1 b 1 a 1 證明：證明： =(a+b+c) =(a+b+c) 99 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=ca=b=c時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). . c 1 b 1 a 1 ) c 1 b 1 a 1 ( 1.1.求證：求證：( (a+b+c) a+b+c) 99 已知已知a,b,cRa,b,cR+ +， ) c 1 b 1 a 1 ( 2.2.若若a+b+c=1,a+b+c=1,求證求證: : 99 c 1 b 1 a 1 證明：證明： = = c 1 b 1 a 1 c cba b cba a cba c b c a b c b a a c a b =3+=3+ 3+2+2+

4、2=93+2+2+2=9 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=ca=b=c時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). . 1.1.求證：求證：( (a+b+c) a+b+c) 99 已知已知a,b,cRa,b,cR+ +， ) c 1 b 1 a 1 ( 2.2.若若a+b+c=1,a+b+c=1,求證求證: : 99 c 1 b 1 a 1 引申：已知引申：已知、(0, )(0, )，求證：求證： 2 9 cossinsin 1 cos 1 2222 1.1.求證：求證：( (a+b+c) a+b+c) 99 已知已知a,b,cRa,b,cR+ +， ) c 1 b 1 a 1 ( )cba(2 9 ac 1 cb 1 ba

5、1 3.3.求證：求證： 4.4.求證：求證： 2 3 ac b cb a ba c 9) ac 1 cb 1 ba 1 )(cba(2 9) ac 1 cb 1 ba 1 ( (a+b)+(b+c)+(c+a) 已知已知a,b,cRa,b,cR+ +， 求證：求證： 2 3 ca b cb a ba c 證明證明: : ac ) cba(2 cb ) cba(2 ba ) cba(2 99 2 3 ca b cb a ba c 6+2( )6+2( )99 ca b cb a ba c 9) ac 1 cb 1 ba 1 ( (a+b)+(b+c)+(c+a) 已知已知a,b,cRa,b,c

6、R+ +， 2 9 ac cba cb cba ba cba n21 aS S aS S aS S n 1k k a 5. 5. 若若S= S= ( (a ak kRR+ +,k=1,2,k=1,2,n,n) ) 求證求證: : 1n n 2 9) ac 1 cb 1 ba 1 )(cba(2 例例2 2 求證：求證： )cba(2accbba 222222 證明：證明： | 2 ba | 2 ba 22 即即 2 )ba(2 ba 22 同理：同理： 2 )cb(2 cb 22 2 )ac (2 ac 22 + + +，得，得 )cba(2accbba 222222 2 ba 例例3 3 若

7、正數(shù)若正數(shù)a,b,ca,b,c滿(mǎn)足滿(mǎn)足a+b+c=1,a+b+c=1,求求 證證: : 3 100 ) c 1 c () b 1 b() a 1 a( 222 證明：證明： 2 222 3 ) c 1 c () b 1 b() a 1 a( 3 ) c 1 c () b 1 b() a 1 a( 3 ) c 1 b 1 a 1 1( 2 3 )91( 2 3 100 原不等式成立原不等式成立 練一練！練一練！ (1)(1)已知已知x x1 1，求證：，求證：1+1+ 3 2 )x1(x 3 2 （2 2）已知）已知a,b,cRa,b,cR+ +, ,求證：求證： )abc 3 cba (3)ab 2 ba (2 3 ? (1)(1)已知已知x x1 1，求證：，求證：1+1+ 3 2 )x1(x 3 2 即要證即要證 1+(1+1+(1+x)+(1+x)x)+(1+x) 3 2 )x1(3 3+2x3+2x 3 2 )x1(3 證明：要證不等式成立證明：要證不等式成立 只需證只需證 上式恒成立上式恒成立 原不等式成立原不等式成立 證明：要證不等式成立證明：要證不等式成立 只需證只需證 3 abc3cbaab2ba （2 2）已知）已知a,b,cR