高中數(shù)學(xué)必修5?？碱}型：等差數(shù)列

1、等差數(shù)列【知識(shí)梳理】1 .等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差第用字母d表示.2 .等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a, a, b成等差數(shù)列，那么 a叫做a與b的等差中項(xiàng).這三個(gè)數(shù)滿足的關(guān)系式 曰 a a+ b 是 a=.3 .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為d遞推公式通項(xiàng)公式an_ an二1 = d(n 2)an= aj+ (n 1)d(nc n*)【常考題型】題型一、等差數(shù)列的判定與證明【例1】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)在數(shù)列an中 an=3n+2;(2)在數(shù)列an中 an=n2

2、 + n.解(1)an + i an=3(n+1) + 2(3n+2)=3(n玳*).由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1 an=(n+1)2+(n+1)(n2+n)=2n+2,不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.【類題通法】定義法是判定(或證明)數(shù)列an是等差數(shù)列的基本方法，其步驟為：(1)作差 an+1 an；(2)對(duì)差式進(jìn)行變形；(3)當(dāng)an+1 an是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列；當(dāng)an+1 -an不是常數(shù)，是 與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí)，數(shù)列an不是等差數(shù)列.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1 .已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,數(shù)列bn中，bn=3an + 4,問(wèn)：數(shù)列bn是否

3、為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.解：數(shù)列bn是等差數(shù)列.理由：數(shù)列an是首項(xiàng)為ai,公差為d的等差數(shù)列， an+i an = d(nn ). bn+1 bn = (3an +1 + 4) (3an+ 4) = 3(an+1 an)= 3d.，根據(jù)等差數(shù)列的定義，數(shù)列bn是等差數(shù)列.題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【例2】(1)在等差數(shù)列an中，已知a5=10, ai2 = 31,求通項(xiàng)公式an. 57(2)已知數(shù)列 an為等差數(shù)列a3=4，a7= 4,求ai5的值.解(1)冶5=10, ai2=31,ai +4d=10,a1 = - 2,則？a1+11d=31, d= 3. an= 2+ (n 1)x 3

4、= 3n 5 ,通項(xiàng)公式 an=3n- 5.(ncn*)5 a3=.(2)法一：由7a7= - 4，5 a1+ 2d = 4, 得a1 + 6d = 一 二. 4解得 a1 = t-, d = -3. 44 a15= a1+ (15 1)d11331=7 +14*(-4)=；法二：由 a7=a3+ (7- 3)d,7 53即一7= 4+4d,解得 d=-3.5. . 331- ai5= a3 + (153)d = 4+ 12x( 4)= .【類題通法】1 .應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求ai和d,運(yùn)用了方程的思想.一般地，可由 am= a, an = b,ai + m 1 d = a,得求出a1和d

5、,從而確定通項(xiàng)公式.a1 + n 1 d= b,2 .若已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)am, an,求通項(xiàng)公式或其他項(xiàng)時(shí)，則運(yùn)用am=an + (m n)d則較為簡(jiǎn)捷.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】3 . (1)求等差數(shù)列8,5,2,的第20項(xiàng);(2) 401是不是等差數(shù)列5, 9, 13,的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：(1)由 a1=8, d=5-8=- 3, n=20,得 a20=8+(20- 1)x(-3)=- 49.(2)由 a1=5, d=- 9-(-5) = - 4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an= - 5 4(n 1) = 4n 1,由題意知，401 = 4n 1.得n= 100,即一401是這個(gè)數(shù)列的第10

6、0項(xiàng).題型三、等差中項(xiàng)【例3】 已知等差數(shù)列an,滿足a2 + a3 + a4 = 18, a2a3a4= 66.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解在等差數(shù)列an中，- a2 + a3 + a4 = 18,3a3=18, a3= 6.a2+ a4= 12a2= 11a2= 1,解得或a4= 1a4= 11.a2= 11當(dāng)時(shí)，a = 16, d = - 5.a4= 1an= a1+ (n 1)d=16+ (n 1) ( 5)=-5n+21.a2= 1當(dāng)時(shí)，a1 = 4, d= 5.a4= 11an= a1+ (n 1)d= 4+ (n 1) 5= 5n 9.【類題通法】_ a+ c二數(shù)a, b, c成等差

7、數(shù)列的條件是 b= -2一(或2b= a+c),可用來(lái)進(jìn)行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問(wèn)題.如若證an為等差數(shù)列，可證 2an+1=an+an+2(nc n*).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】4 . (1)已知數(shù)列8, a,2, b, c是等差數(shù)列，則 a, b, c的值分別為 , .(2)已知數(shù)列an滿足 an 1+an+1=2an(n2),且 a2=5, a5=13,則 a8=.解析：(1)因?yàn)?, a,2, b, c是等差數(shù)列，8+2=2a,a=5,所以 a+b=2x2,b=- 1,2+ c= 2b.c= 一 4.(2)由an-1+an+1 = 2an (n-2)知,數(shù)列an是等差數(shù)列，a2, a5

8、, a8成等差數(shù)列.a+ a8= 2a5, .a8= 2a5 a2= 2x 13-5=21.答案：(1)5 -1-4 (2)21【練習(xí)反饋】1 .已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 = 2,公差d=3,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()a. an= 3n 1b. an=2n+1c. an=2n+3d. an=3n+2解析：選 aa=ai+(n1)d = 2+ (n1) 3=3n 1.2.等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次是x-1, x+1,2x+ 3,則其通項(xiàng)公式為()a. an=2n 5b.an = 2n3c. an=2n1d. an=2n+ 1解析：選b x- 1, x+1,2x+3是等差數(shù)列的前 3項(xiàng)，2(x+1)

9、= x 1 + 2x+ 3,解得 x=0. a1 = x1 = 1, a2= 1, a3= 3,. d = 2, .an = 1 + 2(n 1) = 2n 3.3 .等差數(shù)列的第3項(xiàng)是7,第11項(xiàng)是一1,則它的第7項(xiàng)是.解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d,由 a3= 7, a11 = 1 得，a1+ 2d = 7, a1+ 10d = 1,所以 a1 = 9, d= - 1,則 a7 = 3.答案：34 .已知：1, x, y,10構(gòu)成等差數(shù)列，則 x, y的值分別為 .解析：由已知，x是1和y的等差中項(xiàng)，即2x=1 + y，y是x和10的等差中項(xiàng)，即 2y=x+ 10，由，可解得x= 4, y= 7.答案：4,75 .在等差數(shù)列an中，(1)已知 a5=- 1, a8=2,求 a1 與 d;(2)已知 a1+a6=12, a