導(dǎo)數(shù)的概念及其運算

1、第1頁 共 45 頁 第三篇第三篇 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第第1節(jié)節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及其運算導(dǎo)數(shù)的概念及其運算 第2頁 共 45 頁 1.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 (1)f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是 稱其為函數(shù)稱其為函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù),記作記作f(x0)或或y|x=x0, 即即f(x0)= 00 00 ()() limlim, xx f xxf xy xx 00 0 ()() lim x f xxf x x 基礎(chǔ)知識梳理：基礎(chǔ)知識梳理： 第3頁 共 45 頁 (2)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x變化時變化時,

2、f(x)稱為稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則則f(x)= y = 0 ()( ) lim. x f xxf x x 注意注意:導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在x=x0處及其附近函數(shù)值的改變量處及其附近函數(shù)值的改變量y與自與自 變量的改變量變量的改變量x之比的極限之比的極限,它是一個局部性的概念它是一個局部性的概念. 則函數(shù)則函數(shù)y=f(x)在在x=x0處就有導(dǎo)數(shù)處就有導(dǎo)數(shù),否則就沒有導(dǎo)數(shù)否則就沒有導(dǎo)數(shù). 0 lim x y x 若存在 第4頁 共 45 頁 2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線就是曲線y=f(x)在點在點 p(

3、x0,y0)處的切線的處的切線的斜率斜率,過點過點p的切線方程為的切線方程為: y-y0=f(x0)(x-x0). 注意：注意：求曲線過某點的切線方程，必須先判斷點求曲線過某點的切線方程，必須先判斷點 是否在曲線上。若不在，則先設(shè)切點坐標(biāo)再求。是否在曲線上。若不在，則先設(shè)切點坐標(biāo)再求。 第5頁 共 45 頁 3.幾種常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾種常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)c=0(c為常數(shù)為常數(shù)); (2)(xn)=nxn-1(nn); (3)(sinx)=cosx; (4)(cosx)=-sinx; (5)(ex)=ex; (6)(ax)=axlna; ; 1 ). () ( 1 x xlna 7lnx 8l

4、ogax 第6頁 共 45 頁 4.導(dǎo)數(shù)運算法則導(dǎo)數(shù)運算法則 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); 2 ( ) ( )( )( )( ) ( )( ( ). ( )() fx g xf xf x g g x g xx 3g x0 注意注意:關(guān)于導(dǎo)數(shù)的加減法則關(guān)于導(dǎo)數(shù)的加減法則,可推廣到有限多個情況可推廣到有限多個情況,如如 f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)等等. 第7頁 共 45 頁 1.在平均變化率的定義中在平均變化率的定義中,自變量的增量自變量的增量x滿足滿足( ) a.x0b.x0時時,是從右端

5、趨近是從右端趨近,x0時時,是從左端趨近是從左端趨近,這就是這就是 “附近附近”的意義的意義. 答案答案:c 考點訓(xùn)練：考點訓(xùn)練： 第8頁 共 45 頁 2.一物體的運動方程是一物體的運動方程是s=3+t2,則在時間段則在時間段2,2.1內(nèi)相應(yīng)的平內(nèi)相應(yīng)的平 均速度為均速度為() a.0.41 b.3 c.4 d.4.1 22 32.1(32 ) :. . . 2 1 2 s t 4 1解析 答案答案:d 第9頁 共 45 頁 3.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)可導(dǎo),則則 等于等于( ) a.f(1)b.3f(1) c. f(1) d.f(3) 答案答案:a 0 (1)(1) lim x fxf x

6、 第10頁 共 45 頁 4.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)在在x=1處的導(dǎo)數(shù)為處的導(dǎo)數(shù)為3,則則f(x)的解析式可能為的解析式可能為() a.f(x)=(x-1)3+3(x-1) b.f(x)=2(x-1) c.f(x)=2(x-1)2 d.f(x)=x-1 解析解析:先求先求f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再代入驗證再代入驗證.當(dāng)當(dāng)f(x)=(x-1)3+3(x-1)時時, f(x)=3(x-1)2+3且且f(1)=3(1-1)2+3=3. 答案答案:a 第11頁 共 45 頁 5.(2010新課標(biāo)全國新課標(biāo)全國)曲線曲線y=x3-2x+1在點在點(1,0)處的切線方程處的切線方程 為為( ) a.y

7、=x-1 b.y=-x+1 c.y=2x-2 d.y=-2x+2 解析解析:由題可知由題可知,點點(1,0)在曲線在曲線y=x3-2x+1上上,求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得y=3x2-2, 所以在點所以在點(1,0)處的切線的斜率處的切線的斜率k=1,切線過點切線過點(1,0),根據(jù)直線根據(jù)直線 的點斜式可得切線方程為的點斜式可得切線方程為y=x-1,故選故選a. 答案答案:a 第12頁 共 45 頁 題型一題型一利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù) 解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方 法法,應(yīng)熟練掌握應(yīng)熟練掌握,關(guān)鍵是變形關(guān)鍵是變形,找

8、出分子與分母的對應(yīng)關(guān)系找出分子與分母的對應(yīng)關(guān)系. 2 . 4 1y x 【典例 】用定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 典例研習(xí)：典例研習(xí)： 第13頁 共 45 頁 2222 22 444(2) , ()() y 2 4, () xxx xxxxxx yxx xxxx 解 23 2 00 28 limlim4. xx yxx xx xxx 解題感悟解題感悟利用定義法求導(dǎo)數(shù)利用定義法求導(dǎo)數(shù),要先求出要先求出y, 然后分離出與然后分離出與x無關(guān)的量無關(guān)的量,再求解再求解. 第14頁 共 45 頁 題型二題型二利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù)利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù) 解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:1.運用可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式運用可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)

9、法則和導(dǎo)數(shù)公式,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的基本步驟內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的基本步驟: (1)分析函數(shù)分析函數(shù)y=f(x)的結(jié)構(gòu)和特征的結(jié)構(gòu)和特征; (2)選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo); (3)整理得結(jié)果整理得結(jié)果. 2.對較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時對較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時,應(yīng)先化簡再求導(dǎo)應(yīng)先化簡再求導(dǎo),特別是對數(shù)函數(shù)特別是對數(shù)函數(shù) 真數(shù)是根式或分式時真數(shù)是根式或分式時,可用對數(shù)的性質(zhì)把真數(shù)轉(zhuǎn)化為有理可用對數(shù)的性質(zhì)把真數(shù)轉(zhuǎn)化為有理 式或整式求解更為方便式或整式求解更為方便. 第15頁 共 45 頁 2 xxx 3 2 2: 1 yx sinx; 2

10、y3 e2 (3); e; 4 ysinx. 1 2 lnx y x 【典例 】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第16頁 共 45 頁 解解(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx; (2)y=(3xex)-(2x)+(e) =(3x)ex+3x(ex)-(2x) =3xln3 ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)(3e)x-2xln2; 第17頁 共 45 頁 22 22 2 22 22 2 2 2 2 () (1)(1) (1) 1 (1)2 (1) 1 2 ; ( 3 y 4 y3 sin2x sin2x6sin 2x 1 cos2x. ) lnxxlnxo

11、x x xlnxx x x xx lnx x x 第18頁 共 45 頁 類型三類型三導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:求曲線切線方程的步驟是求曲線切線方程的步驟是: 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x); 求斜率求斜率k=f(x0); 寫出切線方程寫出切線方程y-y0=f(x0)(x-x0).但是要注意但是要注意,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x) 在在x=x0處不可導(dǎo)時處不可導(dǎo)時,曲線在該點處并不一定沒有切線曲線在該點處并不一定沒有切線, 同時還必須明確同時還必須明確p(x0,y0)為切點為切點. 第19頁 共 45 頁 3 14 . 33 3y 1p 2,4; 2p 2,4; 34. x【典

12、例 】已知曲線 求曲線在點處的切線方程 求曲線過點的切線方程 求斜率為 的曲線的切線方程 分析分析求曲線的切線方程的方法是通過切點坐標(biāo)求曲線的切線方程的方法是通過切點坐標(biāo),求出切線的求出切線的 斜率斜率,再通過點斜式得切線方程再通過點斜式得切線方程. 第20頁 共 45 頁 3 3 00 2 x 2 2 x x00 1p 2,4y yx ,p 2,4ky |4. p 2,4y44 x2 , 4xy40. 2y p 14 3, 33 14 33 14 , 2,4 ky , 3 |x 3 . x x a xx 解在曲線上 且在點處的切線的斜率 曲線在點處的切線方程為 即 設(shè)曲線 與過點的切線相切于

13、點 則切線的斜率 第21頁 共 45 頁 2 00 2 0 2 0 32 00 322 000 2 0000 2 00 3 0 3 0 3 0 00 14 33 24 . 33 2 xxx, yxx p 2,4,42x x3x40, xx4x40, xx14 x1x10, x1x20,x1x2, 4xy40 xy20. 4 , 33 yx x x 切線方程 即 點在切線上 即 解得或 故所求的切線方程為或 第22頁 共 45 頁 2 0000 4 2, 3x ,y,kx4,x2. 2,4 y44 x2 4x 3 4 4(2), 3 y4012x3y200. yx 設(shè)切點為則切線的斜率 切點為或

14、 切線方程為或 即或 第23頁 共 45 頁 解題感悟解題感悟利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題,一定要熟練掌握以一定要熟練掌握以 下條件下條件: (1)函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率.即已知切點坐即已知切點坐 標(biāo)可求切線斜率標(biāo)可求切線斜率,已知斜率可求切點的坐標(biāo)已知斜率可求切點的坐標(biāo). (2)切點既在曲線上切點既在曲線上,又在切線上又在切線上.切線有可能和曲線還有其他切線有可能和曲線還有其他 的公共點的公共點. 第24頁 共 45 頁 錯源一錯源一因忽視解題順序而致錯因忽視解題順序而致錯 11 11 1f xx4. xx 【典例 】

15、求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 12 1f 4f4, 3 0. 3 錯解因為所以 易錯掃描：易錯掃描： 第25頁 共 45 頁 剖析剖析f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(x0),實際上是導(dǎo)函數(shù)實際上是導(dǎo)函數(shù)f(x)在在x=x0 處的函數(shù)值處的函數(shù)值,即即f(x0)=f(x)|x=x0.故求故求f(x)在在x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(x0), 應(yīng)先求應(yīng)先求f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x),再將再將x=x0代入代入f(x)求值求值,順序不能順序不能 顛倒顛倒. 2 112 ( ), 111 22 .fx (1) ,f4 9 xx f x xxx x 正解因為 所以 第26頁 共 45 頁 技法一技法一活用導(dǎo)數(shù)

16、定義活用導(dǎo)數(shù)定義 【典例【典例1】設(shè)】設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2006),則則 f(0)=_. 技能指導(dǎo)：技能指導(dǎo)： 第27頁 共 45 頁 解析解析 =1232006. 答案答案1232006 00 0 0 f (0)limlim 0 lim122006 xx x f xff x xx xxx 第28頁 共 45 頁 技法二技法二先化簡再求導(dǎo)先化簡再求導(dǎo),優(yōu)化解題過程優(yōu)化解題過程 【典例【典例2】求函數(shù)】求函數(shù)y=cotx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解題切入點解題切入點對此題對此題,由于課本沒有給出由于課本沒有給出y=cotx的直接求導(dǎo)公的直接求導(dǎo)公 式式,一些同學(xué)不知怎么辦了一些同學(xué)不

17、知怎么辦了.其實其實,將原式化為用將原式化為用sinx與與cosx 來表示的式子來表示的式子,然后再按照商的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)即可求解然后再按照商的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)即可求解. 第29頁 共 45 頁 2 22 22 ycotx y , ()() 1 . cosx sinx cosx sinxcosx sinx sin x sin xcos x sin xsin x 解因為 所以 第30頁 共 45 頁 方法與技巧方法與技巧一些常用求導(dǎo)的策略一些常用求導(dǎo)的策略: (1)多項式相乘型的函數(shù)求導(dǎo)多項式相乘型的函數(shù)求導(dǎo),往往把多項式展開后再利用公往往把多項式展開后再利用公 式求導(dǎo)式求導(dǎo). (2)以根式或分式形式出現(xiàn)的函數(shù)求導(dǎo)問題以根式或分式形式出現(xiàn)的函數(shù)求導(dǎo)問題,先化成指數(shù)的形先化成指數(shù)的形 式再利用公式求導(dǎo)式再利用公式求導(dǎo). (3)比較復(fù)雜的函數(shù)比較復(fù)雜的函數(shù),往往需要先化簡再求導(dǎo)往往需要先化簡再求導(dǎo). (4)對于某些沒有給出求導(dǎo)公式的函數(shù)對于某些沒有給出求導(dǎo)公式的函數(shù),可以先化為有求導(dǎo)公可以先化為有求導(dǎo)公 式的函數(shù)表示再求導(dǎo)式的函數(shù)表示再求導(dǎo). 第31頁 共 45 頁 補(bǔ)充作業(yè)：補(bǔ)充作業(yè)： . 1 1 )3(); 4 co