小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)講座共30講含答案(19)

1、 小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(六年級(jí))本教程共30講枚舉法我們?cè)谡n堂上遇到的數(shù)學(xué)問題，一般都可以列出算式，然后求出結(jié)果。但在數(shù)學(xué)競(jìng)賽或生活中卻經(jīng)常會(huì)遇到一些有趣的題目，由于找不到計(jì)算它們的算式，似乎無從下手。但是，如果題目所述的情況或滿足題目要求的對(duì)象能夠被一一列舉出來，或能被分類列舉出來，那么問題就可以通過枚舉法獲得解決。所謂枚舉法，就是根據(jù)題目要求，將符合要求的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏地一一列舉出來，從而解決問題的方法。例1 小明和小紅玩擲骰子的游戲，共有兩枚骰子，一起擲出。若兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和為7，則小明勝；若點(diǎn)數(shù)和為8，則小紅勝。試判斷他們兩人誰獲勝的可能性大。分析與解：將兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和分別為7與

2、8的各種情況都列舉出來，就可得到問題的結(jié)論。用ab表示第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為a，第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)是b的情況。出現(xiàn)7的情況共有6種，它們是：16，25，34，43，52，61。出現(xiàn)8的情況共有5種，它們是：26，35，44，53，62。所以，小明獲勝的可能性大。注意，本題中若認(rèn)為出現(xiàn)7的情況有16，25，34三種，出現(xiàn)8的情況有26，35，44也是三種，從而得“兩人獲勝的可能性一樣大”，那就錯(cuò)了。例2 數(shù)一數(shù)，右圖中有多少個(gè)三角形。分析與解：圖中的三角形形狀、大小都不相同，位置也很凌亂，不好數(shù)清楚。為了避免數(shù)數(shù)過程中的遺漏或重復(fù)，我們將圖形的各部分編上號(hào)（見右圖），然后按照?qǐng)D形的組成規(guī)律，把三角形分

3、成單個(gè)的、由兩部分組成的、由3部分組成的再一類一類地列舉出來。單個(gè)的三角形有6個(gè)：1 ，2，3，5，6，8。由兩部分組成的三角形有4個(gè)：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分組成的三角形有1個(gè)：（5，7，8）。由四部分組成的三角形有2個(gè)：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分組成的三角形有1個(gè)：（1，2，3，4，5，6，7，8）。總共有64121=14（個(gè)）。對(duì)于這類圖形的計(jì)數(shù)問題，分類型數(shù)是常用的方法。例3 在算盤上，用兩顆珠子可以表示多少個(gè)不同的四位數(shù)？分析與解：上珠一個(gè)表示5，下珠一個(gè)表示1。分三類枚舉：（1）兩顆珠都是上珠時(shí)，可表示5005，5050，550

4、0三個(gè)數(shù)；（2）兩顆珠都是下珠時(shí)，可表示1001，1010，1100，2000四個(gè)數(shù)；（3）一顆上珠、一顆下珠時(shí)，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七個(gè)數(shù)。一共可以表示 347=14（個(gè)）四位數(shù)。由例13看出，當(dāng)可能的結(jié)果較少時(shí)，可以直接枚舉，即將所有結(jié)果一一列舉出來；當(dāng)可能的結(jié)果較多時(shí)，就需要分類枚舉，分類枚舉是我們需重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握的內(nèi)容。分類一定要包括所有可能的結(jié)果，這樣才能不遺漏，并且類與類之間不重疊，這樣才能不重復(fù)。例4 有一只無蓋立方體紙箱，將它沿棱剪開成平面展開圖。那么，共有多少種不同的展開圖？分析與解：我們將展開圖按最長(zhǎng)一行有多少個(gè)正方形（紙

5、箱的面）來分類，可以分為三類：最長(zhǎng)一行有4個(gè)正方形的有2種，見圖（1）（2）；最長(zhǎng)一行有3個(gè)正方形的有5種，見圖（3）（7）；最長(zhǎng)一行有2個(gè)正方形的有1種，見圖（8）。不同的展開圖共有2518（種）。例5 小明的暑假作業(yè)有語文、算術(shù)、外語三門，他準(zhǔn)備每天做一門，且相鄰兩天不做同一門。如果小明第一天做語文，第五天也做語文，那么，這五天作業(yè)他共有多少種不同的安排？分析與解：本題是分步進(jìn)行一項(xiàng)工作，每步有若干種選擇，求不同安排的種數(shù)（有一步差異即為不同的安排）。這類問題簡(jiǎn)單一些的可用乘法原理與加法原理來計(jì)算，而本題中由于限定條件較多，很難列出算式計(jì)算。但是，我們可以根據(jù)實(shí)際的安排，對(duì)每一步可能的選擇

6、畫出一個(gè)樹枝狀的圖，非常直觀地得到結(jié)果。這樣的圖不妨稱為“枚舉樹”。由上圖可知，共有6種不同的安排。例6 一次數(shù)學(xué)課堂練習(xí)有3道題，老師先寫出一個(gè)，然后每隔5分鐘又寫出一個(gè)。規(guī)定：（1）每個(gè)學(xué)生在老師寫出一個(gè)新題時(shí)，如果原有題還沒有做完，那么必須立即停下來轉(zhuǎn)做新題；（2）做完一道題時(shí)，如果老師沒有寫出新題，那么就轉(zhuǎn)做前面相鄰未解出的題。解完各題的不同順序共有多少種可能？分析與解：與例5類似，也是分步完成一項(xiàng)工作，每步有若干種可能，因此可以通過畫枚舉樹的方法來求解。但必須考慮到所有可能的情形。由上圖可知，共有5種不同的順序。說明：必須正確理解圖示順序的實(shí)際過程。如左上圖的下一個(gè)過程，表示在第一個(gè)

7、5分鐘內(nèi)做完了第1題，在第二個(gè)5分鐘內(nèi)沒做完第2題，這時(shí)老師寫出第3題，只好轉(zhuǎn)做第3題，做完后再轉(zhuǎn)做第2題。例7 是否存在自然數(shù)n，使得n2n2能被3整除？分析與解：枚舉法通常是對(duì)有限種情況進(jìn)行枚舉，但是本題討論的對(duì)象是所有自然數(shù)，自然數(shù)有無限多個(gè)，那么能否用枚舉法呢？我們將自然數(shù)按照除以3的余數(shù)分類，有整除、余1和余2三類，這樣只要按類一一枚舉就可以了。當(dāng)n能被3整除時(shí)，因?yàn)閚2，n都能被3整除，所以（n2n2）3余2； 當(dāng)n除以3余1時(shí)，因?yàn)閚2，n除以3都余1，所以（n2n2）3余1； 當(dāng)n除以 3余 2時(shí)，因?yàn)閚23余1，n3余2，所以（n2n2）3余2。因?yàn)樗械淖匀粩?shù)都在這三類之中

8、，所以對(duì)所有的自然數(shù)n，（n2n2）都不能被3整除。練習(xí)211.10種。解：6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+31+1+2+21+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9種。解：一天吃完有1種：（10）；兩天吃完有5種：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3種：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（種）。3.8種。解：如下圖所示，只有1個(gè)小矩形豎放的有3種，有3個(gè)小矩形豎放的有4種，5個(gè)小矩形都豎放的有1種。共341=8（種）。4.6個(gè)。解：15個(gè)球分成數(shù)量不同的四堆的所有分法有下面6種：（1，2，

9、3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）?？梢钥闯?，分成的四堆中最多的那一堆至少有6個(gè)球。5.10個(gè)。提示：由一塊、兩塊、三塊、四塊組成的三角形依次有4，3，2，1個(gè)，共有432110（個(gè)）。6.6種。提示：將各盤獲勝者寫出來，可畫出枚舉樹如下：7.14種。提示：按四封信的完成順序可畫出枚舉樹如下：練習(xí)211.將6拆成兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)之和，共有多少種不同拆法？2.小明有10塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？3.用五個(gè)12的小矩形紙片覆蓋右圖的25的大矩形，共有多少種不同蓋法？4.15個(gè)球分成數(shù)

10、量不同的四堆，數(shù)量最多的一堆至少有多少個(gè)球？5.數(shù)數(shù)右圖中共有多少個(gè)三角形？6.甲、乙比賽乒乓球，五局三勝。已知甲勝了第一盤，并最終獲勝。問：各盤的勝負(fù)情況有多少種可能？7.經(jīng)理有4封信先后交給打字員，要求打字員總是先打最近接到的信，比如打完第3封信時(shí)第4封信還未到，此時(shí)如果第2封信還未打完，那么就應(yīng)先打第2封信而不能打第1封信。打字員打完這4封信的先后順序有多少種可能？答案與提示練習(xí)211.10種。解：6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+31+1+2+21+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9種。解：一天吃完有1種：（10）；兩天吃完有5種：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3種：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（種）。3.8種。解：如下圖所示，只有1個(gè)小矩形豎放的有3種，有3個(gè)小矩形豎放的有4種，5個(gè)小矩形都豎放的有1種。共341=8（種）。4.6個(gè)。解：15個(gè)球分成數(shù)量不同的四堆的所有分法有下面6種：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1