定積分應(yīng)用題附答案

1、定積分的應(yīng)用復(fù)習(xí)題.填空:1 .曲線y lnx,y ln a, y in b（0 a b）及y軸所圍成的平面圖形的面積ln bin aeydy=b-a2 .曲線yx2和yjx所圍成的平面圖形的面積是1.求由拋物線y2 = 2x與直線2x + y - 2 = 0 所圍成的圖形的面積。解：（1）確定積分變量為y,解方程組y2 2x /曰 x 1/2x2 2行,y 2x 2 乂 1y22r 1一，一即拋物線與直線的交點(diǎn)為（，1）和（2 , - 2 ）.故所求圖形在直線y = 1和2y = - 2 之間，即積分區(qū)間為2, 1人（2）在區(qū)間2, 1上，任取一小區(qū)間為y , y + dy ，對(duì)應(yīng)的窄條面積

2、近似于高為（1 1y） -1y2,底為dy的矩形面積，從而得到面積元素22da =(1 2ydy1y2 -1y36所求圖形面積a =12 (1- 1y)- 1y2 dy = y -222.求拋物線y = - x 2 + 4x - 3及其在點(diǎn)（0, - 3）和（3, 0）處的切線所圍成的圖形的面積。解：由 y = - x 2 + 4x - 3 得 y 2x 4, y（0） 4, y（3）2。拋物線在點(diǎn)（0, - 3）處的切線方程為y = 4x - 3 ;在點(diǎn)（3, 0）處的切線方程為y = - 2x + 6 ;兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （0,3 ）。2故面積a =3o2(4x 3) (x2 4x 3)

3、dx3293(2x 6)(x24x 3)dx3.求由擺線x = a （tsint) , y = a( 1- cost)的一拱（0 t 2 ）與24橫軸所圍成的圖形的面積。2 a2解：a y(x)dx a(1 cost) a(1 cost)dt2 21 cos2t2a (1 2cost )dt 3 a024 .求由下列曲線所圍成的圖形的公共部分的面積：r = 3 cos 及r = 1 + cos解：兩曲線的交點(diǎn)由r 3cosr 1 cos,解得 3及3 r233 r2-1o03 2(1 cos ) d二 1 一 92 - (3cos ) d32541 cos2 9 -=3(1 2cos )d -

4、 2(1 cos2 )d02，2 1，5 .計(jì)算由擺線 x = a (t- sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱(0 t 2 ),直線y = 0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。2 a 2222解：vx0 y (x)dx a (1 cost) a(1 cost)dt2a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 a 02ao2avy 0 x2(y)dy 0 x1 (y)dya2(t sint)2 asintdt a2(t sint)2 asintdt20_2_ _a (t sint) sintdt 6 ax2 y2 2 y x26 .求由x2

5、 + y2 = 2和丫 = x 2所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解：(1)取積分變量為x,為求積分區(qū)間，解方程組:x 1 x 1得圓與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為rr所以積分區(qū)間為-1 , 1 y 1， y 1 ，(2)在區(qū)間-1 , 1上任取一小區(qū)間x, x+dx,與它對(duì)應(yīng)的薄片體積近似于(2 - x 2) -x4 dx ,從而得到體積元素dv = (2 -x 2) - x 4dx =(2 - x 2- x 4) dx.(3)故 vx = x11 (2 - x 2- x 4) dx =44157 .求圓盤(x 2)2 y2 1繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 解 設(shè)旋轉(zhuǎn)體積為v,則v 2*2 1

6、3x51 (x 2)2dx 令x 2 sint則v=4 2 (2 sint)cos2tdt242 (1 cos2t)dt 2 sintcos2tdt22,124 (t sin 2t)|24 28 .設(shè)有拋物線c: y = a - bx2 ( a 0 , b 0 ),試確定常數(shù)a , b的值，使得c與 直線y = x + 1相切，且c與x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積達(dá)到 最大。解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x , y ),由于拋物線與y = x + 1相切，一112b故有 k = - 2bx = 1，得 x r111 r1由a b 1解得a 1 ,即：b 2b 2b4b4(1 a)2,a 2 a a

7、 y a2由 v(a) x dy -dy 2 a (1 a)00 b 2b.-23令 v (a) 2 a(2 3a) 0 得 a 2 , b 934x acos t9 .設(shè)星形線萬(wàn)程為. ( a 0),求：y asin t(1)由星形線所圍圖形的面積(2)星形線的長(zhǎng)度。解：(1)由對(duì)稱性得a032a 4 y(x)dx 4 asin t 3acos t( sin t)dt 212a2 2sin41cos2tdt 3a208(2) l = 4 02 x2(t)y2(t) dt=4。2( 3acos21sint)2 (3asin2tcost)2 dt=12a 023nte0st 出 6a,小t co

8、st sin,10.計(jì)算曲線x d , y d自原點(diǎn)到與具有鉛直的切線11最近點(diǎn)的弧長(zhǎng)。dy sint解：dy 乎tantdx dx costdt t曲線上具有鉛直切線且與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t 一,原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的2參數(shù)t = 1故s = 12xx2(t)y2(t)dt2 cost 21 t2sint2 .dt in 1112 in t211 .設(shè)si為曲線y = x2、直線y = t 2 (t為參數(shù))及y軸所圍圖形的面積；s2 為曲線y = x2、直線y = t 2及x = 1所圍圖形的面積。問t為何值時(shí)，s = s1+s2 取得最大值、最小值。j -t 221224 321解：s(t) (t x )dx (x t )dx t t 0t331令 s(t) 4t2 2t 0 ,解得 t1 0 ,t2 2于是s(0)1113,叼4，s-2- 1故 smax = s(1) = , smin = s(一)32三.證明題:1.證明：曲線y = sinx的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)等于橢圓 2x2+ y2 = 2的周長(zhǎng)。 證明：y = sinx的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)l1 = 4 02、