第三章初等矩陣與矩陣的秩

1、第三章第三章 初等矩陣與初等矩陣與 矩陣的秩矩陣的秩 2 矩陣的秩矩陣的秩 1 1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 1 1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 矩陣的初等變換的定義矩陣的初等變換的定義 初等矩陣初等矩陣 初等變換的應(yīng)用初等變換的應(yīng)用 定義定義1 1 設(shè)設(shè) ，則以下三種變換稱為矩陣，則以下三種變換稱為矩陣 ij rr i rk ij rkr 一、矩陣的初等變換的定義一、矩陣的初等變換的定義 ij m n Aa A 的初等行變換的初等行變換: : 交換交換 的兩行；的兩行；A記作記作 用一個(gè)非零常數(shù)用一個(gè)非零常數(shù) 乘以乘以 的某一行；的某一行；kA 記作記作 用一個(gè)數(shù)用一個(gè)數(shù) 乘以乘以 的

2、某一行的各元素后再的某一行的各元素后再 加到加到 的另一行對(duì)應(yīng)的元素上去。的另一行對(duì)應(yīng)的元素上去。 記作記作 k A 同理，可定義矩陣的初等列變換：同理，可定義矩陣的初等列變換： A 定義定義2 2 設(shè)設(shè) ，則以下三種變換稱為矩陣，則以下三種變換稱為矩陣 ij cc i ck ij ckc 一、矩陣的初等變換的定義一、矩陣的初等變換的定義 ij m n Aa A 的初等列變換的初等列變換: : 交換交換 的兩列；的兩列；A記作記作 用一個(gè)非零常數(shù)用一個(gè)非零常數(shù) 乘以乘以 的某一列；的某一列；kA 記作記作 用一個(gè)數(shù)用一個(gè)數(shù) 乘以乘以 的某一列的各元素后再的某一列的各元素后再 加到加到 的另一列

3、對(duì)應(yīng)的元素上去。的另一列對(duì)應(yīng)的元素上去。 記作記作 k A 矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換初等變換。 A 等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)： AB 。 如果矩陣如果矩陣 經(jīng)過(guò)有限次經(jīng)過(guò)有限次初等變換初等變換變成矩陣變成矩陣 ，則稱，則稱 矩陣矩陣 與與 等價(jià)等價(jià)， AB 記作記作AB AA 反身性反身性 若若 對(duì)稱性對(duì)稱性AB ，則，則 BA 。 傳遞性傳遞性若若 AB ， BC ，則，則 AC 。 例如，例如，對(duì)矩陣對(duì)矩陣 施行初等行變換，有施行初等行變換，有 1212 2202 1434 A A 2 12 1 2 1101 1212 1434

4、 r rr 21 31 1101 0111 0333 rr rr 32 3 1101 0111 0000 rr 1 A 行階梯矩陣行階梯矩陣 1 1101 0111 0000 A 行階梯形矩陣：行階梯形矩陣： 1.1.可畫出一條階梯線，線的可畫出一條階梯線，線的 下方全為零；下方全為零； 2. 每個(gè)臺(tái)階只有一行；每個(gè)臺(tái)階只有一行； 3. 階梯線的豎線后面的第一階梯線的豎線后面的第一 個(gè)元素即為首非零元。個(gè)元素即為首非零元。 12 rr 2 1010 0111 0000 A 4.4.非零行首非零元為非零行首非零元為1 1； 5. 這些首非零元所在的列的這些首非零元所在的列的 其他元素全為其他元素

5、全為0。 行最簡(jiǎn)形矩陣：行最簡(jiǎn)形矩陣： 2 1010 0111 0000 A 4. .非零行首非零元為非零行首非零元為1 1； 5. 這些首非零元所在的列的這些首非零元所在的列的 其他元素全為其他元素全為0。 行最簡(jiǎn)形矩陣：行最簡(jiǎn)形矩陣： 31 cc 32 cc 42 cc 3 1000 0100 0000 A 6. 左上角是一個(gè)單位矩陣，左上角是一個(gè)單位矩陣， 其余元素全為其余元素全為0。 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣： 二、初等變換的應(yīng)用二、初等變換的應(yīng)用 1. 求逆陣求逆陣 定理定理3.1.2若方陣若方陣A可逆，可逆，A可以經(jīng)過(guò)有限次的初等可以經(jīng)過(guò)有限次的初等 行變換行變換(初等列變換

6、初等列變換)化為單位矩陣化為單位矩陣E，即，即AE 。 這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位陣這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位陣。其實(shí)，可其實(shí)，可 逆矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣也是單位陣。逆矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣也是單位陣。 利用初等變換求逆陣的方法：利用初等變換求逆陣的方法： 121 , ll P PP P AE 1 11 , ll P PP EA 1111llll P PP A P PP E 1 AE 11 ll P PPA E 設(shè)設(shè)A可逆，可逆， 則則AE ，所以存在有限個(gè)初等矩陣所以存在有限個(gè)初等矩陣 12 , l PPP， ，使使 兩端同時(shí)右乘兩端同時(shí)右乘 1 A ，便有，便有 所以所以 123

7、 212 , 134 A 例例 設(shè)設(shè)求求 1 A 。 解解 12310 0 0342 1 0 0111 0 1 123100 212010 134001 A E 12 2rr 31 rr 23 rr 12310 0 0111 0 1 0342 1 0 23 rr 12310 0 0111 0 1 0342 1 0 32 3rr 1 2310 0 0 111 0 1 0 015 1 3 1 2014 3 9 0 1061 4 0 0151 3 13 3rr 23 rr 1 2014 3 9 0 1061 4 0 0151 3 13 3rr 23 rr 1 002 1 1 0 106 1 4 0

8、015 1 3 12 2rr 1 0 0211 0 1 0614 0 0 1513 3 ( 1)r 故故 1 211 614 513 A 2 矩陣的秩矩陣的秩 矩陣的秩的概念 用初等變換求矩陣的秩 一、矩陣的秩的概念一、矩陣的秩的概念 定義定義3.2.1：在在 mn 矩陣矩陣 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列( k m，kn)， 位于這些行列交叉處的位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素，不改變它們?cè)趥€(gè)元素，不改變它們?cè)?A中所處中所處 的位置次序而得的的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣階行列式，稱為矩陣 A 的的 k 階子式階子式。 顯然，顯然，mn 矩陣矩陣 A 的的 k 階子式

9、共有階子式共有 個(gè)個(gè)。 kk mn C C 定義定義3.2.2：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 r 階子式階子式 D，且所有，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣稱為矩陣 A 的的最高階非零子式最高階非零子式，數(shù)，數(shù) r 稱為稱為矩陣矩陣 A 的秩的秩，記作，記作 R(A)。 規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩等于零。零矩陣的秩等于零。 矩陣矩陣 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)中非零子式的最高階數(shù) 例例1：求矩陣求矩陣 A 的秩，其中的秩，其中 123 235 471 A 解：解：在在 A 中，中，

10、2 階子式階子式 。 12 0 23 A 的的 3 階子式只有一個(gè)，即階子式只有一個(gè)，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) = 2 。 例例2：求矩陣求矩陣 B 的秩，其中的秩，其中 解：解：B 是一個(gè)行階梯形陣，其非零行有是一個(gè)行階梯形陣，其非零行有 3 行，因此其行，因此其 4 階子階子 式全為零式全為零。 以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的 3 階子式階子式 213 032240 004 ，因此，因此 R(B) = 3 。 還存在其還存在其 它它3 階非零階非零 子式嗎？子式嗎？ 21032 03125 00043 00000 B 例例2

11、：求矩陣求矩陣 B 的秩，其中的秩，其中 解（續(xù)）：解（續(xù)）：B 還有其它還有其它 3 階非零子式，例如階非零子式，例如 203 0128 004 212 03518 003 202 0156 003 結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù) 21032 03125 00043 00000 B 例例3：求求矩陣矩陣 的秩。的秩。 12102 24266 21023 33334 A 解：解：對(duì)對(duì)A施行初等行變換化成行階梯形矩陣施行初等行變換化成行階梯形矩陣。 12102 24266 21023 33334 A 12102 00062 03221 09632

12、 21 2rr 31 41 2 3 rr rr 二、用初等變換求矩陣的秩 為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩 12102 00062 03221 09632 12102 03221 09632 00062 23 rr 34 rr 12102 03221 00031 00000 32 3rr 43 2rr 因?yàn)樾须A梯形矩陣有因?yàn)樾须A梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故個(gè)非零行，故R(A) = 3 。 設(shè)A為mn矩陣，當(dāng)R(A)=m時(shí)，稱A為行滿秩矩陣；

13、當(dāng)R(A)=n時(shí)，稱A為列滿秩矩陣。 設(shè)A為n階矩陣，且R(A)=n，則稱A為滿秩矩陣。 結(jié)論：方陣A可逆的充分必要條件是A為滿秩矩陣。 矩陣矩陣A的秩具有以下性質(zhì)：的秩具有以下性質(zhì)： n若矩陣若矩陣 A 中有某個(gè)中有某個(gè) s 階子式不等于零，則階子式不等于零，則 R(A) s ； 若矩陣若矩陣 A 中所有中所有 t 階子式等于零，則階子式等于零，則 R(A) t 。 n若若 A 為為 mn 矩陣，則矩陣，則 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 例例4：求求矩陣矩陣 的秩，并求的秩，并求 A 的一個(gè)的一個(gè) 最高階非零子式。最高階非零子式。 32050 32361 2015

14、3 16414 A 解 對(duì)A作初等變換，變成行階梯形矩陣 05023 35102 11340 41461 42 41 rr rr 32050 32361 20153 16414 A 12812160 1179120 11340 41461 41461 35102 16323 05023 A 42 41 rr rr 14 13 3 2 rr rr 84000 84000 11340 41461 00000 84000 11340 41461 由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知. 3)( AR 23 3rr 24 4rr 34 rr 接下來(lái)求接下來(lái)求 A 的最高階非零子式的最高階非零子式。選取行階梯形矩陣中非零行選取行階梯形矩