數(shù)學(xué)必修 2 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直線與方程(1)直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)我們規(guī)定它的傾斜角為。度。因此，傾斜角的取值范圍是 0 ax B2y C20相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 AlX Biy Cl 0的一組解。 A2X B2y C20方程組無(wú)解li /I2 ；方程組有無(wú)數(shù)解ll與重合(8)兩點(diǎn)間距離公式： 設(shè)A(xi,y1)，B X2, y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 |AB| .(X2 Xi)2 (y2 yi)2(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P X0,y0到直線11 ： Ax By C 0的距離d lAx0 By c| d22

2、A B(i0)兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。、圓的方程1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心a,b ,半徑為r；(2) 一般方程Dx Ey當(dāng) D2 E24F0時(shí)，方程表示圓,此時(shí)圓心為半徑為當(dāng) D2 E24F0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)D2E24F。時(shí),方程不表不任何圖形。(3)求圓方程的方法:若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出D, E, F;另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原

3、點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷:(1)設(shè)直線l:Ax By C 0,圓C：x a 2y b 2 r2 ,圓心C a,b到l的距離為d 1Aa Bb則有d r l與C相離；d r l與C相切；d r l與C相交,A2 B2222設(shè)直線l : Ax By C 0,圓C: x a y b r ,先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式2 一，xx0 vy r去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中x, y0表不切點(diǎn)坐標(biāo)，r

4、表小半徑。(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：圓x2+y2=r2,圓上一點(diǎn)為(xO, y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為 xx0打02 (課本命題).圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x, y。)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b尸r（課本命題的推廣）.4、圓與圓的位置關(guān)系： 通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。222.2.22設(shè)圓 Ci : x ai ybir , C2 : x a? yb2R兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差）,與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)d R r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)d R r時(shí)兩圓外切，連

5、心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)R r d R r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;當(dāng)d R r時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)d |R r|時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d 0時(shí)，為同心圓。三、立體幾何初步（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表不：用各頂點(diǎn)字母，如五棱枉 ABCDE A B C D E或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱） AD幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行

6、且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形， 其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐 p abcde幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形； 平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) p abcde幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

7、(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn) ，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)； 側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。(7)球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離

8、等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：原來(lái)與x軸平行的線段仍然與原來(lái)與y軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。(2)特殊幾何體表面積公式c為底面周長(zhǎng),h為高,h為

9、斜高,l為母線)S直棱柱側(cè)面積chS圓柱側(cè)2 rhSE棱錐側(cè)面積-ch 2S圓錐側(cè)面積rlS正棱臺(tái)側(cè)面積C2)hS圓臺(tái)側(cè)面積(rR)Sa柱表2SH錐表S圓臺(tái)表rlRlR2(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式Sh%柱Shr2h、， iV錐-ShV圓錐r 2h1(S S S3S)hV圓臺(tái)-(S bs S)h 3(r23E血/小I上旗雄示1上憂|V n-7R2)hrR(4)球體的表面積和體積公式：V球=4 R3 ； S球面=4 R234、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(1)平面 平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母a、3、丫表示，如平面a (通常寫在一個(gè)銳角內(nèi))；

10、也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。點(diǎn)與平面的關(guān)系： 點(diǎn)A在平面 內(nèi)，記作A ；點(diǎn)A不在平面 內(nèi)，記作A 點(diǎn)與直線的關(guān)系： 點(diǎn)A的直線l上，記作：AC l；點(diǎn)A在直線l外，記作A l；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面a內(nèi)，記作l a；直線l不在平面a內(nèi)，記作l a。(2)公理1 :如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面 內(nèi)。(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線) 應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號(hào)語(yǔ)言表示公理 1: A l,B l,A ,B l(3)公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交

11、直線確定一平面；兩平行直線確定平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面”和3相交，交線是 a,記作a A3= a。符號(hào)語(yǔ)言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

12、異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a/a, b/b,則把直線a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0。，90。,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。說(shuō)明：(1)判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn) O的位置無(wú)關(guān)。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。

13、B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角(7)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).直線不在平面內(nèi)J相交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).(或直線在平面外) (平行一一沒(méi)有公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號(hào)表不 ：a aaid a = A a / a(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)；a / 3相交有一條公共直線。a n 3 = b5、空間中的平行問(wèn)題（ 1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理 ：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性

14、質(zhì)定理： 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（ 2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（ 1 ）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行f面面平行），（ 2 ）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。（線線平行面面平行），（ 3 ）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行f線面平行）（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行f線線平行）

15、7、空間中的垂直問(wèn)題（ 1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直： 如果兩條異面直線所成的角是直角， 就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直， 就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直： 如果兩個(gè)平面相交， 所成的二面角 （從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角） ，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（ 2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

16、 判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另 個(gè)平面。9、空間角問(wèn)題(1)直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a, b平行的直線a, b ,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。(2)直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。平面的斜線與平面所成的角

17、：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角， 叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線；(2)過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。(3)二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射 線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),二面角的平面角過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為7、空間直角坐標(biāo)系(1)定義：如圖，OBCD D, ABC是單位正方體.以A為原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OA,ob的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸 x軸.y軸.z軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.