數(shù)學(xué)歸納法(說課)

1、 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人教社全數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人教社全 日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊 ( (選修選修II)II)第二章第一節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共第二章第一節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共3 3課時(shí)，這是第課時(shí)，這是第1 1 課時(shí)課時(shí), , 主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理解與簡單應(yīng)用主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理解與簡單應(yīng)用 在高一，學(xué)生已經(jīng)學(xué)了用不完全歸納在高一，學(xué)生已經(jīng)學(xué)了用不完全歸納 法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公 式，數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)列知識的深入與擴(kuò)展式，數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)列知識的深入與擴(kuò)展. .縱觀高中數(shù)學(xué)縱觀高中數(shù)學(xué), , 數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)重難點(diǎn)

2、內(nèi)容數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容, ,也是一種重要的數(shù)學(xué)方法也是一種重要的數(shù)學(xué)方法, , 可以使學(xué)生學(xué)會(huì)一種研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法可以使學(xué)生學(xué)會(huì)一種研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法 重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解 我所在的學(xué)校是省屬重點(diǎn)中學(xué)，所教我所在的學(xué)校是省屬重點(diǎn)中學(xué)，所教 的班級是平行班，學(xué)生基礎(chǔ)還不錯(cuò)的班級是平行班，學(xué)生基礎(chǔ)還不錯(cuò). .我我 按照大綱要求，結(jié)合學(xué)生情況，補(bǔ)充了一些問題情境和按照大綱要求，結(jié)合學(xué)生情況，補(bǔ)充了一些問題情境和 數(shù)學(xué)實(shí)例以烘托重點(diǎn)，突破難點(diǎn)數(shù)學(xué)實(shí)例以

3、烘托重點(diǎn)，突破難點(diǎn) 學(xué)生經(jīng)過中學(xué)五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具學(xué)生經(jīng)過中學(xué)五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具 有一定的推理能力，數(shù)學(xué)思維也逐步有一定的推理能力，數(shù)學(xué)思維也逐步 向理性層次躍進(jìn)，并逐步形成了辨證思維體系但學(xué)生向理性層次躍進(jìn)，并逐步形成了辨證思維體系但學(xué)生 自主探究問題的能力普遍還不夠理想自主探究問題的能力普遍還不夠理想 學(xué)生對等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、學(xué)生對等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、 二項(xiàng)式定理等知識有較全面的把握二項(xiàng)式定理等知識有較全面的把握 和較深入的理解，同時(shí)也具備一定的從特殊到一般的歸和較深入的理解，同時(shí)也具備一定的從特殊到一般的歸 納能力，但對歸納的概念是模糊的納能力，但對歸納的概念是模糊的

4、努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積 極思考、大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)極思考、大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué) 習(xí)的興趣和課堂效率讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程習(xí)的興趣和課堂效率讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, , 體會(huì)類比的體會(huì)類比的 數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想 讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯 物主義觀點(diǎn)；體會(huì)研究數(shù)學(xué)問物主義觀點(diǎn)；體會(huì)研究數(shù)學(xué)問 題的一種方法題的一種方法, , 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué) 的意識和科學(xué)精神的意識和科學(xué)精神 了解歸納法了解歸納法, , 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)

5、 質(zhì)掌握兩個(gè)步驟；會(huì)證明簡單的與自質(zhì)掌握兩個(gè)步驟；會(huì)證明簡單的與自 然數(shù)有關(guān)的命題培養(yǎng)學(xué)生觀察然數(shù)有關(guān)的命題培養(yǎng)學(xué)生觀察, ,分析分析, ,思考思考, ,論證的能力論證的能力, , 發(fā)展發(fā)展 抽象思維能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證抽象思維能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證 思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力 借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素 材材, ,促進(jìn)學(xué)生對促進(jìn)學(xué)生對“遞推原理遞推原理”的理解，的理解， 為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法提供形象化的參照，為教學(xué)難點(diǎn)為學(xué)生掌握

6、數(shù)學(xué)歸納法提供形象化的參照，為教學(xué)難點(diǎn) 突破提供感性基礎(chǔ)突破提供感性基礎(chǔ) 采用類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法進(jìn)行教采用類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法進(jìn)行教 學(xué)學(xué). .數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)立足于學(xué)生的邏數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)立足于學(xué)生的邏 輯思維能力和推理能力輯思維能力和推理能力, ,在舊知識體系的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的在舊知識體系的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的 知識鎖鏈教學(xué)中注重觀察與思考知識鎖鏈教學(xué)中注重觀察與思考, ,比較與類比比較與類比, ,分析與分析與 綜合綜合, ,概括與特殊化等知識發(fā)生發(fā)展與形成的思維過程概括與特殊化等知識發(fā)生發(fā)展與形成的思維過程 在教學(xué)過程中，我不僅要傳授學(xué)生課在教學(xué)過程中，我不僅要傳授學(xué)生課 本知識，還要培養(yǎng)

7、學(xué)生主動(dòng)觀察、主本知識，還要培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)觀察、主 動(dòng)思考、親自動(dòng)手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)思考、親自動(dòng)手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的 綜合素質(zhì)，從而達(dá)到較為理想的教學(xué)終極目標(biāo)綜合素質(zhì)，從而達(dá)到較為理想的教學(xué)終極目標(biāo) 創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容. . 新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu)新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu). . 鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu), , 充實(shí)認(rèn)知過程充實(shí)認(rèn)知過程. . (1) 不完全歸納法引例 明朝劉元卿編的明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄應(yīng)諧錄中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字這中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字這 則笑話中財(cái)主的兒子得出則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四

8、橫、五就是五橫四就是四橫、五就是五橫”的結(jié)論，用的結(jié)論，用 的就是的就是“歸納法歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的 (2) 完全歸納法對比引例 有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰更聰明一些他給每人一筐有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰更聰明一些他給每人一筐 花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出答 案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的， 幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒熟的，幾個(gè)三仁的，

9、幾個(gè)一仁、兩仁幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁 的，總共不過一把花生顯然，二徒弟比大徒弟聰明的，總共不過一把花生顯然，二徒弟比大徒弟聰明 不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確, 但也可能正確但也可能正確; 完全歸納法得完全歸納法得 到的結(jié)論雖然正確到的結(jié)論雖然正確, 但比較費(fèi)事但比較費(fèi)事. 這兩個(gè)引例為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境這兩個(gè)引例為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境, 加加 深學(xué)生對歸納法的認(rèn)識深學(xué)生對歸納法的認(rèn)識, 同時(shí)也為本節(jié)課的后續(xù)教學(xué)開啟了學(xué)生的思維同時(shí)也為本節(jié)課的后續(xù)教學(xué)開啟了學(xué)生的思維 (1) 不完全歸納法實(shí)例 給出等差數(shù)列前四項(xiàng)給出等

10、差數(shù)列前四項(xiàng), , 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式 (2) 完全歸納法實(shí)例 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及 一邊上三種情況一邊上三種情況 從生活走向數(shù)學(xué)，我與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識心理從生活走向數(shù)學(xué)，我與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識心理 學(xué)強(qiáng)調(diào)在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)與教學(xué)，因此在這里我安排了學(xué)強(qiáng)調(diào)在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)與教學(xué)，因此在這里我安排了 一個(gè)不完全歸納法的實(shí)例（數(shù)列通項(xiàng)）與一個(gè)完全歸納法的實(shí)例（圓一個(gè)不完全歸納法的實(shí)例（數(shù)列通項(xiàng)）與一個(gè)完全歸納法的實(shí)例（圓 周角定理），進(jìn)一步加強(qiáng)歸納意識，同時(shí)讓學(xué)生感受到

11、我們以前的學(xué)周角定理），進(jìn)一步加強(qiáng)歸納意識，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué) 習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納 問題問題1 1 已知已知 = (nN= (nN* *), ), (1)(1)分別求分別求 , , , ., , , . (2)(2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論? ? 這個(gè)結(jié)論正確嗎這個(gè)結(jié)論正確嗎? ? n a 22 55)( nn 1 a 2 a 3 a 4 a 問題問題2 2 費(fèi)馬（費(fèi)馬（Fermat）是）是1717世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為， 當(dāng)當(dāng)nN N時(shí)，時(shí)， 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n0

12、0，1 1，2 2，3 3，4 4作作 了驗(yàn)證后得到的后來，了驗(yàn)證后得到的后來，1818世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler） 卻證明了卻證明了 4 294 967 2974 294 967 2976 700 4176 700 417641641，從而否定了費(fèi)，從而否定了費(fèi) 馬的推測沒想到當(dāng)馬的推測沒想到當(dāng)n5 5這一結(jié)論便不成立這一結(jié)論便不成立 122 n 12 5 2 問題問題3 3 , ,當(dāng)當(dāng)nN時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗(yàn)證：驗(yàn)證： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4） 61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f

13、（8）113，f（9） 131，f（10）151， ， f（39）1 601 但是但是 f（40）1 681 ，是合數(shù)是合數(shù) 41)( 2 nnnf 2 41 在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué) 史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法 的普遍性同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納的普遍性同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納 法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大師都可能如法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大師都可能如 此那么，有沒

14、有更好的方法呢？這里，我努力培養(yǎng)學(xué)生大膽此那么，有沒有更好的方法呢？這里，我努力培養(yǎng)學(xué)生大膽 猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力概括能力是思維能力的核心魯猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力概括能力是思維能力的核心魯 賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學(xué)認(rèn)為賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學(xué)認(rèn)為“遷移就遷移就 是概括是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我 找的突破口就是學(xué)生的概括過程找的突破口就是學(xué)生的概括過程 多米諾成功的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：多米諾成功的關(guān)鍵有兩點(diǎn)： (1) (1) 第一張牌被推倒；第一張牌被推倒； (2) (2) 假如某一張牌倒下假

15、如某一張牌倒下, , 則它的后一張牌必定倒下則它的后一張牌必定倒下 于是于是, , 我們可以下結(jié)論：我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會(huì)全部倒下多米諾骨牌會(huì)全部倒下 搜索：搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車再舉幾則生活事例：推倒自行車, , 早操排隊(duì)對齊等早操排隊(duì)對齊等 (1)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)等式成立；時(shí)等式成立； (2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立時(shí)等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 則則 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即即 nk1時(shí)等式也時(shí)等式也 成立成立 于是于是, 我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n1)d 對任何對任何nN

16、*都成立都成立 類比多米諾現(xiàn)象過程類比多米諾現(xiàn)象過程, , 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式. . 證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下： (2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk (kN*, kn0 ) 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 完成這兩個(gè)步驟后完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對從開就可以斷定命題對從開 始的所有正整數(shù)始的所有正整數(shù)n都正確都正確 這種證明方法叫做這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 (1) 證明當(dāng)證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n = n0 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確; 例題例題 在數(shù)列在數(shù)列 n a中,

17、1 a1, n n n a a a 1 1 (n ), * N先計(jì)算先計(jì)算 2 a， 3 a， 4 a的值，再推測通項(xiàng)的值，再推測通項(xiàng) 的公式的公式, , n a最后證明你最后證明你 的結(jié)論的結(jié)論 我首先給出一道要求學(xué)生先猜想后證明的例題，這是我首先給出一道要求學(xué)生先猜想后證明的例題，這是 一道靈活的訓(xùn)練題，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能一道靈活的訓(xùn)練題，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能 教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意 識和能力識和能力 （1）（第）（第63頁例頁例1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 135（2n1

18、）n2 . （2）（第）（第64頁練習(xí)頁練習(xí)3）首項(xiàng)是）首項(xiàng)是a1 , 公比是公比是 q 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是 an=a1qn 1. 這兩道題是針對本節(jié)課的內(nèi)容呈現(xiàn)了一組這兩道題是針對本節(jié)課的內(nèi)容呈現(xiàn)了一組“比較組織者比較組織者”. 例例1 與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多, 套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難 解答解答, 因此我把它作為練習(xí)因此我把它作為練習(xí), 這樣既考慮到學(xué)生的能力水平這樣既考慮到學(xué)生的能力水平, 也不沖淡也不沖淡 本節(jié)課的重點(diǎn)本節(jié)課的重點(diǎn). 練習(xí)練習(xí)3恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)

19、公式的證明, 與前者是一個(gè)與前者是一個(gè) 對比與補(bǔ)充對比與補(bǔ)充 (1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法； (2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全 歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素， 而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于 完全歸納法；完全歸納法； (3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸遞歸) 思想，它的使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可思想，它的使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可 少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉； (4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、 分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想分類思想、歸納思想