二次函數(shù)建模(許文娟)[教學(xué)內(nèi)容]

1、建立函數(shù)模型解決幾何圖形面積的最 值問題 說題者：許文娟說題者：許文娟 1優(yōu)學(xué)課堂 人教版九年級上冊人教版九年級上冊 第第5252頁綜合運用第頁綜合運用第7 7題題 如圖，點E,F,G,H分 別位于正方形ABCD 的四條邊上，四邊形 EFGH也是正方形， 當(dāng)點E位于何處時， 正方形EFGH的面積 最小？ 2優(yōu)學(xué)課堂 一、背景分析一、背景分析 二、解題過程二、解題過程 三、拓展提升三、拓展提升 四、評價分析四、評價分析 3優(yōu)學(xué)課堂 一、一、背景分析背景分析 題目背景題目背景 題材背景題材背景 知識背景 知識背景 思想背思想背 景景 題干立題干立 意意 本題出自人教版九年級上冊本題出自人教版九年級

2、上冊P52P52綜合運用第綜合運用第7 7題題 這道題安排在課題這道題安排在課題實際問題與二次函數(shù)實際問題與二次函數(shù) 的復(fù)習(xí)鞏固題之內(nèi)。的復(fù)習(xí)鞏固題之內(nèi)。 在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的解析式性質(zhì)、 圖象之后，運用變量之間的關(guān)系建 立函數(shù)模型。 題干立意從知識技能、過程方法和情感態(tài) 度價值觀進行闡述 數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化思想，類 比思想， 4優(yōu)學(xué)課堂 一、背景分析一、背景分析- 學(xué)情分析學(xué)情分析 學(xué)生特點：本題的教學(xué)對象是畢業(yè)班學(xué)生，他們的觀察能力學(xué)生特點：本題的教學(xué)對象是畢業(yè)班學(xué)生，他們的觀察能力 有所發(fā)展，抽象邏輯思維開始占優(yōu)勢，具有從實際問題中抽象有所發(fā)展，抽象邏輯思維開始占優(yōu)勢，具有從實際問題中抽象 出

3、變量，常量之間關(guān)系的能力。我將采用數(shù)形結(jié)合、化歸思想出變量，常量之間關(guān)系的能力。我將采用數(shù)形結(jié)合、化歸思想 和類比的方法進行突破難點。和類比的方法進行突破難點。 5優(yōu)學(xué)課堂 二、解題過程二、解題過程審題審題 如圖，點E,F,G,H分別位于正方形ABCD四 條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當(dāng)點E 位于何處時，正方形EFGH的面積最??？ 審題： 1、挖掘題干中有價值的信息。直接 條件：正方形ABCD的邊長是常量， 點E是邊AB上的一個動點； 隱含條件是AE是變量，正方形 EFGH的面積是變量； 圖形中出現(xiàn)四個全等的三角形 2、學(xué)生遇到的問難：（1）圖形中沒有數(shù)字語言，無從下手。 （2）不知如何設(shè)

4、變量 （3）建立二次函數(shù)模型 6優(yōu)學(xué)課堂 二、二、解題過程解題過程-問題設(shè)計問題設(shè)計 3、將問題當(dāng)中的條件具體化處理，對結(jié) 論進行猜想。正方形ABCD的邊長是常量， 先將AB邊長具體化，假設(shè)AB=10，猜想 當(dāng)點E運動到AB邊的中點時， 形成的正方形EFGH的面積最小。 4、從求想起，分析正方形的面積和哪些線段有關(guān)。 觀察可知： Rt AEH Rt BFE Rt CGF Rt DHG 可以對Rt AEH Rt BFE 進行證明， 由三角形全等可知BF=AE。 2 EFGH SEF = 已知在Rt BFE中， 222 EFBEBF=+ 2222 222 222 EFGH AEBF BFBEAEB

5、E EFAEBE SEFAEBE = +=+ =+ =+ 7優(yōu)學(xué)課堂 2222 222 222 EFGH AEBF BFBEAEBE EFAEBE SEFAEBE = +=+ =+ =+ 5、建立二次函數(shù)模型。由分 析可知：正方形EFGH的面積 和線段AE，線段BE的長度有 關(guān)。 假設(shè)AE=x,正方形EFGH 的面積為y,則BE=10-x, 由上訴的證明可以得 BF=AE=x, 22222 22 22 22 (10) (10) 10020 2201002(5)50 5 EFAEBEXX yxx yxxx yxxx xy =+=+- =+- =+-+ =-+=-+ =當(dāng)時， 有最小值 當(dāng)點E在A

6、B的中點處時，正方形EFGH有最小值。 自變量x的取 值范圍是什 么？ 8優(yōu)學(xué)課堂 6、從特殊到一般，建立函數(shù)模、從特殊到一般，建立函數(shù)模 型求面積的最值型求面積的最值 假設(shè)AB=a,AE=x,正方形 EFGH的面積為y,則BE=a-x, 由上訴的證明可以得 BF=AE=x, 22222 22 222 2222 (a) (a) 2 222(0.5 )0.5 1 2 EFAEBEXX yxx yxaaxx yxaxaxaa xy =+=+- =+- =+-+ =-+=-+ =當(dāng)a時， 有最小值 當(dāng)點E在AB的中點處時，正方形EFGH有最小值. 證實了猜想是正確的。 9優(yōu)學(xué)課堂 7、第二種解法：利

7、用圖形 面積和差建立函數(shù)模型 假設(shè)AB=a,AE=x,正方形 EFGH的面積為y,則BE=a-x, 可以得到BF=AE=x, 22 22 2 2 1 ) 2 1 ( 2 22 )( 2 1 4 aaxy xaxay xaxay 積有最小值的中點時，小正方形面位于當(dāng)點 時，函數(shù)有最小值 2 1 當(dāng) ABE ax 10優(yōu)學(xué)課堂 三、三、拓展提升拓展提升-解題方法總結(jié)解題方法總結(jié) 實際問題 常量、變量函數(shù)模型函數(shù)模型 函數(shù)最值 11優(yōu)學(xué)課堂 三、三、拓展提升拓展提升-題目變式延伸題目變式延伸 變式訓(xùn)練1：如圖所示， 已知AB=12，AD=16， 點G在AB邊上運動，以 AG,BG形成的正方形 AGP

8、Q和正方形BEFG， 當(dāng)點G運動到何處時， 正方形AGPQ和正方形 BEFG的面積之和最??？ 設(shè)計意圖：強化建模思想，根據(jù)變量和常量之間 的關(guān)系，變量和變量的關(guān)系，建立函數(shù)模型求出 面積的最小值。 12優(yōu)學(xué)課堂 變式訓(xùn)練2 如圖所示， ABC為等邊三角 形，且邊AC=a，點E是AB 邊 上的一個動點，EH AB,HG HE,GF AB，點E,F,G,H形 成矩形，當(dāng)點E運動到何處時， 矩形EFGH面積最大？ 設(shè)計意圖：拓展學(xué)生思維，幾何圖形面 積有最小值也會有最大值的情況。綜合 運用等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的 判定、勾股定理確定面積和哪些變量有 關(guān)，從而建立函數(shù)模型。 13優(yōu)學(xué)課堂 四、四

9、、評價分析評價分析-教法總結(jié)和教法總結(jié)和教學(xué)教學(xué) 反思反思 教法總結(jié)：針對學(xué)生思維活躍，觀察能力強， 抽象邏輯思維水平處于中等水平的特點，我在 本題教學(xué)中采取自主探索式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從 求想起，按照猜想探索驗證-總結(jié)的線索 突破難點，培養(yǎng)學(xué)生分析題干，思考各個變量 之間的關(guān)系，從而建立函數(shù)模型解決問題。 14優(yōu)學(xué)課堂 1.本題研究幾何圖形最值本題研究幾何圖形最值-建立函數(shù)模型進行建立函數(shù)模型進行 問題解決。從學(xué)生的作業(yè)情況來看，有些直接問題解決。從學(xué)生的作業(yè)情況來看，有些直接 回答問題不進行闡述，有些不懂找常量和變量，回答問題不進行闡述，有些不懂找常量和變量， 無法建立函數(shù)模型。今后教學(xué)中要針對動點問無法建立函數(shù)模型。今后教學(xué)中要針對動點問 題和函數(shù)模型問題強化訓(xùn)練。題和函數(shù)模型問題強化訓(xùn)練。 2.建立函數(shù)模型是解決幾何圖形面積最值建立函數(shù)模型是解決幾何圖形面積最值 的有效方法，在教學(xué)中我突出對數(shù)形結(jié)合，化的有效方法，在教學(xué)中我突出對數(shù)形結(jié)合，化 歸思想，類比思想的滲透，它也與高中最優(yōu)方歸思想，類比思想的滲透，它也與高中最