上升時(shí)間與帶寬的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其應(yīng)用

1、如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!上升時(shí)間與帶寬的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其應(yīng)用 2010-5-21 11:48:00 【文章字體：大中小】 推薦 收藏 打印 簡(jiǎn)單、實(shí)用的數(shù)學(xué)模型使我們把信號(hào)的上升時(shí)間與測(cè)量?jī)x器可達(dá)到的帶寬聯(lián)系了起來(lái)。MEKONEN BUZUAYENEAnritsu CorporationMorgan Hills, California, USA 測(cè)量?jī)x器中，如示波器和頻譜分析儀，可以用適當(dāng)?shù)姆等ザ攘孔畲蟮纳仙龝r(shí)間，其精確度直接與儀器的3dB帶寬(B)相關(guān)。 上升時(shí)間通常定義為信號(hào)幅值從最大穩(wěn)態(tài)值的10%變化到90%對(duì)應(yīng)的時(shí)間（見(jiàn)圖1），但是，帶寬描述的頻率范圍也覆蓋了一個(gè)信號(hào)所

2、含能量的大部分，假定一個(gè)單極高通頻率響應(yīng)表示為圖2的情況，帶寬亦定義為信號(hào)的頻率響應(yīng)衰減3dB以?xún)?nèi)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍。圖1. 脈沖輸入下的時(shí)域響應(yīng) 圖2. 脈沖輸入下的頻域響應(yīng) 工程環(huán)境中，常聽(tīng)到人們根據(jù)他們使用的儀器，而交替地使用這兩種定義術(shù)語(yǔ)（上升時(shí)間和帶寬）。二者的關(guān)系通常包含在大多數(shù)示波器目錄1和技術(shù)討論手冊(cè)2中，它們基于如下方程去描述：2 / 7如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!(MHz) (1) 最頻繁的問(wèn)題是：準(zhǔn)確地說(shuō)，方程式中的時(shí)域（上升時(shí)間）和頻域（帶寬）部分是什么？或者，就方程而論，常數(shù)0.35的根據(jù)是什么？或精確地分析，這個(gè)表達(dá)式是如何推導(dǎo)出來(lái)的？這個(gè)關(guān)系式是如何提

3、出來(lái)的？ 以一個(gè)電氣無(wú)源濾波器為例進(jìn)行討論，是理解方程(1)來(lái)源的最佳途徑，它提供了準(zhǔn)確的解析值。其他分析方法可用來(lái)替代這一分析，如高斯分布或傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，但它們分別引起了2.9%和8.6%的分析誤差。為了檢查這個(gè)關(guān)系式，我們使用一個(gè)簡(jiǎn)單的一階系統(tǒng)，它可以是一個(gè)低通的、高通的，或者帶通的濾波器。其拓?fù)洳恍枰魏翁貏e的結(jié)構(gòu)，它可以是并聯(lián)的或串聯(lián)的，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以是任何形式的，如R-C，R-L，或R-L-C形式。為證明關(guān)于 的方程式(1) 的正確性，考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的R-C電路原理圖，如圖3所示，并在時(shí)間和頻率兩個(gè)不同的域中考慮。電路分析 使用線性電路分析基本法則和基氏定律的概念，我們要用網(wǎng)孔和節(jié)

4、點(diǎn)程序來(lái)觀察圖3和圖4的時(shí)域和頻域的特性。時(shí)域分析 為了著手這一分析，現(xiàn)在分別寫(xiě)出上述拓?fù)涞妮敵龇匠蹋?2)通過(guò)解這個(gè)一階微分方程，我們獲得：? (3) 假定輸入電壓具有單位階躍函數(shù)形式，我們可以容易地通過(guò)對(duì)t求解來(lái)確定響應(yīng)的速度。對(duì)t求解，并將RC以電路時(shí)間常數(shù) 替換，我們得到：? (4)(5)2 / 7如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!(6)(7) 鑒于(7)式在使用上的無(wú)約束性，我們現(xiàn)在可以計(jì)算時(shí)間響應(yīng)曲線的特定瞬時(shí)點(diǎn)。廣泛使用的測(cè)量點(diǎn)是振蕩曲線自10% 至 90%的幅值：(8)以及 (9)下一步是將(9)減去(8)來(lái)解出上升時(shí)間(tr)：(10) 建立了由 決定的上升時(shí)間表達(dá)式

5、后(其中也具有頻率成分)，我們來(lái)嘗試從頻域的視角做一種分析。頻域分析 應(yīng)用電壓分壓方法，方程變?yōu)椋?， 這里 (11)我們?cè)倏紤]輸出的功率：(12) 然后，我們來(lái)考慮“半功率”頻率，它通常指(-3分貝)帶寬處的頻率。正如這個(gè)術(shù)語(yǔ)的含義所指，輸入信號(hào)的一半功率被濾波器的無(wú)功電抗元件所吸收，另一半則傳遞到輸出。， 其中 (13)(14)將(12)式的代入，我們得到：?3 / 7如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!? ? (15)另一方面，當(dāng)我們用(11)替代 時(shí)，結(jié)果是：? (16)在所有同類(lèi)項(xiàng)都消去后，這個(gè)方程簡(jiǎn)化成較簡(jiǎn)單的式子 。然而我們知道 ，且對(duì) 求解，得到注意到由于相位與這一分析中

6、沒(méi)有關(guān)聯(lián)，取絕對(duì)值后，上式與虛部(j)無(wú)關(guān)。這里f是帶寬的-3分貝處剪切頻率或稱(chēng)B (Hz)，而RC是時(shí)間常數(shù) 。進(jìn)一步推導(dǎo)又得到：， 或 (17)回到最終的時(shí)域方程式(10)，將(17)式替代 ，我們就獲得了最終尋求的 公式：(18) 另一可選擇的求證途徑是，上述分析可容易地通過(guò)直覺(jué)觀察得到：使用半功率帶寬(BW)或剪切頻率(f -3分貝)，作為前面提及的一個(gè)具有阻抗 的濾波器，在輸出功率為輸入功率的50%時(shí)的工作頻率。由于 ，我們可以說(shuō)在f-3分貝下 ，所以R = 1/2f-3分貝C。這一結(jié)果就使我們直接導(dǎo)出了2f-3分貝 = 1/RC。 因此，鑒于 定義為RC時(shí)間常數(shù)，它又讓我們直接推導(dǎo)

7、出了2f-3分貝 = 1/，（以及2BW = 1/），這就是方程(17)。這個(gè)結(jié)果依次地使我們直接從方程(10)得到了方程(18)。4 / 7如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!圖3. R-C時(shí)域電路原理圖圖4. R-C頻域電路原理圖示例 我們說(shuō)一個(gè)要分析的信號(hào)具有10納秒的上升時(shí)間。問(wèn)題為：一個(gè)示波器的最小帶寬，或一個(gè)頻譜分析儀的最低清晰度帶寬(RBW)是多少？代入數(shù)據(jù)到方程(18)，得到：B = 1035.0 納秒 = 35 MHz 這個(gè)結(jié)果意味著：如果示波器的帶寬，或者頻譜分析儀的RBW是35 MHz，則儀器屏幕上能顯示的最快信號(hào)上升時(shí)間（顯示的幅值上無(wú)顯著的衰減），將不低于10納

8、秒。 同樣，如果希望相當(dāng)準(zhǔn)確地測(cè)量一個(gè)具有1納秒上升時(shí)間的信號(hào)，示波器或頻譜分析儀則需要具有至少350 MHz 的-3-分貝帶寬 (或 RBW)。結(jié)論 提出了系統(tǒng)的分析方法，來(lái)理解將信號(hào)上升時(shí)間與系統(tǒng)-3-分貝帶寬相聯(lián)系的基本方程式，這一方法中，采用時(shí)域和頻域兩種方法，以一個(gè)簡(jiǎn)單的集總元件濾波器電路進(jìn)行分析。 這個(gè)簡(jiǎn)單但實(shí)用的數(shù)學(xué)模型，讓我們將信號(hào)上升時(shí)間與測(cè)量?jī)x器可達(dá)到的帶寬聯(lián)系了起來(lái)。由于兩個(gè)變量的互惠性，可知測(cè)量?jī)x器的帶寬越寬，其響應(yīng)時(shí)間就越快。 這一結(jié)果的進(jìn)一步含義是，測(cè)量系統(tǒng)要以一個(gè)相當(dāng)準(zhǔn)確的圖形顯示脈沖信號(hào)時(shí)，其-3-分貝帶寬(B)或RBW應(yīng)設(shè)置成方程(1)的最小值。參考文獻(xiàn)1. Hewlett Packard Company, Test & Measurement Catalog 1999, printed in the U.S.A. December, 1998, pp. 111.2. Fluke Corporation., ABCs of Oscilloscopes, printed in the Netherlands 94-36, pp. 8 and 35.Mekonen Buzuaye