【教案】高中數(shù)學(xué)（人教A版2019）選擇性必修第二冊(cè)第四章4.2.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（1）-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課程基本信息課題等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式教科書(shū)書(shū)名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè) 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年5月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘15分鐘5分鐘復(fù)習(xí)引入新課講解公式推導(dǎo)應(yīng)用新知 解決問(wèn)題問(wèn)題1 回顧等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式.（1）等比數(shù)列的定義： （2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：同學(xué)們聽(tīng)說(shuō)過(guò)國(guó)際象棋吧？見(jiàn)過(guò)國(guó)際象棋的棋盤(pán)嗎？問(wèn)題2 國(guó)際象棋起源于古印度。相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)

2、明者，問(wèn)他想要什么.發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第個(gè)格子里放上顆麥粒，第個(gè)格子里放上顆麥粒，第個(gè)格子里放上 顆麥粒依次類(lèi)推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的倍，直到第個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為，據(jù)查，年度世界小麥產(chǎn)量約為億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國(guó)王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.追問(wèn)1：國(guó)王一共應(yīng)該給他多少顆麥粒？.追問(wèn)2：如何計(jì)算？讓我們分析一下.如果把各格所放的麥粒數(shù)看成一個(gè)數(shù)列，我們可以得到一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是，公比是，求第個(gè)格子到第個(gè)格子各格所放的麥粒數(shù)總和就是求這個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和.我們要計(jì)算這個(gè)式子，不借

3、助計(jì)算器，需要花大量的時(shí)間.于是我們自然而然的想到能否借用等比數(shù)列的求和公式.追問(wèn)3： 如何求一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)的和呢？追問(wèn)4：等差數(shù)列有求和公式，那么你能否類(lèi)比等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的求法推導(dǎo)出等比數(shù)列的前項(xiàng)和？回顧：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過(guò)程.等差數(shù)列的前項(xiàng)和是.根據(jù)等差數(shù)列的定義.將上述兩式相加，得.所以.我們用倒序相加的方法推導(dǎo)出了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式. 于是我們就可以用等差數(shù)列的首項(xiàng)和第項(xiàng)表示前項(xiàng)和.本質(zhì)上是根據(jù)等差數(shù)列的定義：，從公差為這一特性出發(fā)，抓住倒序后兩式中上下對(duì)應(yīng)的和均為這一特點(diǎn)，構(gòu)造相同項(xiàng)，消除項(xiàng)與項(xiàng)之間的差異，進(jìn)而化繁為簡(jiǎn)，推出公式.追問(wèn)5：對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用倒序

4、相加的方法進(jìn)行求和呢？可否用等比數(shù)列的首項(xiàng)和第項(xiàng)表示等比數(shù)列前項(xiàng)和？.因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，所以.嘗試過(guò)后發(fā)現(xiàn)行不通，因此等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式不能用倒序相加法推導(dǎo).反思：對(duì)于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本質(zhì)，即求和的根本目的.追問(wèn)6：求和的根本目的是什么？ 我們透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，如何在等比數(shù)列前項(xiàng)和中構(gòu)造相同項(xiàng)，消除項(xiàng)與項(xiàng)之間的差異，消除中間項(xiàng)，從而化繁為簡(jiǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.等差數(shù)列求和是根據(jù)定義，由公差切入.自然，等比數(shù)列求和也應(yīng)根據(jù)定義，聯(lián)系公比來(lái)探究.改進(jìn)：為了看清式子的特點(diǎn)，我們不妨把各項(xiàng)都用首項(xiàng)和公比來(lái)表示.即.追問(wèn)7：觀察式，相鄰兩項(xiàng)有什么特征？怎樣把某一項(xiàng)變

5、成它的后一項(xiàng)？關(guān)注等比數(shù)列的定義 ，如果對(duì)其稍加變形，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，即等比數(shù)列中的每一項(xiàng)乘以都等于其后一項(xiàng).因此，我們類(lèi)比等差數(shù)列求和方法，需要構(gòu)造另一個(gè)式子，而要達(dá)到消出中間項(xiàng)的目的，就須使兩式具有最多相同的項(xiàng).追問(wèn)8：如何構(gòu)造另一個(gè)式子，與原式相減后可以消除中間項(xiàng)？想要消除中間項(xiàng)，即需要構(gòu)造觀察發(fā)現(xiàn)，這個(gè)式子的每一項(xiàng)都是在原式基礎(chǔ)上乘以.于是將式的兩邊都乘，由此構(gòu)造相同項(xiàng)，得到式，再將兩個(gè)式子相減.具體推導(dǎo)過(guò)程如下：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則的前項(xiàng)和是.根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，上式可寫(xiě)成. 我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比乘的兩邊，可得. 兩式的右邊有很多相同的項(xiàng)，用的兩邊分別減去的兩邊，就可以消去這

6、些相同的項(xiàng)，可得，即.追問(wèn)9：要求出，是否可以把上式兩邊同時(shí)除以？當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.注意：因?yàn)?，所以公式?）還可以寫(xiě)成.（2）思考：什么時(shí)候用公式（1）, 什么時(shí)候用公式（2）?當(dāng)已知時(shí)用公式（1）；當(dāng)已知時(shí)，用公式（2）.方法小結(jié)：（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式： （2）等比數(shù)列求和時(shí)，應(yīng)考慮與兩種情況；等差、等比這兩種數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，從數(shù)學(xué)思想上來(lái)講是一致的，我們需要挖掘其本質(zhì).求和公式的推導(dǎo)過(guò)程其根本目的是消項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列自身的特征利用錯(cuò)位相減法得到等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.問(wèn)題2的解決：有了上述公式，就可以解決本小節(jié)開(kāi)頭提出的問(wèn)題了.由，可得.這個(gè)數(shù)很大，超過(guò)了.如果

7、一千顆麥粒的質(zhì)量約為，那么以上這些麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了億噸，約是年度世界小麥產(chǎn)量的倍.因此，國(guó)王根本不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言.問(wèn)題3 已知數(shù)列是等比數(shù)列.（1）若，求；要求等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，可以通過(guò)求和公式或.第一個(gè)公式需要知道，第二個(gè)公式需要知道，根據(jù)題意我們選擇第一個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算.因?yàn)?，所?（2）若，求；要求等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，可以通過(guò)，或者，根據(jù)題意我們知道了，因此可以先求出公比，從而在通過(guò)等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.由，可得，.又由，得.所以.追問(wèn)1：能否直接用公式（2）求？可以，但需要先求出公比和.（3）若，求.等比數(shù)列求和公式有兩種，或.每個(gè)公式所需要得基本量各不相同，本題中給出了的值，因此可以通過(guò)公式，聯(lián)系方程思想求出的值.把代入，得.整理，得.解得.追問(wèn)2：對(duì)于等比數(shù)列的相關(guān)量，已知幾個(gè)量就可以確定其他量？等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合前項(xiàng)和公式涉及五個(gè)量，五個(gè)量“知三求二”（方程思想）.課堂小結(jié)：1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式： 2.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法.3.數(shù)學(xué)思想：有了