20102013北約自主招生數(shù)學(xué)筆試試題及答案(精校版+完整版)

1、2010年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題1（僅文科做），求證：2為邊長(zhǎng)為的正五邊形邊上的點(diǎn)證明：最長(zhǎng)為（25分）3為上在軸兩側(cè)的點(diǎn)，求過(guò)的切線(xiàn)與軸圍成面積的最小值（25分）4向量與已知夾角，在時(shí)取得最小值，問(wèn)當(dāng)時(shí)，夾角的取值范圍（25分）5（僅理科做）存不存在，使得為等差數(shù)列（25分）2011北約自主招生數(shù)學(xué)試題1、已知平行四邊形的其中兩條邊長(zhǎng)分別是3和5，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是6，求另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)。2求過(guò)拋物線(xiàn)2，交點(diǎn)的直線(xiàn)方程。3、等差數(shù)列滿(mǎn)足=，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列中哪一項(xiàng)最小，并求出這個(gè)最小值。4、ABC的三邊a,b,c滿(mǎn)足a+b2c，A,B,C為ABC的內(nèi)角，求證：C。 5、是否存在四個(gè)正

2、實(shí)數(shù)，它們的兩兩乘積分別是2,3,5,6,10,16？6、和是平面上兩個(gè)不重合的固定圓，C是該平面上的一個(gè)動(dòng)圓，C和都相切，則C的圓心的軌跡是何種曲線(xiàn)？說(shuō)明理由。7、求f(x)=的最小值。 2012年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題1、求的取值范圍使得是增函數(shù)；2、求的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；3、已知的4個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求；4、如果銳角的外接圓的圓心為，求到三角形三邊的距離之比；5、已知點(diǎn)，若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值。6、在中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？7、求使得在有唯一解的；8、求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角都相等，則它為正五邊形；9、求證：對(duì)于任意的正整數(shù)，必可

3、表示成的形式，其中2013年北約自主招生數(shù)學(xué)試題1以和為兩根的有理系數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)最小是多少？A2 B3 C5 D6 2在的棋盤(pán)中停放著3個(gè)紅色車(chē)和3個(gè)黑色車(chē)，每一行、每一列都只有一個(gè)車(chē)，共有多少種停放方法？3已知，求的值E4如圖，ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，DM、DN分別為ADB、ADC的角平分線(xiàn)，試比較BMCN與MN的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由5設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，前項(xiàng)和為，求6模長(zhǎng)為的復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，求7最多有多少個(gè)兩兩不等的正整數(shù)，滿(mǎn)足其中任意三數(shù)之和都為素?cái)?shù)8已知，為2013個(gè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，且，求證9對(duì)于任意的，求的值10已知有個(gè)實(shí)數(shù)，排列成階數(shù)陣，記作使得數(shù)陣的每一行從左到右都是遞增的，即對(duì)任意的，

4、當(dāng)時(shí)，有；現(xiàn)將的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個(gè)新的階數(shù)陣，記作，即對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有，試判斷中每一行的各數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明2010年“北約”自主招生數(shù)學(xué)解析1（僅文科做），求證：【解析】 不妨設(shè)，則，且當(dāng)時(shí)，于是在上單調(diào)增即有同理可證，當(dāng)時(shí)，于是在上單調(diào)增。在上有。即。注記：也可用三角函數(shù)線(xiàn)的方法求解2為邊長(zhǎng)為的正五邊形邊上的點(diǎn)證明：最長(zhǎng)為（25分）【解析】 以正五邊形一條邊上的中點(diǎn)為原點(diǎn)，此邊所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中有一點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，知另一點(diǎn)位于或者時(shí)有最大值為；當(dāng)有一點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)均不在軸上時(shí)，知必在軸的異側(cè)方可能取到最大值（否則取點(diǎn)關(guān)于

5、軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，有）不妨設(shè)位于線(xiàn)段上（由正五邊形的中心對(duì)稱(chēng)性，知這樣的假設(shè)是合理的），則使最大的點(diǎn)必位于線(xiàn)段上且當(dāng)從向移動(dòng)時(shí)，先減小后增大，于是；對(duì)于線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，都有于是由，知不妨設(shè)為下面研究正五邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)如右圖做的角平分線(xiàn)交于易知于是四邊形為平行四邊形由角平分線(xiàn)定理知解得3為上在軸兩側(cè)的點(diǎn)，求過(guò)的切線(xiàn)與軸圍成面積的最小值（25分）【解析】 不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)如圖設(shè)，且有由于，于是的方程為；的方程為 聯(lián)立的方程，解得對(duì)于，令，得；對(duì)于，令，得于是不妨設(shè)，則 不妨設(shè)，則有 6個(gè) 9個(gè) 又由當(dāng)時(shí)，處的等號(hào)均可取到注記：不妨設(shè)，事實(shí)上，其最小值也可用

6、導(dǎo)函數(shù)的方法求解由知當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)則在上單調(diào)減，在上單調(diào)增于是當(dāng)時(shí)取得最小值4向量與已知夾角，在時(shí)取得最小值，問(wèn)當(dāng)時(shí)，夾角的取值范圍（25分）【解析】 不妨設(shè)，夾角為，則，令其對(duì)稱(chēng)軸為而在上單調(diào)增，故當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增，于是不合題意于是夾角的范圍為5（僅理科做）存不存在，使得為等差數(shù)列（25分）【解析】 不存在；否則有，則或者若，有而此時(shí)不成等差數(shù)列；若，有解得有而，矛盾！2011北約自主招生數(shù)學(xué)試題解析1、已知平行四邊形的其中兩條邊長(zhǎng)分別是3和5，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是6，求另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)。解：由對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四邊的平方和：所以36+=2(9+25)，=32，x=4。2求過(guò)拋物線(xiàn)2，交點(diǎn)的

7、直線(xiàn)方程。解：，7y=6x+1，6x+7y1=0為所求。3、等差數(shù)列滿(mǎn)足=，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列中哪一項(xiàng)最小，并求出這個(gè)最小值。解：d=，當(dāng)n=，即n=6時(shí)最小，最小為。4、ABC的三邊a,b,c滿(mǎn)足a+b2c，A,B,C為ABC的內(nèi)角，求證：C。解：ab，cosC=，所以C。 5、是否存在四個(gè)正實(shí)數(shù)，它們的兩兩乘積分別是2,3,5,6,10,16？解：設(shè)存在四個(gè)正實(shí)數(shù)分別為abcd，依題意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，=1，b=2，c=3，d=5，而cd=1516，故不存在。或解：abcd=32，而，不滿(mǎn)足，故不存在。6、和是平面上兩個(gè)不重合的固定圓

8、，C是該平面上的一個(gè)動(dòng)圓，C和都相切，則C的圓心的軌跡是何種曲線(xiàn)？說(shuō)明理由。解：設(shè)兩定圓的半徑分別為，動(dòng)圓C的半徑為R。當(dāng)相交時(shí)a).C與它兩都外切，軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)去掉兩圓的公共弦；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；c).C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，|=R，|=+R，|+|=，軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓。時(shí)a).C與它兩都外切，軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)去掉兩圓的切點(diǎn)；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；c).C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，軌跡是直線(xiàn)，去掉和兩圓的切點(diǎn)。相離時(shí)a).C與它兩都外切，軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；c).

9、C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，|=|+，|=，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)。當(dāng)，不妨設(shè)相交時(shí)a).C與它兩都外切，|=|，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)中(對(duì)應(yīng)焦點(diǎn))的一支，去掉兩圓公共區(qū)域的部分；b).C與它兩都內(nèi)切，|=|，或|=|軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)中(對(duì)應(yīng)焦點(diǎn))的一支； c).C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，|=|，軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓。 時(shí)a).C與它兩都外切，|=|，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)中(對(duì)應(yīng)焦點(diǎn))的一支，去掉兩圓的切點(diǎn)；b).C與它兩都內(nèi)切|=|，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)中(對(duì)應(yīng)焦點(diǎn))的一支；c).C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，|=|，軌跡是直線(xiàn)，去掉和兩圓切點(diǎn)。相離時(shí)a).C與它兩都外切，

10、|=|，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)中(對(duì)應(yīng)焦點(diǎn))的一支；b).C與它兩都內(nèi)切，|=|，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)中(對(duì)應(yīng)焦點(diǎn))的一支；c).C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，|=|，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)。內(nèi)切時(shí)a).C與它兩都外切，軌跡是射線(xiàn)在兩圓切點(diǎn)以外部分；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是以?xún)蓤A切點(diǎn)為端點(diǎn)，方向是，去掉和兩圓切點(diǎn)的射線(xiàn)。c).C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，去掉兩圓的切點(diǎn)。內(nèi)含時(shí)a).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓；b).C與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓。7、求f(x)=的最小值。 解：f(x)=|+|+|+|+|+|+|，一共有1+2+320

11、11=10062011個(gè)絕對(duì)值，則是偶數(shù)個(gè)，故中間第5032011個(gè)和第5032011+1個(gè)之間取得最小值；設(shè)第5032011個(gè)絕對(duì)值是|，1+2+3，n(n+1)10062011=2023066，14221423=2023506，取n=1421。第5032011個(gè)和第5032011+1個(gè)絕對(duì)值是|，|+|+|+|=(|+|21422|+|31422|+|20111422|)=(1421+1420+1419+1+0+1+2+3+589)=()=(1010331+173755)=。920431+173755+17171717171717171717171717171717171717171717

12、171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717172012年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題解析2013年北約自主招生數(shù)學(xué)試題解析1 解析 顯然為滿(mǎn)足要求的多項(xiàng)式，其次數(shù)為5若存在次有理系數(shù)多項(xiàng)式以和為兩根，則必含有因式，即最小次數(shù)為5故選C2解析 先排3個(gè)紅色車(chē)，從6行中任取3行，有種取法；

13、在選定的3行中第一行有6種停法，第一行選定后第二行有5種停法，第二行選定后第三行有4種停法；紅車(chē)放定后，黑車(chē)只有6種停法故停放方法共種故選D3解析 ，又由，有或當(dāng)時(shí)，有，； 當(dāng)時(shí)，E4如圖，ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，DM、DN分別為ADB、ADC的角平分線(xiàn)，試比較BMCN與MN的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由解析 延長(zhǎng)ND至E，使NDED，連結(jié)BE、ME，則BEDCND，MEDMND，MEMN，由BMBEEM，得BMCNMN5解析 ，；由 ，有時(shí)，于是，特征方程有重根2，可設(shè)，將，代入上式，得，于是，6解析 取，便能得到1下面給出證明，于是 17解析 設(shè)滿(mǎn)足條件的正整數(shù)為個(gè)考慮模3的同余類(lèi)，共三類(lèi)，記為， 則這個(gè)正整數(shù)需同時(shí)滿(mǎn)足不能三類(lèi)都有；同一類(lèi)中不能有3個(gè)和超過(guò)3個(gè)否則都會(huì)出現(xiàn)三數(shù)之和為3的倍數(shù)故 當(dāng)時(shí)，取1，3，7，9，其任意三數(shù)之和為11，13，17，19均為素?cái)?shù)，滿(mǎn)足題意， 所