藍田01班+劉瑛+數(shù)學(xué)直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角和斜率 西安市田家炳中學(xué)西安市田家炳中學(xué) 劉劉 瑛瑛 直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角和斜率 現(xiàn)實世界中，到處都有美妙的曲線，比如美麗的拱橋，行星現(xiàn)實世界中，到處都有美妙的曲線，比如美麗的拱橋，行星 的運動軌跡，等等。那么如何從數(shù)學(xué)角度深入研究這些曲線呢？的運動軌跡，等等。那么如何從數(shù)學(xué)角度深入研究這些曲線呢？ 這就需要量的刻畫，在數(shù)學(xué)史中，法國大數(shù)學(xué)家笛卡爾對這個問這就需要量的刻畫，在數(shù)學(xué)史中，法國大數(shù)學(xué)家笛卡爾對這個問 題進行了思考，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。解析幾何是用代數(shù)方法研究題進行了思考，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。解析幾何是用代數(shù)方法研究 幾何問題的數(shù)學(xué)工具，溝通了數(shù)學(xué)

2、中的數(shù)與形，代數(shù)與幾何等基幾何問題的數(shù)學(xué)工具，溝通了數(shù)學(xué)中的數(shù)與形，代數(shù)與幾何等基 本對象之間的聯(lián)系。它的創(chuàng)立具有劃時代的意義，標(biāo)志著近代數(shù)本對象之間的聯(lián)系。它的創(chuàng)立具有劃時代的意義，標(biāo)志著近代數(shù) 學(xué)的開始。今天我們就一起進入這個新領(lǐng)域，用代數(shù)的方法解決學(xué)的開始。今天我們就一起進入這個新領(lǐng)域，用代數(shù)的方法解決 幾何問題。直線是最基本的幾何圖形，今天我們就從研究直線開幾何問題。直線是最基本的幾何圖形，今天我們就從研究直線開 始。始。 一、在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素是一、在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素是： 已知直線上的一個點和這條直線的方向。已知直線上的一個點和這條直線

3、的方向。 問題：問題：斜拉橋的拉索可以看成是方斜拉橋的拉索可以看成是方 向不同的一些直線，實際上向不同的一些直線，實際上 相對于橋面而言，就是傾斜相對于橋面而言，就是傾斜 程度不同，那么我們?nèi)绾蝸沓潭炔煌敲次覀內(nèi)绾蝸?刻畫直線的傾斜程度呢？刻畫直線的傾斜程度呢？ 二、直線的傾斜角二、直線的傾斜角 （1）在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與）在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線軸相交的直線 a a ， 把把x軸（正方向）按軸（正方向）按逆時針方向逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直 線線a a 重合所成的角，叫做直線重合所成的角，叫做直線 a a 的傾斜角；的傾斜角； （2）當(dāng)直

4、線和）當(dāng)直線和x軸平行或重合時，傾斜角為軸平行或重合時，傾斜角為0； 通常傾斜角用通常傾斜角用表示，其取值范圍是：表示，其取值范圍是：0 0 180。 傾斜角刻畫了直線的傾斜程度。傾斜角刻畫了直線的傾斜程度。 a b c d x y o x y o 大家觀察直線大家觀察直線a和和b，很明顯能判斷出他們的傾斜程度是不同的。，很明顯能判斷出他們的傾斜程度是不同的。 對于直線對于直線c和和d，能準(zhǔn)確判斷嗎？，能準(zhǔn)確判斷嗎？ 0.01km 1km 0.01km 1km 坡度刻畫道路的坡度刻畫道路的“傾斜程度傾斜程度”： 坡度坡度=坡面的鉛直高度和水平長度的比坡面的鉛直高度和水平長度的比 過原點，傾斜角

5、為過原點，傾斜角為的直線的斜率的直線的斜率 （1）090的直線的斜率的直線的斜率 x y o A(1,0) P(1,k) 圖1 圖圖1中，直線上的點中，直線上的點O(0,0)，P(1,k), 當(dāng)橫坐標(biāo)當(dāng)橫坐標(biāo)x從從 0 到到 1 增加一個單位時，縱增加一個單位時，縱 坐標(biāo)坐標(biāo)y從從 0 到到 k 增加了增加了 k （k 0），我們），我們 稱稱k為這條直線的斜率。為這條直線的斜率。 x y o Q(1,0) P(1,k) A C B 在圖在圖2中，由于中，由于OPQOPQ與與ABCABC相似，相似， 所以所以BC:AC=PQ:OQ=k,BC:AC=PQ:OQ=k,也就是說也就是說 k k值等值

6、等 于于y y的改變量與的改變量與x x的改變量之比的改變量之比。 傾斜角不同，斜率也不同。傾斜角不同，斜率也不同。 三三 直線的斜率直線的斜率 圖2 x y o A(1,0) B(1,1/3) C(1,4/5) D(1,3/2) b c d 練習(xí)：說出圖練習(xí)：說出圖3中直線中直線b,c,d的斜率。的斜率。 直線直線b的斜率：的斜率：1/3 直線直線c的斜率：的斜率：4/5 直線直線d的斜率：的斜率：3/2 (2) 90180的直線的斜率的直線的斜率 x y o A(1,0) P(1,-k) 圖3 圖4 在圖在圖4中，直線上的點中，直線上的點O（0,0), P(1,-k),當(dāng)橫坐標(biāo)當(dāng)橫坐標(biāo)x從

7、從0到到1增加增加 一個單位時，縱坐標(biāo)一個單位時，縱坐標(biāo)y從從0到到-k 減少了減少了k（k0), 我們稱我們稱-k是這是這 條直線的斜率。條直線的斜率。 練習(xí)：說出圖中直線的斜率練習(xí)：說出圖中直線的斜率 x y o A(1,0) B(1,-1/3) C(1,-1) D(1,-2) b c d 直線直線b的斜率：的斜率：-1/3 直線直線c的斜率：的斜率：-1 直線直線d的斜率：的斜率：-2 思考交流：思考交流：傾斜角傾斜角的變化對斜率的變化對斜率k的影響的影響。 (1) =0時，時，k=0 (2) 090時，時，k0,且且越大，越大，k越大。越大。 （3）=90時，時，k不存在。不存在。 （

8、4）90180時，時，k0,且且越大，越大，k k越大。越大。 四四 過兩點的直線斜率計算公式過兩點的直線斜率計算公式 x y o a A(1,0) P(1,k) P1(x1,y1) P2(x2,y2) x x y y B x=xx=x2 2-x-x1 1， ， y=yy=y2 2-y-y1 1 由相似三角形可得：由相似三角形可得： k =y / /x=(x=(y2-y1)/(x2-x1) 其中其中x1x2 說明：說明： （1）直線上的兩點是任意取的，斜率公式與他們的位置無關(guān)。）直線上的兩點是任意取的，斜率公式與他們的位置無關(guān)。 （2）公式的分子部分是兩點的縱坐標(biāo)之差，分母部分是相應(yīng)）公式的分

9、子部分是兩點的縱坐標(biāo)之差，分母部分是相應(yīng) 兩點的橫坐標(biāo)之差，順序保持一致。兩點的橫坐標(biāo)之差，順序保持一致。 （3）當(dāng)兩點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)不同時，斜率為）當(dāng)兩點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)不同時，斜率為0；當(dāng)橫坐；當(dāng)橫坐 標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同時，斜率不存在，傾斜角為標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同時，斜率不存在，傾斜角為90。 練習(xí)：練習(xí)：1.分別求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率分別求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率 (1) ( 2, 3), (6, 5) (2) (-3,5), ( 4,-2 ) (3) (-2,3), ( 2, 1 ) (4) (-5,-5), (-2,-2) (5) (-3,-1),(2,-1) (6) (

10、6,-9), (6,13) 2.請快速說出下列直線的斜率請快速說出下列直線的斜率 x y o 5 3 x y o 3 7 K=1/2 K=1 K=1/2 K=0 K=1 K不存在不存在 K=3/5 K=3/7 小結(jié)：小結(jié)： 1. 直線確定的幾何要素：一個點和一個方向。直線確定的幾何要素：一個點和一個方向。 2. 直線的傾斜角：直線的傾斜角： 直線與直線與x軸相交時，將軸相交時，將x軸（正方向）按逆時針方向繞著交點軸（正方向）按逆時針方向繞著交點 旋轉(zhuǎn)到與直線重合所成的角，即直線與旋轉(zhuǎn)到與直線重合所成的角，即直線與x軸正方向的夾角。軸正方向的夾角。 直線與直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為軸平行

11、或重合時，其傾斜角為0。 3. 直線的斜率直線的斜率:k等于縱坐標(biāo)的改變量與相應(yīng)的橫坐標(biāo)的改變量等于縱坐標(biāo)的改變量與相應(yīng)的橫坐標(biāo)的改變量 之比。斜率是利用坐標(biāo)刻畫傾斜角的結(jié)果，它們都能反映直線的之比。斜率是利用坐標(biāo)刻畫傾斜角的結(jié)果，它們都能反映直線的 傾斜程度。傾斜程度。 4.平面內(nèi)的每一條直線都有唯一的傾斜角與之對應(yīng)，即直線都有平面內(nèi)的每一條直線都有唯一的傾斜角與之對應(yīng)，即直線都有 傾斜角，但未必都有斜率。傾斜角，但未必都有斜率。 5過兩點的直線斜率的計算公式：過兩點的直線斜率的計算公式： k = ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) = ( y1 - y2) / ( x1 - x2 ) (x1x2) 作業(yè)：作業(yè)：P82 A 1,2,3,4 嘗試活動：小魔術(shù)嘗試活動