2020屆高三數學備考沖刺140分問題46數學文化(含解析)

1、問題46數學文化、考情分析2016年10月8號,教育部考試中心公布了2016第179號文件關于 2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知，對數學增加了數學文化的要求這一文件的公布，是從考試命題的角度第一次非常正式地明確要求要把數學文化滲透入數學試題,故從2017年開始每年全國卷中都有與數學文化有關的試題三、知識拓展1.中國古代著名數學著作（1）張丘建算經張丘建算經共有三卷，約成書于公元466485年間.張丘建，北魏時清河（今山東臨清一帶）人，生平不詳. 其中，最小公倍數的應用、等差數列各元素互求以及“百雞術”等是其主要成就“百雞術”是世界著名的不定方程問題（2）四元玉鑒作者朱世杰（1300前后

2、），字漢卿，號松庭，寓居燕山數學代表作有算學啟蒙（1299）和四元玉鑒（1303）.算學啟蒙是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發(fā)展 四元玉鑒則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創(chuàng)作有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）（3）黃帝九章算經細草作者賈憲，北宋人，約于1050年左右完成黃帝九章算經細草，原書佚失，但其主要內容被楊輝（約 13世紀中）著作所抄錄，因能傳世楊輝詳解九章算法（1261）載有“開方作法本源”圖，注明“賈憲 用此術”，這就是著名的“賈憲三角”，或稱“楊輝三角” 詳解九章算法同時錄有賈

3、憲進行高次幕 開方的“增乘開方法”.（4）數書九章作者秦九韶（約12021261 ），字道吉，四川安岳人秦九韶與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數學四大家數書九章全書共其最重要的數學成，使這部宋代算經在中他早年在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數學” ，1247年寫成著名的數書九章18卷，81題，分九大類（大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易）就一一“大衍總數術”（一次同余組解法）與“正負開方術”（高次方程數值解法） 世紀世界數學史上占有突出的地位（5）九章算術注，海島算經，九章重差圖 作者劉徽 （約公元 225 年295 年）,漢族,山東鄒平縣人 ,是中國數學史上一個非常偉大的數學

4、家 ,他的杰作 是中國最寶貴的數學遺產 , 重差原為九章算術注的第十卷 ,即后來的海島算經 , 內容是測量目標 物的高和遠的計算方法 . 重差法是測量數學中的重要方法 .九章算術注 中所蘊涵的科學思想可謂極其深邃 . 邏輯思想、 重驗思想、極限思想、求理思想、 創(chuàng)新思想、 對立統(tǒng)一思想和言意思想等均是其科學思想的真實體現.劉徽集各家優(yōu)秀思想方法 , 并加以創(chuàng)新而用于數學研究 ,使以九章算術為代表的中國傳統(tǒng)數學發(fā)生了根本性的變化 , 并上升到了一個新的階段 , 他是遙遙領 先于中國傳統(tǒng)數學領域的杰出代表, 也堪稱是世界數學泰斗 .理論體系： 在數系理論方面 用數的同類與異類闡述了通分、約分、四則

5、運算 , 以及繁分數化簡等的運算法則；在開方術的注釋中 , 他從 開方不盡的意義出發(fā) ,論述了無理方根的存在 ,并引進了新數 , 創(chuàng)造了用十進分數無限逼近無理根的方法 . 在籌式演算理論方面 先給率以比較明確的定義 , 又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎 , 建立了數與式運算的統(tǒng)一的理論 基礎 , 他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程” , 即現代數學中線性方程組的增廣矩陣 . 在勾股理論方面 逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理, 建立了相似勾股形理論 , 發(fā)展了勾股測量術 , 通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析, 形成了中國特色的相似理論 . 在面積與體積

6、理論方面 用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原理 , 并解決了多種幾何形、幾何體的面 積、體積計算問題 . 這些方面的理論價值至今仍閃爍著余輝.二是在繼承的基礎上提出了自己的創(chuàng)見. 這方面主要體現為以下幾項有代表性的創(chuàng)見： 割圓術與圓周率他在九章算術圓田術注中 ，用割圓術證明了圓面積的精確公式 ，并給出了計算圓周率的科學方法 他首 先從圓內接六邊形開始割圓 ,每次邊數倍增,算到192邊形的面積,得到n =157/50=3.14,又算到3072邊形的 面積,得到n =3927/1250=3.1416,稱為“徽率”. 劉徽原理在九章算術陽馬術注中，他在用無限分割的方法解決錐

7、體體積時，提出了關于多面體體積計算的劉徽原理 . “牟合方蓋”說在九章算術開立圓術注中，他指出了球體積公式 V=9D3/16（D為球直徑）的不精確性，并引入了 “牟合方蓋”這一著名的幾何模型“牟合方蓋”是指正方體的兩個軸互相垂直的內切圓柱體的貫交部分 方程新術在九章算術方程術注中，他提出了解線性方程組的新方法 ，運用了比率算法的思想 重差術在白撰 海島算經 中,他提出了重差術，采用了重表、連索和累矩等測高測遠方法 他還運用“類推衍化”的 方法,使重差術由兩次測望，發(fā)展為“三望”、“四望” 而印度在 7世紀，歐洲在1516世紀才開始研究兩 次測望的問題四、題型分析、數列與數學文化【例1】【四川省

8、涼山州 2019屆高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測】我們把 _ -.- 叫“費馬數”（費馬是十七世紀法國數學家）設口， I ,，仙，*表示數列的前 項之和，則“ 叮 成立的最小正整數的值是（）赫詢1：00C.:B.【答案】【分析】由題意可得2忖+ 1_2 2n + z-2，利用裂項相消法可得212，-2 212 -2-，代入選項檢驗即可【解析】-2 瞰 1 2“)2n2匕2-2 2 + 2 - 22?而，.2n +，-22十510256當n=8時，左邊=. |，右邊=.|T，顯然不適合;當n=9時，左邊=10221023顯然適合，故最小正整數的值9 故選：B【點評】裂項相消法是最難把握的求和方法之一

9、，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方 法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：+* 七 ;2)亠打 J沁*;(3)二*1 1 1 1(4)=廳匸 盲-廠一；匸“；此外，需注意裂項之 后相消的過程中容易出現丟項或n(n + l)(n + 2)2 枷斡 + I) (n + l)(n + 2)多項的問題，導致計算結果錯誤【牛刀小試】1.我國古代數學著作九章算術有如下問題：“今有金箠,長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺,重二斤，問次一尺各重幾何？ ”意思是：“現在有一根金箠,一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺,重4斤；在細的一端截下 1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據上題的已知

10、條件，若金箠由粗到細是均勻變化的，中間3尺的重量為A. 6 斤 B. 9 斤 C. 10 斤 D. 12 斤【答案】B【解析】試題分析：此問題是一個等差數列丨：，設首項為_，則-中間一尺的重量為弘-二譏= 二二3斤故選：B.J 2 2二、立體幾何與數學文化【例2】【遼寧省大連市 2019屆高三下學期第一次(3月)雙基測試】我國古代數學名著九章算術中有 如下問題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何”，羨除是一個五面體，其中三個面是梯形，另兩個面是三角形，已知一個羨除的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形 網格的邊長為1,則該羨除的表面中，三個梯形的面積之和為()

11、【答案】CC. 46D. 47【分析】畫出幾何體的直觀圖 ，利用三視圖所給數據，結合梯形的面積公式，分別求解梯形的面積即可【解析】由三視圖可知，該幾何體的直現圖如圖五面體，其中平面;潛I平面條總，mm，底面梯形是等腰梯形，高為3 ,梯形一：的高為4 ,等腰梯形：的高為:1三個梯形的面積之和為故選C.【小試牛刀】15.九章算術是我國古代的數學巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣,高一丈問積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體圖）”，下底面寬侗丈,長胴丈，上棱膽丈，護怦皿曲嚴與平面磁。的距離為 問它的體積是A. 4 立方丈 B. 5 立方丈C.

12、 6立方丈 D. 8 立方丈【答案】B【解析】延長EF、FE分別到H、G,且|FH|=|EG|=1,則該幾何體為直三棱柱,三棱錐F-BCH的體積為乃診鮎篝陽|=扣河）（弓 ,三棱柱的體積為二二二.=-:二二一 所以所求體積為.:.故選B.2三、概率與數學文化【例3】【2019屆廣東省數學模擬試卷（一 ）】古希臘雅典學派算學家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點，具體方法如下：（I ）取線段AB= 2,過點B作AB的垂線,并用圓規(guī)在垂線上截取BC= AB連接AC;（2）以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點D;（3）以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交 AB于點

13、E.則點E即為線段AB的黃金分割點.若在線段 AB上隨機取一點F,則）（參考數據：氣: -2236 ）C. 0.472D. 0.618【答案】A【分析】由勾股定理可得：AC=*：m,由圖易得：0.764 W AFW 1.236，由幾何概型可得概率約為1,236-0764=0.236 .【解析】由勾股定理可得：AC=.：，由圖可知：BC= CD= 1, AD= AE=二 1.236 , BE2- 1.236=0.764，則：0.764 AF 1.236，由幾何概型可得：使得1.236-0.764BEC AFW AE 的概率約為=0.236 ,故選：A.【小試牛刀】【福建省廈門市 2019屆高中畢

14、業(yè)班第一次 （3月）質量檢查】易經是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,，每一卦由三根線組成（ 表示一根陽線,F圖是易經八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦）表示一根陰線），從八卦中任取兩卦， 這兩卦的六根線中恰有 5根陽線和1根陰線的概率為（）CC.3 B-:【答案】A【解析】由題意得，從八卦中任取兩卦的所有可能為.I ：|種，設“取出的兩卦的六根線中恰有5根陽線和12根陰線”為事件 A,則事件A包含的情況為：一卦有三根陽線、另一卦有兩根陽線和一根陰線，共有3種情況.由古典概型概率公式可得，所求概率為.故選A.四、框圖與數學文化【例4】【安徽省皖江名校 2019屆高三開學考】孫子算經是中國古代重要

15、的數學著作，書中有一問題：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，問積幾何？”該著作中提出了一種解決此問題的方法：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛減一，即得”通過對該題的研究發(fā)現，若一束方物外周一匝的枚數是 的整數倍時，均可采用此方法求解.如圖是解決這類問題的程序框圖，若輸入廠-則輸出的結果為（）/ 輸S=nII嚴&SS-1A. 47 B . 48 C . 39 D . 40【答案】A【分析】按照程序框圖逐步執(zhí)行，即可求出結果【解析】執(zhí)行程序框圖如下：初始值-_，執(zhí)行循環(huán)體；執(zhí)行循環(huán)體；執(zhí)行循環(huán)體；結束循環(huán)，目二S-1 = 47.輸出.故選A【小試牛刀】【湖北省黃岡市2019屆高三上學期元月調

16、研】關于圓周率 ,數學發(fā)展史上出現過許多有創(chuàng) 意的求法，最著名的屬普豐實驗和查理實驗受其啟發(fā)，我們可以設計一個算法框圖來估計 的值 如圖 若電腦輸出的：的值為29,那么可以估計的值約為【答案】A【解析】由題意知，100對J之間的均勻隨機數,b滿足0個LO61，滿足” +小，滿足I： : ；.覚：的點的面積為:4 2如圖陰影部分所示;因為共產生了 100對|二|內的隨機數 ，由程序框圖可得能使.；，且的有 對,29所以.T_2,解得“ 故選A.四、遷移運用1.【湖北省恩施州2019屆高三2月教學質量檢測】朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的四元玉鑒卷中“如像招數”五問中有如下問題：今有官司

17、差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人 ”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多 7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數為（）A. 9B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】根據題意設每天派出的人數組成數列，分析可得數列是首項，公差的等差數列，r 卜.d i該問題中的1864人全部派遣到位的天數為，則廣r J-,2依次將選項中的值代入檢驗得，滿足方程，故選 B.2 .【山東省濰坊市2019屆高三一?！咳鐖D所示，在著名的漢諾塔問題中，有三根高度相同的柱子和一些大小及顏色各不相同的圓盤，三根柱子

18、分別為起始柱、 輔助柱及目標柱已知起始柱上套有個圓盤，較大的圓 盤都在較小的圓盤下面現把圓盤從起始柱全部移到目標柱上，規(guī)則如下：每次只能移動一個圓盤，且每次 移動后，每根柱上較大的圓盤不能放在較小的圓盤上面，規(guī)定一個圓盤從任一根柱上移動到另一根柱上為一次移動若將.個圓盤從起始柱移動到目標柱上最少需要移動的次數記為-，則()目標柱 起始住輔助柱A. 33B. 31C. 17D. 15【答案】D【解析】設把圓盤從起始柱全部移到目標柱上最少需要移動的次數記為p (n),則把起始柱上的(除最底下的)圓盤從起始柱移動到輔助柱最少需要移動的次數記為p (n - 1),則有 p(n)= 2P (n- 1)

19、+1,則有 P (n) +1 = 2P ( n- 1) +1，又 P (1 )= 1,即 是以P (1) +1 = 2為首項，2為公比的等比數列，由等比數列通項公式可得：P(n) +1 = 2n,所以P(n)= 2n- 1,即 P ( 4)= 24- 1 = 15,故選：D.3 【湘贛十四校2019屆高三下學期第一次聯考】萊茵德紙草書是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目：把 120個面包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使較多的三份之和的是較少的兩份之和，則最少的一份面包個數為()A. 46B. 12C. 11D. 2【答案】B【解析】設每個人所得面包數，自少而多分別為:且成等

20、差數列由題意可知設公差為.，可知:/Sil + 2o1 + d所以最少的一份面包數為： 本題正確選項：4.【陜西省榆林市2018-2019年度高三第二次模擬】 九章算術有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本 一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？ ”意思是：“現在有一根金箠，長五尺在租的一端截下一尺，重 斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少？”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）77SA.斤B.斤C.斤D.斤【答案】B【解析】,、dr- a. 74設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數列為，設首項I,則公差5 15 1:

21、y r二.故選：B5.【廣西桂林市，賀州市，崇左市 2019年高三下學期3月聯合調研】2018年9月24日英國數學家 M.F阿帝亞爵在“海德堡論壇”展示 了他“證明”黎曼猜想的過程，引起數學界震動，黎曼猜想來源于一些特殊數列求和記無窮數列的各項的和，那么下列結論正確的是（n4A.5 L 4B-S -C3-52【答案】C【解析】11 1 1由時，n-=- 1) n - n ,1 1 11 1 1 1 11可得.1一 H 1 十 12232n2rT22 3n-1 n2TI-時，可得,排除，1 1134由,可排除,故選C.九章算術中有一題：今有牛、馬、羊食6 .【河南省八市重點高中2018-2019

22、學年高三第二次聯合測評】人苗苗主責之粟五斗 羊主曰：“我羊食半馬 ”馬主曰：“我馬食半牛 ”今欲衰償之，問各出幾何 其意思是：今有牛、馬、羊吃 了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟羊主人說：“我羊所吃的禾苗只 有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應賠償多少？設牛、馬、羊的主人分別應償還x斗、y斗、z斗，則下列判斷正確的是A.且t - B .且，一【答案】B【解析】由題意可知x, y, z依次成公比為的等比數列，1 1 20則，”,解得 ,由等比數列的性質可得 一*故選：B.7.【東北師大附中、重慶一中、吉大附中、長春十一中等2019屆高三聯合模

23、擬】秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的數書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入n, x的值分別為5, 2，則輸出v的值為（）町/4+2：,故選B.3 _11. 中國古代數學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半,六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走 378里路,第一天健步 行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了 6天后到達目的地.”則該人最后一天走的路程為A. 24 里 B. 12

24、里 C. 6 里 D. 3 里【答案】C_1（1節(jié)）_J列，：_、.，”- 二，故選 C.1-丁12. 公元263年左右，我國數學家劉徽發(fā)現，當圓內接多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的3.14,這就是著名面積，由此創(chuàng)立了割圓術，利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數點后面兩位的近似值的徽率如圖是利用劉徽的割圓術設計的程序框圖,則輸出的n值為（參考數據:晅=1732，血15 喩 0.258& 血75 0.1305)【答案】BD. =【解析】時，：1 :- - - : Hl - - - - - I ：2 2“=12時，s = -x 12Xsin = 3 310門“二2X 12 二 24

25、2121-二時 J 二 二 ：一二二 上 二J/，輸出 n，n=24.故選 B.224413. 遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數” 下圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生后的天數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿七進一，根據圖示可知，孩子已經出生的天數A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603【答案】B【解析】試題分析：由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數，化為十進制數為Q卡亠丁 Y亠亠；=：J.C，故選B.,與著名的14數書九章中對已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補了我國傳統(tǒng)數學的一個空白海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數學水

26、平，其求法是：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕,余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即 _ .:.現有周長為1112 再將這-分成5份，每人得，這樣每人分得i .形如- - J -的分數的分解： 153 h科 1【答案】(1).;. DO, 的滿足圧 K ： I J i，試用以上給出的公式求得IJ的面積為4242【答案】A:、填空題15. 埃及數學中有一個獨特現象：除用一個單獨的符號表示以外，其它分數都要寫成若干個單分數和的形r22 1 1 1 1 1 式例如二- 一可以這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，如果每人，不夠，

27、每人 ，余，E 耳氣11w 7 亠7七771 - 3_=1 1 2+4 2S 9顯.2按此規(guī)律厶5 45111 1 1 n 4-1+ 1)2 1 1【解析】-一-表示兩個面包分給4 2S7+17+12 1I: Ti .-229 5 4519 + 1成9份，每人得，其中，：-：|11. ,.1 iJEJL11 1 1 2 11夠，每人，余，再將這 分成11份，每人得一，所以，|，其o oo66116661117個人，每人，不夠，每人.，余.，再將這.分成7份，每人得T-3444281 1 表示兩個面包分給 9個人，每人，不夠，每人，余1，其中1 1 ，再將這分9 + 121.按此規(guī)律，二T表示兩個面包分給11個人，每人孑，不455中，二二：,二二二1 匸肓=.16. 魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立