第2章晶體學(xué)基本理論2016

1、第二章第二章.晶體學(xué)基本理論晶體學(xué)基本理論 2.1晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣 2.2晶面與晶向晶面與晶向 2.3晶面間距和晶面夾角晶面間距和晶面夾角 2.4晶體的對稱性晶體的對稱性 2.5倒易點陣倒易點陣 2.6晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的計算晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的計算 2.7晶帶理論晶帶理論 2.1晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣 晶體晶體(crystal) (crystal) 原子或原子團(tuán)在三維空原子或原子團(tuán)在三維空 間呈規(guī)則的周期性排列間呈規(guī)則的周期性排列 所構(gòu)成的固體所構(gòu)成的固體 晶體中各質(zhì)點間的結(jié)合晶體中各質(zhì)點間的結(jié)合 力是力是: :離子鍵、共價鍵、離子鍵、共價鍵、 金屬鍵、分子間的引力金屬

2、鍵、分子間的引力 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） 將晶體結(jié)構(gòu)抽象成一組無限多個做周將晶體結(jié)構(gòu)抽象成一組無限多個做周 期性排列的幾何點，而不考慮其實質(zhì)內(nèi)容，期性排列的幾何點，而不考慮其實質(zhì)內(nèi)容， 這種從晶體結(jié)構(gòu)抽象出來的，描述結(jié)構(gòu)基這種從晶體結(jié)構(gòu)抽象出來的，描述結(jié)構(gòu)基 元空間分布的周期性的幾何點，稱為晶體元空間分布的周期性的幾何點，稱為晶體 的空間點陣。的空間點陣。 空間點陣的幾何點稱為陣點，空間點陣的幾何點稱為陣點， 每個陣點都具有相同的幾何環(huán)境，是等效每個陣點都具有相同的幾何環(huán)境，是等效 的。的。 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） 陣點：將構(gòu)成晶體的實際

3、質(zhì)點陣點：將構(gòu)成晶體的實際質(zhì)點 （原子、離子、分子或原子團(tuán)）（原子、離子、分子或原子團(tuán)） 抽象成為純粹的幾何點抽象成為純粹的幾何點 行列：陣點在直線上的排列，行列：陣點在直線上的排列， 它相當(dāng)晶體上的晶棱或晶向它相當(dāng)晶體上的晶棱或晶向 面網(wǎng)：陣點在平面上的排列，面網(wǎng)：陣點在平面上的排列， 它相當(dāng)于晶體上的晶面它相當(dāng)于晶體上的晶面 陣胞：反映出空間點陣的周期陣胞：反映出空間點陣的周期 性和對稱性；有盡可能多的直性和對稱性；有盡可能多的直 角；體積最小的平行六面體。角；體積最小的平行六面體。 用它們沿三維空間進(jìn)行重復(fù)就用它們沿三維空間進(jìn)行重復(fù)就 可得到整個空間點陣。陣胞有可得到整個空間點陣。陣胞有

4、 1414種，稱為種，稱為1414種布拉菲點陣。種布拉菲點陣。 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） 點陣參數(shù)：陣胞大小和形狀用相交于某一頂點的三點陣參數(shù)：陣胞大小和形狀用相交于某一頂點的三 個棱邊上的點陣周期（棱邊長）個棱邊上的點陣周期（棱邊長）a a、b b 、c c 及其夾及其夾 角角 , and , and 表示，把這六個參數(shù)稱為點陣參數(shù)。表示，把這六個參數(shù)稱為點陣參數(shù)。 點陣矢量：點陣矢量： a b c 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） 陣點坐標(biāo)：以陣胞的任意頂點為原點，以與原點陣點坐標(biāo)：以陣胞的任意頂點為原點，以與原點 相交的三個棱邊為坐標(biāo)軸，分別用

5、點陣周期（相交的三個棱邊為坐標(biāo)軸，分別用點陣周期（a a， b b，c c）為度量單位）為度量單位 布拉菲點陣的分類：按照陣點位置的不同分成布拉菲點陣的分類：按照陣點位置的不同分成4 4 類：簡單點陣（類：簡單點陣（P P）、底心點陣（）、底心點陣（C C）、體心點）、體心點 陣（陣（I I）和面心點陣（）和面心點陣（F F） u簡單點陣（簡單點陣（P P）：每個陣胞中只有頂點有陣點（結(jié)點）：每個陣胞中只有頂點有陣點（結(jié)點） 陣胞頂點的坐標(biāo)：陣胞頂點的坐標(biāo)：000000 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） X Y Z u 底心點陣（底心點陣（C C） u除八個頂點上有陣點外，除

6、八個頂點上有陣點外， 兩個相對的面心上有陣兩個相對的面心上有陣 點，面心上的陣點為兩點，面心上的陣點為兩 個相鄰的平行六面體所個相鄰的平行六面體所 共有。因此，每個陣胞共有。因此，每個陣胞 占有兩個陣點。陣點坐占有兩個陣點。陣點坐 標(biāo)為標(biāo)為000000，1/2 1/2 01/2 1/2 0 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） X Y Z u 體心點陣（體心點陣（I） u除除8個頂點外，個頂點外， 體心上還有一個陣體心上還有一個陣 點，因此，每個陣點，因此，每個陣 胞含有兩個陣點，胞含有兩個陣點， 000，1/2 1/2 1/2 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice）

7、 X Y Z u 面心點陣（面心點陣（F） u除除8個頂點外，每個頂點外，每 個面心上有一個陣個面心上有一個陣 點，每個陣胞上有點，每個陣胞上有4 個陣點，其坐標(biāo)分個陣點，其坐標(biāo)分 別為別為000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） X Y Z 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） 14種布拉 菲點陣按 照其六個 參數(shù)的不 同，分為7 大晶系 空間點陣（空間點陣（LatticeLattice） 空間點陣是晶體中質(zhì)點排列的幾何學(xué)抽空間點陣是晶體中質(zhì)點排列的幾何學(xué)抽 象，它反映晶體結(jié)構(gòu)最基本的幾何特征象，

8、它反映晶體結(jié)構(gòu)最基本的幾何特征 空間點陣中每一個陣點所代表的結(jié)構(gòu)單空間點陣中每一個陣點所代表的結(jié)構(gòu)單 元可以由一個、兩個或更多個等同的質(zhì)點元可以由一個、兩個或更多個等同的質(zhì)點 組成，而這些質(zhì)點在結(jié)構(gòu)單元中的結(jié)合及組成，而這些質(zhì)點在結(jié)構(gòu)單元中的結(jié)合及 排列方式不同。排列方式不同。 每一種布拉菲點陣都可以代表許多種每一種布拉菲點陣都可以代表許多種 晶體結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)。 空間點陣空間點陣+ +結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元= =晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 面心立方 NaCl晶體 面心立方純 金屬（Cu） 二種晶體結(jié)構(gòu)不同，但同屬于一種面心立方二種晶體結(jié)構(gòu)不同，但同屬于一種面心立方 布拉菲

9、點陣布拉菲點陣 晶面：由一系列原子組成的平面，可以用晶面晶面：由一系列原子組成的平面，可以用晶面 指數(shù)表示（指數(shù)表示（hklhkl），晶面指數(shù)用于表示一組晶面），晶面指數(shù)用于表示一組晶面 （面）的方向。（面）的方向。 晶向：晶體中任意兩個原子連線所指的方向，晶向：晶體中任意兩個原子連線所指的方向， 可以用晶向指數(shù)表示可以用晶向指數(shù)表示uvwuvw，晶向指數(shù)表示某一，晶向指數(shù)表示某一 晶向（線）的方向。晶向（線）的方向。 2.2 晶面與晶向晶面與晶向 方法： 1）在一組互相平行的晶面中任選一個晶面 2）在所求晶面外取晶胞的某一頂點為原點O，三 棱邊 為三坐標(biāo)軸x，y，z；以棱邊長a，b，c為單

10、位長度，量出待定晶面在三個坐標(biāo)軸上的截距； 3） 取截距之倒數(shù)，并化為最小整數(shù)h，k，l并加 以圓括號（h k l）即是 晶面指數(shù)（晶面指數(shù)（Indices of Crystallographic PlaneIndices of Crystallographic Plane）標(biāo)定）標(biāo)定 某一晶面指數(shù)代表一組相互平行的晶面某一晶面指數(shù)代表一組相互平行的晶面 晶面族晶面族 同一晶體點陣中，有若干組晶面是可以通過同一晶體點陣中，有若干組晶面是可以通過 對稱變換重復(fù)出現(xiàn)的等同晶面，它們的面間對稱變換重復(fù)出現(xiàn)的等同晶面，它們的面間 距和晶面上結(jié)點的分布完全相同。這些晶面距和晶面上結(jié)點的分布完全相同。這些

11、晶面 屬于同簇等同晶面，稱為晶面簇。屬于同簇等同晶面，稱為晶面簇。 例如：立方晶系中例如：立方晶系中 ）（）（）（）（111111111111)111(111111111111 ）（）（）（100010001001010100100 001010100100 111111111111 110011 101011101110 晶面族晶面族 1） 互相平行的陣點直線中，引出過原點的 陣點直線； 2） 在此直線上取任意一個陣點，量出它的 坐標(biāo)值，并用點陣周期a，b，c度量； 3） 將此值化成最小整數(shù)u，v，w并加以方括 號u v w即是(代表一組互相平行，方向一 致的晶向） 晶向指數(shù)（晶向指數(shù)（Or

12、ientation indexOrientation index）標(biāo)定）標(biāo)定 某一晶向指數(shù)代表一組相互某一晶向指數(shù)代表一組相互 平行的晶向平行的晶向 正交點陣中幾個晶向的正交點陣中幾個晶向的 晶向指數(shù)晶向指數(shù) 晶向族晶向族 原子排列相同但空間位向不同（不平行）原子排列相同但空間位向不同（不平行） 的所有晶向，用的所有晶向，用uvw表示表示 如：立方晶系中如：立方晶系中 100010001001010100001 2.3 晶面間距和晶面夾角晶面間距和晶面夾角 晶面間距：晶面間距： 兩相鄰平行晶面間的垂直距離為晶面間兩相鄰平行晶面間的垂直距離為晶面間 距，用距，用dhkldhkl表示表示 晶面夾角

13、：晶面夾角： 兩個晶面（兩個晶面（h1k1l1h1k1l1）與（）與（h2k2l2h2k2l2）法線之）法線之 間的夾角，用間的夾角，用 表示表示 晶面間距（晶面間距（Interplanar crystal spacingInterplanar crystal spacing） 從原點作（從原點作（h k lh k l）晶面的法線，）晶面的法線， 則法線被最近的（則法線被最近的（h k lh k l） 面所交截的距離即是面所交截的距離即是dhkl dhkl 1. 由晶面指數(shù)求面間距dhkl 2. 低指數(shù)的面間距較大,高指 數(shù)的晶面間距則較小 3. 晶面間距愈大，該晶面上 的原子排列愈密集； 晶

14、面間距愈小，該晶面上的 原子排列愈稀疏 晶面間距晶面間距 特點：特點： 點群點群: :任何一種晶體結(jié)構(gòu)都可能同時具有多種對稱元素任何一種晶體結(jié)構(gòu)都可能同時具有多種對稱元素, , 由宏觀對稱元素組成的對稱元素組合體稱為點群由宏觀對稱元素組成的對稱元素組合體稱為點群, ,構(gòu)成點構(gòu)成點 群的對稱元素至少相交于一點群的對稱元素至少相交于一點, ,且在對稱操作過程中始終且在對稱操作過程中始終 保持不變保持不變, ,該點稱為點群中心該點稱為點群中心. .由于受晶體周期性的限制由于受晶體周期性的限制, , 只有只有3232種點群種點群. . 空間群空間群: :空間無限的晶體結(jié)構(gòu)空間無限的晶體結(jié)構(gòu)( (具有周

15、期性具有周期性) )中中, ,由宏觀和微由宏觀和微 觀對稱元素共同組成的對稱元素組合體稱為空間群觀對稱元素共同組成的對稱元素組合體稱為空間群. .晶體晶體 結(jié)構(gòu)中共有結(jié)構(gòu)中共有230230種空間群種空間群. . 對稱變換：如果一個物體經(jīng)過一定動作后又回復(fù)到原來對稱變換：如果一個物體經(jīng)過一定動作后又回復(fù)到原來 的狀態(tài)，物體上每一點的新位置與動作前另一點在這個的狀態(tài)，物體上每一點的新位置與動作前另一點在這個 位置上的情況完全重合。此動作稱為對稱變換。位置上的情況完全重合。此動作稱為對稱變換。 宏觀對稱變換：反映、旋轉(zhuǎn)、反演、旋轉(zhuǎn)宏觀對稱變換：反映、旋轉(zhuǎn)、反演、旋轉(zhuǎn)- -反演。反演。 微觀對稱變換：

16、平移、旋轉(zhuǎn)微觀對稱變換：平移、旋轉(zhuǎn)- -平移、反映平移、反映- -平移平移 2.4晶體的對稱性晶體的對稱性 2.5 2.5 倒易點陣倒易點陣 (Reciprocal Space(Reciprocal Space） 在用在用a.b.c描述的晶體點陣（即正空間）的基礎(chǔ)上，描述的晶體點陣（即正空間）的基礎(chǔ)上， 按一定的對應(yīng)關(guān)系用按一定的對應(yīng)關(guān)系用a*.b*和和c*基矢量描述的三基矢量描述的三 維空間幾何圖形維空間幾何圖形 引入倒易點陣的目的是使衍射問題的處理簡單化 晶體點陣的二維陣點平面在倒易點陣中只對應(yīng)一 個零維的倒易陣點 晶面間距和取向兩個參量在倒易點陣中只用一個 倒易矢量表達(dá) 衍射花樣是滿足衍

17、射條件的倒易陣點的投影 簡化、直接、直觀簡化、直接、直觀 l倒易點陣與正點陣對應(yīng)關(guān)系倒易點陣與正點陣對應(yīng)關(guān)系: : (1) (1) (2) (2) 方程(1)和方程(2)表明：正點陣與倒易點陣互為 倒易關(guān)系 方程(2):物理含義 0bcacabcbcaba * 1ccbbaa * 晶面構(gòu)成的平面和垂直于 晶面構(gòu)成的平面，和垂直于 晶面構(gòu)成的平面和垂直于表明：方程 )001( ,bac ;)010(cab ;)100( ,cba(1) * * * O O O 的夾角與與與分別為和， ； cc, bb, aa d 1 ccos 1 c d 1 bcos 1 b d 1 acos 1 a * 001

18、 * 010 * 100 * 100 010001 l倒易點陣與正點陣對應(yīng)關(guān)系倒易點陣與正點陣對應(yīng)關(guān)系: : 的關(guān)系與aa * 的關(guān)系與bb* 的關(guān)系與cc* a a a b b b c c c * a * b * c l 倒易點陣參數(shù)倒易點陣參數(shù) sinsin cos-coscos ab ab cos sinsin cos-coscos ac ac cos sinsin cos-coscos cb cb cos d 1 c d 1 b d 1 a ab cacbcba * * * * * * * * * 001 * 010 * 100 * * * ； 參數(shù)來計算的夾角）可以用正點陣和（ 的夾

19、角），和（的夾角），和（，倒易點陣參數(shù) l 倒易點陣的性質(zhì)倒易點陣的性質(zhì) 倒易矢量：由原點o*指向任意一個倒易結(jié)點所連接的矢量 、為整數(shù)（互為倒易關(guān)系） 可以證明： (1)倒易矢量的方向垂直正點陣的(HKL)面，或平行于晶面的法線。 HKL*(HKL) (2)倒易矢量的長度=正點陣(HKL)面間距的倒數(shù) HKL * r cLbKaHrcLbKaHr HKL * HKL ； * HKL HKL HKL * HKL d 1 r d 1 r； 正點陣中的一組平行晶面(HKL)晶面在倒易點 陣中可以用一個倒易結(jié)點表示,倒易結(jié)點指數(shù)用 它所代表的晶面的面指數(shù)表示， (HKL)* 倒易結(jié)點至倒易原點的距離

20、為該組晶面間距的 倒數(shù) 晶體點陣中的晶面取向和晶面間距在倒易點陣 中只需用倒易矢量表達(dá) 倒易矢量的方向垂直于晶體正點陣的晶面，大 小是晶體點陣晶面間距的倒數(shù)。 l 倒易點陣小結(jié)倒易點陣小結(jié) 晶體中兩個或兩 個以上的晶面形 成的集合（不一 定平行），平行 于一個公共軸， 也就是晶帶軸， 晶帶軸的晶向指 數(shù)即為該晶帶指 數(shù)，記作u v w。 l 晶帶與晶帶軸晶帶與晶帶軸 正空間正空間 倒空間倒空間 )( 111 lkh )( 222 lkh )( 333 lkh )( 111 lkh )( 222 lkh )( 333 lkh * )(uvw uvw r r l 正點陣到倒易點陣的變換正點陣到倒易

21、點陣的變換 （1） 倒易矢量的方向垂直正點陣的倒易矢量的方向垂直正點陣的(HKL)面面 （2）倒易矢量的長度）倒易矢量的長度=正點陣正點陣(HKL)面間距的倒數(shù)面間距的倒數(shù) l 正點陣到倒易點陣的變換正點陣到倒易點陣的變換 X(a) y(b) z(c) 001方向 （1 1） 倒易矢量的方向垂直正點陣的倒易矢量的方向垂直正點陣的(HKL)(HKL)面面 （2 2）倒易矢量的長度）倒易矢量的長度= =正點陣正點陣(HKL)(HKL)面間距的倒數(shù)面間距的倒數(shù) o o* * 立方晶系倒易點陣示意圖 立方晶系倒易點陣立方晶系倒易點陣 100100110110 010010 001001011011 0

22、21021 020020 120120 121121101101 102102 a* b* c* 倒易結(jié)點的指數(shù)用它所代表的晶面的面指數(shù)倒易結(jié)點的指數(shù)用它所代表的晶面的面指數(shù) 表示表示 g0 21 001+010+100方向 X(a) y(b) z(c) 001 111 011 C CZrO2ZrO2衍射斑點衍射斑點 滿足此式LKH其面指數(shù) 晶帶的晶面，uvw屬于 晶帶定律 0LwKvHu因此， 0)cLbKa(H )cwbvau(rr 由于二者垂直， 表達(dá)cLbKaHr 晶面法向用倒易矢量， 表達(dá)cwbvaur 晶帶軸用正點陣矢量， iii * * * u 晶帶定律晶帶定律 在倒易點陣中，一

23、個倒易陣點對于正點陣中 的一個晶面，同晶帶的所有晶面的倒易矢量都位 于一個過原點的與晶帶軸垂直的倒易陣點平面上， 因此，每個過原點的倒易點陣平面上的倒易陣點 都屬于同一晶帶。 在每個過原點的倒易點陣平面的上邊和下邊 還有與其平行的N層不過原點的倒易點陣平面， 它們滿足：Hu+Kv+Lw=N，其中N為正整數(shù)， 此為廣義晶帶定律。 廣義晶帶定律廣義晶帶定律 2.6晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的計算晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的計算 晶面間距的計算晶面間距的計算 *2*22*22*2 * 2 HKL 2 * * HKLHKL cosbHKa2cosaLHc2coscKLb2)c (L)b(K)a (H )cLbKaH)(cLbKa

24、H( d 1 r rd 之間的關(guān)系可得：與倒易矢量利用晶面間距 上式中，把倒易點陣參數(shù)用正點陣參數(shù)替代， 可得下列晶面間距的計算公式 晶面間距公式晶面間距公式 2 2 2 2 2 2 2 HKL c L b K a H d 1 對于立方晶系（a=b=c），正方晶系（a=b），斜方晶系 2 2 2 22 2 HKL c L a KHKH 3 4 d 1 六方晶系： )cos2cos31 (a )cos)(cosKLHLHK(2sin)LKH( d 1 322 22222 2 HKL 菱方晶系： 222 2 2 2 22 2 2 HKL sin cosH2 sinc L b K sina H d

25、1 ac L 單斜晶系： 2 1 222 2 22 222222222222 22 HKL )coscoscos2coscoscos1 (abcV )coscos(cosHKabc2 )coscos(coscLHab2)coscos(cosbcKLa2 sinbaLsinacKsincbH V 1 d 1 其中， 三斜晶系： 晶面夾角的計算晶面夾角的計算 cosba )KHKH(cosac )LHLH( coscb)LKLK()(LL)(KK)(HH rr 1 )cLbKaH)(cLbKaH( rr 1 rr rr cos cosrrrr rr )LKH()LKH( * 1221 * 1221

26、 * 1221 2* 21 2* 21 2* 21 * 2 * 1 * 2 * 2 * 2 * 1 * 1 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 222111 cba 的夾角表示，于是有：和量可以用其對應(yīng)的倒易矢之間的夾角 和中晶面線夾角來表示，正點陣晶面夾角可以用晶面法 上式中，把倒易點陣參數(shù)用正點陣參數(shù)替代， 可得下列晶面夾角的計算公式 晶面夾角的計算晶面夾角的計算 對于立方晶系（a=b=c），正方晶系（a=b），斜方晶系 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 21 2 21 2 21 c L b K a H c L b K a