江西省贛州市石城縣2020年九年級5月數(shù)學(xué)競賽試題

1、石城縣2020年九年級學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題（考試時間：120分鐘 滿分:120分） 2020年5月（卷）一、選擇題（本題共6小題，每小題5分共30分，在每小題給出的4個選項中，只有一個項是符合題目要求）1. 將一個棱長為1的正方體水平放于桌面(始終保持正方體的一個面落在桌面上)，則該正方體主視圖面積的最大值為( )A. 2B. 2+1C. 2D. 12. 如圖，在ABC中，ACB=90，ACBC，分別以ABC的邊AB，BC，CA為邊向ABC外作正方形ABDE，BCMN，CAFG，連接EF，GM，ND，設(shè)AEF，BND，CGM的面積分別為S1，S2，S3，則以下結(jié)論正確的是（ ）A. S1=S2=S

2、3 B.S1=S2S3 C.S1=S2S3 D.S2=S3S1，3. 已知三個實數(shù)a，b，c滿足a-2b+c=0，a+2b+c0，b2-ac0B. b0，b2-ac0D. b02(x+2a)5a至少有三個整數(shù)解，則符合條件的所有a之和為( )A. 7B. 11C. 12D. 165. 如圖，直線與y軸交于點A，與直線交于點B，以AB為邊向右作菱形ABCD，點C恰與原點O重合，拋物線的頂點在直線上移動若拋物線與菱形的邊AB、BC都有公共點，則h的取值范圍是（ ）. A B C D （第2題）（第5題）6. 如圖，AB是O的直徑，M、N是AB(異于A.B)上兩點，C是MN上一動點，ACB的角平分線

3、交O于點D，BAC的平分線交CD于點E.當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C.E兩點的運動路徑長的比是( ) A. B. C. D. （第6題）二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）7. 定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：當(dāng)n為奇數(shù)時，F(xiàn)(n)=3n+1；當(dāng)n為偶數(shù)時，F(xiàn)(n)=n2k(其中k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù))，兩種運算交替重復(fù)進行，例如，取n=24，則： 若n=13，則第2018次“F”運算的結(jié)果是 .8. 若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的兩個實數(shù)根，則x23-4x12+17的值為 .9.如圖，AB與CD相交于點O，AB=CD，AOC=60，ACD+ABD=210，則

4、線段AB，AC，BD之間的等量關(guān)系式為_ _10. 拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)、B(4,0)兩點，則關(guān)于x的一元二次方程： a(x-1)2+c=b-bx的解是_ _11. 已知x、y、z是三個非負(fù)實數(shù)，滿足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若S=2x+y-z，則S的最大值與最小值的和為_（第12題）12. 如圖，已知AD/BC，ABBC，AB=3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將ABE沿AE折疊，點B落在點B處，過點B作AD的垂線，分別交AD，BC于點M，N.當(dāng)點B為線段MN的三等分點時，BE的長為_（第9題）(卷）三、解答題（本題共6小題，每小題10分，共60分，

5、解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程和演算步驟13. 如圖，RtABC中，ACB=90，AC=BC，P為ABC內(nèi)部一點，且APB=BPC=135 (1)求證：PABPBC；(2)求證：PA=2PC； (3)若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2h3（第13題）（第14題）14. 如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數(shù)y=mx與y=nx(x0,0mn)的圖象上，對角線BD/y軸，且BDAC于點P.已知點B的橫坐標(biāo)為4 (1)當(dāng)m=4，n=20時 若點P的縱坐標(biāo)為2，求直線AB的函數(shù)表達式 若點P是BD的中點，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由

6、(2)四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，試說明理由15. 要使?jié)M足等式的一切實數(shù)，也滿足不等式：，求a的取值范圍.16. 如圖1，在ABC中，AB=AC，O是ABC的外接圓，過點C作BCD=ACB交O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF=AC，連接AF (1)求證：ED=EC； (2)求證：AF是O的切線； (3)如圖2，若點G是ACD的內(nèi)心，BCBE=25，求BG的長（第16題）（第17題）17. 定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形理解： (1)如圖1，點A，B，C在O上，ABC的平分線交O于點D，連接AD，CD求證：四

7、邊形ABCD是等補四邊形； 探究： (2)如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB=AD，連接AC，AC是否平分BCD？請說明理由 運用： (3)如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB=AD，其外角EAD的平分線交CD的延長線于點F，CD=10，AF=5，求DF的長18. 若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)的圖象的頂點，則稱這兩個函數(shù)為“友好函數(shù)”.（1）請判斷一次函數(shù)和二次函數(shù)是否為“友好函數(shù)組”，并說明理由.（2）若一次函數(shù)和二次函數(shù)為“友好函數(shù)組”，二次函數(shù)的圖象的頂點在二次函數(shù)的圖象上，求二次函數(shù)的解析式.（3）“友好函數(shù)組”中的一次函數(shù)和二次數(shù)（n為正整數(shù)）的圖象相交于，（點在點的右側(cè)）兩點，且

8、點的橫坐標(biāo)為n.求點的坐標(biāo)(用含n的代數(shù)式表示);若拋物線與拋物線相交于點M，拋物線與拋物線相交于點N，試判斷直線MN與直線的位置關(guān)系，并說明理由石城縣2020年九年級學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：1. C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.A ; 6.A. 二、填空題：7. 1； 8.； 9.； 10.； 11. 5； 12.或.（答對一個得3分，答對兩個得5分，有錯誤答案不得分）三、解答題：13. 解：(1)ACB=90，AB=BC，ABC=45=PBA+PBC又APB=135，PAB+PBA=45PBC=PAB2分又APB=BPC=135，PABPBC3分(2)PABP

9、BCPAPB=PBPC=ABBC在RtABC中，AB=2AC，ABBC=24分PB=2PC,PA=2PBPA=2PC5分(3)如圖，過點P作PDBC，PEAC交BC、AC于點D，E，PF=h1，PD=h2，PE=h3，6分CPB+APB=135+135=270APC=90，EAP+ACP=90，又ACB=ACP+PCD=90EAP=PCD，RtAEPRtCDP，7分PEDP=APPC=2，即h3h2=2，h3=2h28分PABPBC，h1h2=ABBC=2， h1=2h29分h12=2h22=2h2h2=h2h3 即：h12=h2h310分15.解：(1)如圖1， m=4，反比例函數(shù)y=mx為

10、y=4x， 當(dāng)x=4時，y=1，B(4,1)，1分當(dāng)y=2時，2=4x，x=2，A(2,2)，2分設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，2k+b=24k+b=1，k=-12b=3，直線AB的解析式為y=-12x+3；3分四邊形ABCD是菱形，4分理由如下：如圖2，由知，B(4,1)，n=20，反比例函數(shù)y=nx為y=20x，BD/y軸，D(4,5)，點P是線段BD的中點，P(4,3)，5分當(dāng)y=3時，由y=4x得，x=43，由y=20x得，x=203，PA=4-43=83，PC=203-4=83，PA=PC， PB=PD，四邊形ABCD為平行四邊形，6分BDAC，四邊形ABCD是菱形；7分(2)四

11、邊形ABCD能是正方形，8分理由如下：當(dāng)四邊形ABCD是正方形，BD=AC，且P為AC中點，也為BD中點，當(dāng)x=4時，y=mx=m4，y=nx=n4，B(4,m4)，D(4,n4)，P(4,m+n8)，A(8mm+n,m+n8)，C(8nm+n,m+n8)，9分AC=BD，8nm+n-8mm+n=n4-m4，m+n=3210分16. 證明：(1)AB=AC， ABC=ACB，1分又ACB=BCD，ABC=ADC，BCD=ADC，ED=EC；2分(2)如圖1，連接OA， AB=AC，AB=AC，OABC，3分CA=CF，CAF=CFA，ACD=CAF+CFA=2CAF，ACB=BCD，4分ACD

12、=2ACB，CAF=ACB，5分AF/BC， OAAF，AF為O的切線；6分解：(3)ABE=CBA，BAD=BCD=ACB，ABECBA，7分ABBC=BEAB，AB2=BCBE，BCBE=25，AB=5， 8分如圖2，連接AG，BAG=BAD+DAG，BGA=GAC+ACB，點G為內(nèi)心，DAG=GAC，又BAD+DAG=GDC+ACB，BAG=BGA，9分BG=AB=510分17. 解：(1)證明：四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，A+C=180，ABC+ADC=180，1分BD平分ABC，ABD=CBD，2分AD=CD，AD=CD，四邊形ABCD是等補四邊形； 3分(2)AD平分BCD，理由如下： 4分如圖2，過點A分別作AEBC于點E，AF垂直CD的延長線于點F，則AEB=AFD=90，四邊形ABCD是等補四邊形，B+ADC=180，又ADC+ADF=180，B=ADF，AB=AD，ABEADF(AAS)，5分AE=AF，AC是BCF的平分線，