平面向量的綜合應用考點與題型歸納(1)11頁

1、平面向量的綜合應用考點與題型歸納 典例(2019石家莊模擬)在平行四邊形ABCD中，|12，|8.若點M，N滿足3，2，則()A20B15C36 D6解析法一：由3，2知，點M是BC的一個四等分點，且BMBC，點N是DC的一個三等分點，且DNDC，所以，所以 ，所以 36，故選C.法二：不妨設DAB為直角，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系則M(12,6)，N(8,8)，所以(12,6)，(4，2)，所以1246(2)36，故選C.答案C題組訓練1若O為ABC所在平面內任一點，且滿足()(2)0，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C正三角形 D等腰直

2、角三角形解析：選A由()(2)0，得()0，()()0，即|，ABC是等腰三角形2(2018西安質檢)已知P為ABC所在平面內一點，0，|2，則ABC的面積等于()A. B2C3 D4解析：選B由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中點D，連接PD(圖略)，則PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，|1可得|，則|2，所以ABC的面積為222.3.如圖，在扇形OAB中，OA2，AOB90，M是OA的中點，點P在弧AB上，則的最小值為_解析：如圖，以O為坐標原點，為x軸的正半軸，為y軸的正半軸建立平面直角坐標系，則M(1,0)，B(0,2)

3、，設P(2cos ，2sin )，所以(12cos ，2sin )(2cos ，22sin )42cos 4sin 42(cos 2sin )42sin()，所以的最小值為42.答案：42 典例(2017江蘇高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值解(1)因為a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x則tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因為x0，所以x，從而1cos.于是，當x

4、，即x0時，f(x)取到最大值3；當x，即x時，f(x)取到最小值2.題組訓練1已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三點共線，當k0時，若k為直線的斜率，則過點(2，1)的直線方程為_解析：(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0)，若以向量e1，e2為鄰邊的三角形的面積為，則k_.解析：設e1，e2的夾角為，則由以向量e1，e2為鄰邊的三角形的面積為，得11 sin ，得sin 1，所以90，所以e1e20，從而對e3e1ke2兩邊同時平方得 1k2，解得k或(舍去)，所以k.答案：9.如圖，在ABC中，O為BC的中點，若AB1

5、，AC3，與的夾角為60，則|_.解析：|cos 6013，又()，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.答案：10在平面直角坐標系中，A(2,0)，B(1,3)，O為坐標原點，且 (1)，N(1,0)，則|的最小值為_解析： (1)，A，B，M三點共線，A(2,0)，B(1,3)，直線AB的方程為xy20，N(1,0)，設點N到直線AB的距離為d，d，|的最小值為N到直線AB的距離.答案：11在平面直角坐標系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解：(1)m，n(sin x，cos x)，mn，mns

6、in xcos x0，即sin xcos x，tan x1.(2)由題意知，|m|1，|n|1，mnsin xcos xsin.而mn|m|n|cosm，ncos，sin.又x，x，x，x.12(2019河南中原名校質檢)在ABC中，M是BC的中點(1)若|，求向量2與向量2的夾角的余弦值；(2)若O是線段AM上任意一點，且|，求的最小值解：(1)設向量2與向量2的夾角為，則cos ，令|a，則cos .(2)|，|1，設|x(0x1)，則|1x.而2，()22|cos 2x22x22.當x時，取得最小值，最小值是.B1(2019武漢調研)設A，B，C是半徑為1的圓O上的三點，且，則()()的

7、最大值是()A1B1C.1 D1解析：選A如圖，作出，使得，則()()21()1，由圖可知，當點C在OD的反向延長線與圓O的交點處時，取得最小值，最小值為，此時()()取得最大值，最大值為1，故選A.2在ABC中，BC5，G，O分別為ABC的重心和外心，且5，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B鈍角三角形C直角三角形 D上述三種情況都有可能解析：選B如圖，在ABC中，G，O分別為ABC的重心和外心，取BC的中點D，連接AD，OD，OG，則ODBC，GDAD，結合，()，5，得()()5，即()()5，2230.又BC5，則|2|2|2|2|2，結合余弦定理有cos C0，C，ABC是鈍角三角形故選B.3已知向量a(cos x，1)，b，函數(shù)f(x)(ab)a2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，b，a，c成等差數(shù)列，且9，求a的值解：(1)f(x)(ab)a2|a|2ab2cos2x1sin xcos x2(cos 2x1)1sin 2xcos 2xsin 2xsin，f(x)的最小正周期T.由2k2x