07全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題及參考答案

1、2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題及參考答案一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)1.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，APC=60，則二面角A-PB-C的平面角的余弦值為( )A.B.C.D.2.設(shè)實數(shù)a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|a2對任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是( )A.B. C.D.-3，33.將號碼分別為1、2、9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同.甲從袋中摸出一個球，其號碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為b.則使不等式a-2b+100成立的事件發(fā)生的概率等于( )A. B.C.D.4.設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2

2、cosx+1.若實數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1對任意實數(shù)x恒成立，則的值等于( )A. B. C.-1D.15.設(shè)圓O1和圓O2是兩個定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是( )6.已知A與B是集合1，2，3，100的兩個子集，滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且為AB空集.若nA時總有2n+2B，則集合AB的元素個數(shù)最多為( )A.62B.66 C.68D.74二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)7.在平面直角坐標系內(nèi)，有四個定點A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一個動點P，則|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值為_.8

3、.在ABC和AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，BC=6，若，則與的夾角的余弦值等于_.9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，以頂點A為球心，為半徑作一個球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于_.10.已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù).若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于_.11.已知函數(shù)，則f(x)的最小值為_.12.將2個a和2個b共4個字母填在如圖所示的16個小方格內(nèi)，每個小方格內(nèi)至多填1個字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有_種(用數(shù)字作答).三、解答題(本題滿分60分，每小題20分)13.設(shè)，

4、求證：當正整數(shù)n2時，an+1an.14.已知過點(0，1)的直線l與曲線C：交于兩個不同點M和N.求曲線C在點M、N處切線的交點軌跡.15.設(shè)函數(shù)f(x)對所有的實數(shù)x都滿足f(x+2)=f(x)，求證：存在4個函數(shù)fi(x)(i=1，2，3，4)滿足：(1)對i=1，2，3，4，fi(x)是偶函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，有fi(x+)=fi(x)；(2)對任意的實數(shù)x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)1.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，APC=60，則二面

5、角A-PB-C的平面角的余弦值為( B )A.B.C.D.解：如圖，在側(cè)面PAB內(nèi)，作AMPB，垂足為M.連結(jié)CM、AC，則AMC為二面角A-PB-C的平面角.不妨設(shè)AB=2，則，斜高為，故，由此得.在AMC中，由余弦定理得.2.設(shè)實數(shù)a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|a2對任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是( A )A. B. C.D.-3，3解：令，則有，排除B、D.由對稱性排除C，從而只有A正確.一般地，對kR，令，則原不等式為，由此易知原不等式等價于，對任意的kR成立.由于，所以，從而上述不等式等價于.3.將號碼分別為1、2、9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不

6、同，其余完全相同.甲從袋中摸出一個球，其號碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為b.則使不等式a-2b+100成立的事件發(fā)生的概率等于( D )A.B.C.D.解：甲、乙二人每人摸出一個小球都有9種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為92=81個.由不等式a-2b+100得2ba+10，于是，當b=1、2、3、4、5時，每種情形a可取1、2、9中每一個值，使不等式成立，則共有95=45種；當b=6時，a可取3、4、9中每一個值，有7種；當b=7時，a可取5、6、7、8、9中每一個值，有5種；當b=8時，a可取7、8、9中每一個值，有3種；當b=9時，a只能取9，有1種.于是，所求事件的概率為

7、.4.設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1.若實數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1對任意實數(shù)x恒成立，則的值等于( C )A.B.C.-1 D.1解：令c=，則對任意的xR，都有f(x)+f(x-c)=2，于是取，c=，則對任意的xR，af(x)+bf(x-c)=1，由此得.一般地，由題設(shè)可得，其中且，于是af(x)+bf(x-c)=1可化為，即，所以.由已知條件，上式對任意xR恒成立，故必有，若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b0.所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ).當c=2k時，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾，故c=2k

8、+(kZ)，cosc=-1.由(1)、(3)知，所以.5.設(shè)圓O1和圓O2是兩個定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是( A )解：設(shè)圓O1和圓O2的半徑分別是r1、r2，|O1O2|=2c，則一般地，圓P的圓心軌跡是焦點為O1、O2，且離心率分別是和的圓錐曲線(當r1=r2時，O1O2的中垂線是軌跡的一部份，當c=0時，軌跡是兩個同心圓).當r1=r2且r1+r22c時，圓P的圓心軌跡如選項B；當02c|r1-r2|時，圓P的圓心軌跡如選項C；當r1r2且r1+r20(1)，(2)，(3)，由此解得.對求導(dǎo)，得，則，于是直線l1的方程為，即，化簡后得到直線l1的方程為(4)

9、.同理可求得直線l2的方程為(5).(4)-(5)得，因為x1x2，故有(6).將(2)(3)兩式代入(6)式得xp=2.(4)+(5)得(7)，其中，代入(7)式得2yp=(3-2k)xp+2，而xp=2，得yp=4-2k.又由得，即點P的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點間的線段(不含端點).15.設(shè)函數(shù)f(x)對所有的實數(shù)x都滿足f(x+2)=f(x)，求證：存在4個函數(shù)fi(x)(i=1，2，3，4)滿足：(1)對i=1，2，3，4，fi(x)是偶函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，有fi(x+)=fi(x)；(2)對任意的實數(shù)x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+

10、f4(x)sin2x.證明：記，則f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù)，對任意的xR，g(x+2)=g(x)，h(x+2)=h(x).令，其中k為任意整數(shù).容易驗證fi(x)，i=1，2，3，4是偶函數(shù)，且對任意的xR，fi(x+)=fi(x)，i=1，2，3，4.下證對任意的xR，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x).當時，顯然成立；當時，因為，而，故對任意的xR，f1(x)+f2(x)cosx=g(x).下證對任意的xR，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).當時，顯然成立；當x=k時，h(x)=h(k)=h(k-2k)=h(-k)=-h(k)，所以h(x)