專題16一元二次不等式及簡單的不等式(解析版)

1、專題15 一元二次不等式及簡單的不等式知識央背J夯實根底知識，掌握根本技能“三個二次的關系判別式A = b24acA 0A = 0A 0)的圖象|別I1oJ*一兀二次方程ax2+ bx+ c= 0(a0)的根有兩相異實根xi,X2( X10(a0)的解集 x| xX2 X| X 豐 Xix| x Rax2 + bx+ c0)的解集 x| xi X 0; (2) x 6-x【解析】因為8 - 4X ( 1) X ( 3) = 520,所以方程一 X + 8x 3= 0有兩個不相等的實根 xi = 4一冷13, X2= 4+J13.又二次函數(shù)y= x2 + 8x 3的圖象開口向下，所以原不等式的解

2、集為x|4 13x 6 x2,即為 x2 + x 6 0，即(x + 3)(x 2) 0,解得 x V 3 或 x 2.所以不等式 x 6 x2 的解集是(一a, 3) U (2 ,+).2x 4x + 6,x?0,變式：設函數(shù)f(x)=那么不等式f(x) f(1)的解集是x+6,xf(1)即f(x) 3,如果xv0，那么由x + 63可得x 3,可得3Vx2V 0.如果x0,由x 4x + 6 3可得x 3或0Wxv 1，綜上不等式的解集為 (3, 1) U (3 ,+)例2、 解以下不等式x + 2(1) 口 0； (2)x+ 1x2x + 2 x + 2【解析】(1)由 0,1 x x

3、1此不等式等價于(x + 2)( x 1)0 ,原不等式的解集為x|x1.x + 1法一：移項得 2W0,x 2x + 5x 5左邊通分并化簡有 5 0, 或x 20, +5w0,即x 5?0,x 2x 2x 2 x 5?0,它的同解不等式為x 2工 0, x 5.原不等式的解集為x| x5.x 5法二：原不等式可化為 0,x 2x 5?0,此不等式等價于x 20解得x5,解得x2,原不等式的解集為x| x5.例3、解關于x的不等式x2 5ax + 6a2 v 0.【解析】：原不等式化為(x 3a)(x 2a) v 0._ 2 當a = 0時，3a = 2a，那么原不等式化為 x v 0,貝U

4、 x ?； 當a0時，3a2a，那么原不等式的解集為x|2a v xv 3a; 當a v 0時，2a 3a那么原不等式的解集為x|3a vx v 2a. 綜上，當a= 0時，原不等式解集為？；當a 0時，原不等式解集為x|2a v x v 3a;當a v 0時，原不等式解集為x|3a v x v 2a.變式：解關于 x的不等式ax2 2x + a v 0.【解析】：a = 0時，有2xv 0,所以x0.(2) a 0 時，= 4 4a2.1 土、； 1 a21 * f 1 一 a2當 0，即0v av 1時，方程ax? 2x+ a= 0的兩根為:，所以不等式的解集為x| :av x v 1 +

5、1 a.當= 0,即卩a= 1時，原不等式即為 x2 2x + 1 v0,顯然x ?；當 1時，方程ax2 2x + a = 0無實數(shù)根，不等式ax2 2x + a v 0 無解，所以 x ?.2(3)當 av 0 時，= 44a ,當20,即一1 v av 0時，不等式 ax 2x + av 0的解集為x|x v 1+1 a2或x 11 a2 ；aa當=20,即卩a= 1不等式化為(x + 1) 0,所以xm 1;當1時，x ?；當a = 0時，解集為x|x0；1-a)；當0vav 1時，解集為x|上2a,aa1 +1 a r、 1 11 a當一1v av 0時，解集為x| xv或x1；aa

6、當a= 1時，解集為x| xm 1；當av 1時，解集為R1 1 1當a= 2時，不等式的解集為？；當a 2時，不等式的解集為x axv 2.例4.對任意的k 1,1，函數(shù)f(x) = X2+ (k 4)x+ 4 2k的值恒大于零，那么 x的取值范圍是【答案】x3.22【解析】：對任意的 k 1,1 , x + (k 4)x + 4 2k0 恒成立，即 g(k)= (x 2)k + (x 4x+ 4)0，在x 5x+ 60,k 1,1g( 1)0且g(1)0，即2解得x3.x 3x+ 20,g 1 0,g 2 o,2x x 10, 即 22x 2x 10,解得1 2 3xmf mx- 10對于

7、m 1,2恒成立，求實數(shù) x的取值范圍.【答案】1 3 1 + 曲2 ， 2 .【解析】：設g(m) = mx mx-1 = (x2 x)m 1，其圖像是直線，當 m 1,2時，圖像為一條線段,1x+ 2 3x?0,解：(1)原不等式等價于3 x 豐 0,x+ 2 x 3 w 0,即心? - 2wx3.原不等式的解集為x| 2w x0,即3x 24x 3等價于(3x 2)(4 x 3)0.2 3 原不等式的解集為x|-x 0，所以 x x 6 0,所以(x + 2)(x 3) 0,所以一2x 3.因此，不等式 cx + bx+ a 0 的解集為x| 2 x 3.7、函數(shù)f(x) = x2 +

8、ax + b(a , b R)的值域為0 ,+)，假設關于x的不等式f (x)0的解集為 .(用區(qū)間表示)【答案】x| 4x0 可知，(X + 4)( x1)0，得4x1.x3、.不等式一 0的解集為x + 1【答案】x| 1x 0.x【解析】：由 x- 0 得 X(X+ 1) 0( XM 1)，解得一1x 0.X I4、不等式二1或x 122 ( x+ 1)x 1【解析】： 1?0? x1 或 x0的解集是 一, 3，貝U a+ b=【答案】14.a b9+ 3 + 2 = 0，【解析】tx=2，X2= 3是方程ax2+ bx+ 2 = 0的兩個根,a= 12,解得 b= 2,： a+ b=

9、- 14.6、不等式ax2 + bx + c 0的解集為x| 1 xv 1，那么不等式cx2+ bx+ a v 0的解集為【答案】x| 2 x 0的解集為x| v xv3，所以,3是方程ax + bx + c= 0的兩根,且 a 0.所以一1+*一 a， 1X1=a，所以 b=6,c 12c 2 ba 6不等式cx+ bx + a 0，所以【答案】9222a【解析】由題意知，函數(shù)f(x)值域為0 ,+)，所以當x + ax + b= 0時有，= a 4b= 0,即b= 4 ,22a2a 2a 2廠 a一 a-f(x) = x + ax + b= x + ax + 4 = x + ? 因為 f(

10、x) = x+ ? c,解得 cx + 2Jc,即一Jc 2x ca 2.Q8、假設又因為不等式f(x) 0在R上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍.解：當a= 0時，原不等式可化為 2x + 20,其解集不為R,故a= 0不滿足題意，舍去;當a0時，要使原不等式的解集為R,只需a 0,2A = 2 4X2 a v 0,解得a1綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為2,+ . 29、解關于 x 的不等式 ax (2a+ 1) x + 2v 0( a R).解析：原不等式可化為(ax 1)( x2) v 0.(1)當a 0時，原不等式可以化為a(x 2) x1 v 0,a根據(jù)不等式的性質(zhì)，這個不等式等價于(x12) x av 0.因為方程(x 2) x a = 0的兩個根分別是1112, o,所以當0v av時，2va2a那么原不等式的解集是當a1時,x|2 vx v 1 ；當a= *時，原不等式的解集是2，那么原不等式的解集是x v xv 2aa 當a= 0時，原不等式為一(x 2) v0,解得x2,即原不等式的解集是x|x2