勾股定理中四種重要的數(shù)學思想.doc

1、勾股定理中四種重要的數(shù)學思想摘要：:方程思想、 數(shù)形結(jié)合的思想、 分類思想、 轉(zhuǎn)換思想，本文主要針對勾股定理中的主要四種數(shù)學思想進行討論、介紹.關(guān)鍵字 ： 勾股定理方程思想數(shù)形結(jié)合思想分類思想轉(zhuǎn)換思想勾股定理又稱畢達哥拉斯定理，它是幾何學中幾個最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系如果在直角三角形三邊的兩直角邊長分別為a， b，斜邊為 c，那么 a2+b2=c2. 它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一. 它不僅在數(shù)學中，而且在其他自然科學、實際的生產(chǎn)生活中也被廣泛地使用 .數(shù)學思想是數(shù)學的“靈魂”，數(shù)學思想遍及數(shù)學學習的各個角落，總結(jié)概括數(shù)學思想有

2、利于透徹地理解所學的知識 , 有利于在數(shù)學學習中提高我們分析問題和解決問題的能力, 形成用數(shù)學解決問題的意識. 而在勾股定理這一章節(jié)的學習過程中我們同樣可以發(fā)現(xiàn)其中蘊含著多種的數(shù)學思想. 本文主要介紹其中主要的四種數(shù)學思想 .1 方程思想“方程”歷來是數(shù)學研究的重要內(nèi)容之一，也是研究數(shù)學重要的工具. 對于眾多數(shù)學問題的求解，方程常常可以充當由已知探索未知的橋梁而發(fā)揮巨大的作用. 運用方程的觀點去考察問題， 運用方程的思想去分析問題，能有效地溝通知識間的縱橫聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)各種數(shù)量之間的關(guān)系. 有助于解題思路的尋求與優(yōu)化 .勾股定理本身就是反應(yīng)了直角三角形中三邊的關(guān)系. 所以在勾股定理的應(yīng)用中最常見也

3、是最基本的一類問題就在直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題，或是關(guān)于此類問題的變形題. 而方程思想在勾股定理關(guān)于此類問題的求解過程中都得到了廣泛的運用1.1 求距離長度問題例：有一個水池，水面是一個邊長為10 尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面. 水的深度與這根蘆葦D的長度分別是多少？B分析： 在 Rt ABC中，只有 BC邊的長度， 利用勾股定理求一邊的長度，C還要知道另一邊的長度 . 因此可以通過設(shè)立未知量，建立方程求解.解 :設(shè)：水的深度為AB 為 x 尺，則蘆葦?shù)拈L度AC(AD)為（ x+1）尺 .依題意可以得

4、到如圖1 所示的圖形在 Rt ABC中， BC=5尺，根據(jù)勾股定理可得方程（ x+1）2=x2+52解得x=12 x+1=13則水的深度為12 尺，蘆葦?shù)拈L度為13 尺 .1.2折紙問題例 2 如圖所示，把一個長方形（四個角都是直角，對邊相等）折疊，恰好點A圖 1D 落邊 BC上，交 BC與點 F.已知 AB=8cm， BC=10cm，求 EC的長 .分析： Rt AEF,是 Rt AED沿邊 AE邊折疊的，所以就可以通過折疊中對稱的性質(zhì)得到許多的等量，在矩形中的折疊可以得到許多的直角三角形 . 要求 EC邊長，構(gòu)造直角三角形，找出 EC邊所在的直角三角形，在根據(jù)勾股定理，找出所需的量以及各個

5、量之間的關(guān)系 . 在已知量與為質(zhì)量之間建立方程關(guān)系.解：由題意，得AF=AD,DE=EF.ADE在 Rt ABF中， AB=8cm， AF=AD=10cm，BC圖 2F BF= 1028236 6 (cm). BC=10cm， CF=10 6=4(cm).設(shè) CE=xcm，則 DE=(8 x)cm， EF=DE=(8 x)cm，在 Rt CEF中，根據(jù)勾股定理可得方程42+x2=（ 8 x）2解得 x=3 ，故 EC的長為 3cm2 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的一種數(shù)學方法，它也是一種數(shù)學思想. 使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題都能迎刃而解，且解法簡捷. 所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的

6、對應(yīng)關(guān)系，通過“數(shù)”與“形”之間相互結(jié)合，相互滲透、相互轉(zhuǎn)化, 將反映問題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來, 也是將抽象思維與形象思維有機的結(jié)合起來的一種解決數(shù)學問題的重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題中所隱含的條件。它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合 .勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系如果在直角三角形三邊的兩直角邊長分別為a， b，斜邊為c，那么a2+b2=c2. 定理的本身實現(xiàn)了由“形”的特點與“數(shù)”特點的結(jié)合. 因此不管是在定理本身的證明還是在定理的應(yīng)用都經(jīng)常運

7、用到數(shù)形結(jié)合的思想.2.1方位問題：方位問題是勾股定理實際運用的重要體現(xiàn). 也是數(shù)形結(jié)合的典型列子.例 3：臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞性 . 如圖所示，據(jù)氣象部門觀測，距沿海某城市A 的正南方向 220km B 處有一臺風中心，其中心最大風力為12 級，每遠離臺風中心20km，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以15km/h 的速度沿北偏東30方向往C處移動，且臺風中心風力不變. 若城市所受風力達到或超過4 級，則稱為受臺風影響.分析：根據(jù)圖形找出距離A 點最近的臺風中心的位置, 求出距離就可以判斷是否收到影響, 影響的風力 .根據(jù)題意可

8、以在圖形上直觀得找到所受影響的范圍, 構(gòu)造直角三角形, 根據(jù)勾股定理就可以求出范圍及影響的時間 .(1) 該城市是否會受到這次臺風的影響？請說明理由；(2) 若會受到臺風影響，則臺風影響該城市持續(xù)時間有多長.(3) 該城市受到臺風影響的最大風力為幾級.解：（ 1）作 AD BC于 D,AD 為城市 A 距臺風中心的最短距離，在Rt ABD中， B=30， AB=220km. AD=1 AB=110km.2由題意知，當點 A 距離臺風（ 12 4） 20=160（km）時，將會受到臺風的影響，故該城市會受到臺風的影響 .（ 2）由題意知，當長為半徑畫弧，交 BC 于影響，由勾股定理得A 點距臺風

9、中心不超過160km 時，將會受到臺風的影響，則以A 點為圓心，以160kmE、 F 兩點，此時AE=AF=160km，當臺風中心從E 移到 F 處時，該城市都會受到臺風DE= AE2AD 2160211023015 (km).EF=2DE=6015 (km)這次臺風影響該城市的時間為6015（ h） .4 1515（ 3）當臺風中心位于 D時 A 市受這次臺風影響的風力最大，最大風力為12 110 =6.5 （級） .20CCAAFDEBB圖 33 分類思想分類的思想是自然科學乃至社會科學研究中經(jīng)常用到的，又叫做邏輯劃分. 不論從宏觀上還是從微觀上對研究對象進行分類，都是深化研究對象、發(fā)展科

10、學必不可少的思想 . 因此分類思想既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想 .數(shù)學中的分類思想主要是依據(jù)數(shù)學研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學對象分為不同種類的思想 . 當解決數(shù)學問題時 , 由于研究問題過程中出現(xiàn)了不同情況 , 因而需對不同情況進行分類， 然后對劃分的每一類分別進行研究和求解。運用分類的思想，通過正確的分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答 . 利于提高學生嚴密的邏輯推理能力和良好的思維品質(zhì). 通過分類討論, 常能化繁為簡, 更清楚地暴露問題的本質(zhì) . 應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學、統(tǒng)一，不重復，不遺漏，并力求最簡.在勾股定理中，主要應(yīng)用分類思想來進行

11、對三角形形狀的分類討論或?qū)σ阎吇螯c所在的位置進行分類討論，完整地求解。例 4 在 ABC中， AB=13,AC=15, 高 AD=12,則 ABC的周長為多少 .分析 : 可以對三角形的形狀進行分類, 不同的形狀高線的位置不同: 銳角三角形的高線在三角形的內(nèi)部，鈍角三角形的高線在三角形的外部，而BC求A解隨高線位置的不同而不同. 所以必須分類來討論三角形的形狀.解： (1) 如圖 4，如果該三角形是銳角三角形時當BC邊上的高線在 ABC內(nèi)部時，如圖所示： ADBCBDC ADB= ADC=90，圖 4 ADB與 ADC為直角三角形 .在 Rt ADB中 ,AB=13,AD=12，根據(jù)勾股定理

12、得BD2=AB2 AD2A BD= AB2AD 213 2122 =5在 Rt ADC中， AC=13,AD=12,根據(jù)勾股定理得DC2=AC2 AD2DC= AC2AD 215 2122 =9DC BC=BD+DC=5+9=14.B ABC的周長 =AB+BC+CA=13+15+14=42圖 5（ 2）如圖 5，如果該三角形是鈍角三角形時 ,BC 邊上的高線在 ABC外部時，同理可得：BC=BD DC=9 5=4 ABC的周長 =AB+BC+CA=13+15+4=32.例 5 有一個面積為160m2的等腰三角形草地，測得它的一邊長為20m. 現(xiàn)要給這塊三角形草四周圍上低矮柵欄，則柵欄的長度為

13、_m.分析：要完整的給出答案就要根據(jù)不同的情況進行分類. 避免造成漏解 . 本題只給出了等腰三角形的一條邊長 , 結(jié)果隨已知邊位置的不同而不同, 所以，可以先對已知的邊長進行分類：該A邊可以為等腰三角形的底， 也可以為等腰三角形的腰; 其次， 對三角形的形狀進行分類：當已知邊為等腰三角形的腰時，這邊上的高既可以在形內(nèi)，也可以在形外.要完整的給出答案就要根據(jù)不同的情況進行分類. 避免造成漏解 .解 :(1) 如圖 6，當已知邊為等腰三角形的底時，BC=20m.作 AD BC于 D， S ABC =160m2，BDC 高 AD=16(m).圖 6 BD= 1 BC=10(m)，在 Rt ADB中，

14、由勾股定理可求得:A2AB=2 89 ，因此柵欄的長度為20+ 4 89 (m).(2) 當已知邊為等腰三角形的腰時，若腰上的高在形內(nèi)，如圖 7， AB=AC=20 m，D S ABC =160m2,BC高 BD=16m，在 Rt ABD中，由勾股定理可求得AD=12m， CD=8m，在 Rt BCD中，由勾股定理有 BC=5，8從而柵欄的長為 40+ 8 5 (m).圖 7若腰上的高在形外，如圖8， AB=AC=20m，D S ABC =160m2，高 BD=16m，在 Rt ABD中，由勾股定理知AD=12m,從而 DC=32m.A在 Rt BCD中，由勾股定理有BC=5m，所以柵欄的長度

15、為1640+16 5 (m)BC20+ 4 89綜上所述，答案應(yīng)填入或 40十8 5或 40+16 5.圖 84 轉(zhuǎn)換思想轉(zhuǎn)換也是數(shù)學中的一種常用重要思維方法, 它是分析問題和解決問題的一種重要思想, 它能將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題 , 把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題, 把復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題 .勾股定理研究的是平面直角三角形中三邊之間的關(guān)系. 但在學習過程中時常會遇到立體圖形上的問題，這時就要考慮到運用轉(zhuǎn)換的思想，把立體圖進行展開等變化，形成熟悉的平面圖形，再利用平面幾何的知識進行求解 .例 6 一長方體禮盒如圖9 所示，其中 A AB B,C C D D 面為邊長為 10 的正方形

16、,BC=20. 在底部 A處有壁虎， C 處有一蚊子，壁虎急于捕捉到墳子充饑.(l) 試確定壁虎所走的最短路線 ;(2) 若立方體禮盒的棱長為 10cm，壁虎要在半分鐘內(nèi)捕捉到墳子，求壁虎的每分鐘至少爬行多少厘米 ( 保留整數(shù) )?分析：求長方體表面兩點間的最短距離時，就可以應(yīng)用轉(zhuǎn)換的思想通將長方體表面展開，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形，就可以利用平面幾何的知識于進行求解.解： (1) 若把禮盒的上底面A，B,C, D 豎立起來，如圖 9 所示，使它與立方體的正面(ABBC ) 在同一平面內(nèi)，然后連結(jié)AC ，根據(jù)“兩點間線段最短”知，線段AC 就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路線.（ 2）由（ 1）得，

17、 ABC 是直角三角形，且AB=10,BC =15， 根據(jù)勾股定理，得A=AB2222CBC=1025 26.93 （ cm）壁虎要在半分鐘內(nèi)捕捉到蚊子，它至少每分鐘爬行約54厘米.DCDCDCDCABABABDCDCABABAB圖 9例 7 有一圓柱物體，如圖所示，一只螞蟻要從A 點繞物體的DB外壁爬行，正好到 A 的正上方相對的B 點處，問螞蟻爬行的最短BD路徑是多少 . （已知物體的地面半徑是2m，高是 4m.）分析：解此題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)換思想， 把圓柱體的側(cè)面展開，得到一個矩形，找出對應(yīng)的 A,B 點在展開圖中的位置利用兩點間的線段最短與勾股定理知識作答 .解：把圓柱體沿AD邊展開，形

18、成一個矩形，A,B 點在矩形中AA的位置如圖所示 .連接 AB，根據(jù)“兩點間線段最短”，則線段AB就是螞蟻爬行的最短路徑.在 Rt DAB中 ,AD=4m,BC=2 , 根據(jù)勾股定理AB=AD2+BC2=16+4 2 5.34m以上四中數(shù)學思想是勾股定理解題中最重要的數(shù)學思想，它們不僅可以相互獨立使用，而且在許多問題解決中都是相互聯(lián)系的，概括這些思想，有助于我們更好地使用這些數(shù)學思想去解決問題，提高解決問題能力。參考文獻 ：1 馬全甫 , 勾股定理與數(shù)學思想的完美結(jié)合J,成功（教育），武漢：湖北人民出版社，2008 年 06 期.2魏華斌，數(shù)學中常用的 5 種轉(zhuǎn)化思想 J ，湖北職業(yè)技術(shù)學院學報，孝感：湖北職業(yè)技術(shù)學院，2008 年 01 期，第 11 卷 .3王勇剛，用分類思想解決數(shù)學問題J ，中學教與學，天津師范大學，2007 年01 期.4