信息與計(jì)算科學(xué)-對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)的性質(zhì)論文

1、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)的性質(zhì)摘要 對(duì)數(shù)正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)非常重要的分布，不僅可以用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以用來(lái)處理經(jīng)濟(jì)上，生活上的問(wèn)題，接下來(lái)就來(lái)介紹一下對(duì)數(shù)正態(tài)分布的由來(lái)，證明，性質(zhì)和應(yīng)用，本文分為五個(gè)部分：第一部分為預(yù)備知識(shí)，介紹了對(duì)數(shù)正態(tài)分布的定義和性質(zhì)，同時(shí)對(duì)性質(zhì)的證明。第二部分介紹了對(duì)數(shù)正態(tài)分布在金融股票方面的應(yīng)用。第三部分介紹了兩個(gè)大數(shù)定律：切比雪夫不等式和伯努利大數(shù)定律。第四部分探討了中心極限定理，分別是獨(dú)立同分布的中心極限定理和棣莫弗-拉普拉斯定理。第五部分研究了對(duì)數(shù)正態(tài)分布的三個(gè)參數(shù)估計(jì)：矩估計(jì)，極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)。關(guān)鍵詞 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 參數(shù)估計(jì) 大數(shù)定律

2、中心極限定理2Properties of parameter estimation of lognormal distributionAbstract Logarithmic normal distribution is one of Probability Theory and mathematical statistics most important distribution. It not only been used solved math problem but also been used solved Economy and life problem. So,I will in

3、troduce the origin of Logarithmic normal distribution, the nature and the application,It will be divided in three parts:The first part is preparatory knowledge, it introduced Logarithmic normal distributions definition and nature, and also the prove of nature.The second part introduced Logarithmic n

4、ormal distribution the application of price model at discrete time and continuous time.The third part introduced two Law of large numbers: Chebyshev inequality and Bernoullis law of large numbers.The fourth part discussed the central limit theorem:Limit center theorem of independent identical distri

5、bution and Timophe Laplace theorem.The fifth part introduced the three parameter estimation of Logarithmic normal distribution: moment estimation, maximum likelihood estimation and Bayesian estimation.Key words Logarithmic normal distribution Parameter estimation Law of large numbers Central limit t

6、heorem目錄引言11. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布簡(jiǎn)介51.1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的定義51.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)52. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的應(yīng)用72.1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布在庫(kù)存品價(jià)格模型中應(yīng)用對(duì)數(shù)分配中的應(yīng)用72.1.1 在離散時(shí)間股票價(jià)格模型中的應(yīng)用72.1.2 在連續(xù)時(shí)間股票價(jià)格模型中的應(yīng)用93 大數(shù)定律123.1切比雪夫大數(shù)定律的定義123.1.1 切比雪夫不等式123.1.2 切比雪夫大數(shù)定律定理123.1.3 切比雪夫大數(shù)定律的統(tǒng)計(jì)意義123.2 伯努利大數(shù)定律133.2.1伯努利大數(shù)定律定理133.2.2 伯努利大數(shù)定律的重要意義134 中心極限定律144.1 基本理論144.1.1 獨(dú)立同分布的中心極

7、限定理144.1.2 棣莫弗-拉普拉斯定理144.1.3從樣本分布到中心極限定理155 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)185.1 矩估計(jì)185.2 極大似然估計(jì)185.3 貝葉斯估計(jì)19參考文獻(xiàn)21致謝221. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布簡(jiǎn)介 1.1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的定義定義 1.1.1 設(shè)是取值為正數(shù)的連續(xù)隨機(jī)變量，若的密度為：即隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，記為.1.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)性質(zhì) 1.2.1：設(shè)隨機(jī)變量，則服從參數(shù)和的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。證明：，根據(jù)定義，性質(zhì)（1）得證。性質(zhì) 1.2.2：設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且則（a,b不全為0的常數(shù)）服從參數(shù)為的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。證明：根據(jù)正態(tài)分布的可加性得到，根據(jù)定義，性質(zhì)

8、1.2.2得證。性質(zhì) 1.2.3：設(shè)隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立的，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（參數(shù)為），服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（參數(shù)為），則（a,b為不全為0的常數(shù)）服從參數(shù)是的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。證明：由題設(shè)知，且相互獨(dú)立，由可加性，得到，性質(zhì)1.2.3得證。同理，可以得到推論：已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從參數(shù)d的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則服從參數(shù)為的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。性質(zhì) 1.2.4：設(shè)總體服從參數(shù)是為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則證明：由提設(shè)置相互獨(dú)立，由正態(tài)分布的可加性，性質(zhì) 1.2.5 設(shè)總體服從參數(shù)為得對(duì)數(shù)正態(tài)分布，為來(lái)自總體得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。令，則證明：令，由題意得是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，而的樣本方差為,根據(jù)抽樣分布定理

9、，得.2. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的應(yīng)用2.1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布在庫(kù)存品價(jià)格模型中應(yīng)用對(duì)數(shù)分配中的應(yīng)用2.1.1 在離散時(shí)間股票價(jià)格模型中的應(yīng)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)當(dāng)中一個(gè)必不可少的分布, 而且在實(shí)際的生活問(wèn)題中有很多的的應(yīng)用。當(dāng)一個(gè)變量被計(jì)算為許多小的獨(dú)立因素的乘積時(shí)，它可以被計(jì)算為動(dòng)脈對(duì)數(shù)的隨機(jī)變量。從理論上講，精確公式和廣泛的研究是指聯(lián)系日志的分布來(lái)詳細(xì)描述金融資產(chǎn)的成本。例如，如果2000年至2020年的指數(shù)股票上漲，每年上漲100至101天。兩天的增長(zhǎng)時(shí)間相同（1%）。至于為什么要取對(duì)數(shù)log(x2/x1)，而不是直接用x2/x1，看一眼對(duì)數(shù)曲線就明白了。(x1,x2分別表示第一天和第二

10、天的股指)例 2.1.1 研究一個(gè)離散時(shí)間股票價(jià)格過(guò)程為當(dāng)前價(jià)格，為第周后的股價(jià)。是已知的，。設(shè)之間是相互獨(dú)立的并且都服從參數(shù)是的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，求出檢查未來(lái)兩周穩(wěn)定上漲的可能性，以及角色在未來(lái)兩周內(nèi)高于當(dāng)前價(jià)格的可能性。解 由題意得則兩周后股價(jià)連續(xù)上漲得概率是兩周后得股票價(jià)格高于當(dāng)前價(jià)格得概率是例 2.1.2 若現(xiàn)在某股票的價(jià)格為S，則過(guò)一個(gè)單位時(shí)間后，它以概率，變?yōu)?，以概率變?yōu)?，幫助變量是象限，并且?000個(gè)單位中計(jì)算的概率可以增加30%，其中解 設(shè)表示經(jīng)過(guò)個(gè)單位時(shí)間后的股價(jià)，則令則于是，所求的概率為又因?yàn)楦鶕?jù)題意可得獨(dú)立同分布，于是獨(dú)立同分布，因此，。由中心極限定理得到近似地服從正態(tài)分布

11、，故2.1.2 在連續(xù)時(shí)間股票價(jià)格模型中的應(yīng)用90年代 Bachelier 發(fā)現(xiàn)了連續(xù)時(shí)間內(nèi)地風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格活動(dòng)規(guī)律可以用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述，從那以后開(kāi)拓了隨機(jī)理論應(yīng)用的新領(lǐng)域。但是作為一個(gè)正常的過(guò)程，布朗運(yùn)動(dòng)可以得到一個(gè)與價(jià)格性質(zhì)完全不匹配的負(fù)值，以布朗運(yùn)動(dòng)為特征的。定義 2.1.1 如果隨機(jī)過(guò)程滿足1） ；2） 是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程；3） 對(duì)任意的，服從正態(tài)分布其中。則稱(chēng)是參數(shù)的布朗運(yùn)動(dòng)。定義2.1.2 假設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)是幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其中.顯然，對(duì)任意的所以，幾何布朗運(yùn)動(dòng)服從參數(shù)是和的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。綜上，可得,.對(duì)于任意的，有由定義 1 知相互獨(dú)立，且都與同分布，于是,與相互獨(dú)立并與同分

12、布，從而和均服從參數(shù)為和的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，也就是與相互獨(dú)立并都服從正態(tài)分布.例 2.1.3 設(shè)小劉有某股票的交割的時(shí)間為，交割的價(jià)格為，他具有在時(shí)刻以固定的價(jià)格，因此從中獲取利益，不然會(huì)被認(rèn)為是放棄期權(quán)。如果這類(lèi)股票目前定的價(jià)格為，股票價(jià)格按照參數(shù)。求這種期權(quán)的平均價(jià)值。解 設(shè)表示時(shí)刻的股票價(jià)格，由題設(shè)知,若高于時(shí)，期權(quán)將被執(zhí)行，則在時(shí)刻的期望價(jià)值為因?yàn)?其概率密度函數(shù)為：,所以,故.已知的B-S定價(jià)模型必須滿足以下假設(shè)：股票不分紅；這個(gè)比例不支付處方費(fèi)，是一種賣(mài)空機(jī)制；在期權(quán)有效期內(nèi)沒(méi)有每次購(gòu)買(mǎi)的交易成本和稅收以及重復(fù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；從向上移動(dòng)，股票價(jià)格遵循伊藤過(guò)程 式中：是股票年預(yù)期收益率；是

13、瞬時(shí)價(jià)格期望漂移率;是股票價(jià)格年波動(dòng)率;是價(jià)格的瞬時(shí)方差率的平方根;維納過(guò)程,取極限形式,則有 ;e是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中取得的一個(gè)隨機(jī)值;是時(shí)間。3. 大數(shù)定律3.1切比雪夫大數(shù)定律的定義定義 3.1.1 假設(shè)隨機(jī)變量序列，隨機(jī)變量，倘若對(duì)于任意的正數(shù)有：或則稱(chēng)依概率收斂于，記為或3.1.1 切比雪夫不等式方差是用于刻畫(huà)隨機(jī)變量的值在數(shù)學(xué)期望的離散程度的，對(duì)于任意的正數(shù)來(lái)說(shuō)，事件發(fā)生的概率大小和相關(guān)。而這種關(guān)系則稱(chēng)為切比雪夫不等式：其中,是期望,是標(biāo)準(zhǔn)差。3.1.2 切比雪夫大數(shù)定律定理設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，并且方差是有上界的，即存在常數(shù)，使得，則對(duì)任意的正數(shù)，有3.1.3 切

14、比雪夫大數(shù)定律的統(tǒng)計(jì)意義一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算，例如從前到后的差分，所以它是根據(jù)算術(shù)隨機(jī)發(fā)現(xiàn)的：當(dāng)趨于充分大的時(shí)候，其值會(huì)緊密地集中在數(shù)學(xué)期望附近。3.2 伯努利大數(shù)定律3.2.1伯努利大數(shù)定律定理設(shè)是重伯努利試驗(yàn)的事件重復(fù)的事件數(shù)，且在每個(gè)事件發(fā)生的概率是，那么對(duì)任意的正數(shù)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)為時(shí)，3.2.2 伯努利大數(shù)定律的重要意義在相同條件下重復(fù)試驗(yàn)幾次，隨機(jī)事件的頻率，將穩(wěn)定在事件的頻率附近，即頻率收斂于概率。4. 中心極限定律4.1 基本理論4.1.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理定義4.1.1 假設(shè)隨機(jī)變量之間是相互獨(dú)立的，并且都服從同一個(gè)分布，都有數(shù)學(xué)期望和方差：，且將隨機(jī)變量之和進(jìn)

15、行標(biāo)準(zhǔn)化后得到：的分布函數(shù)滿足這個(gè)極限量可以導(dǎo)出為均值、為方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。當(dāng)足夠大的時(shí)候，它的標(biāo)準(zhǔn)化變量，即的分布則被認(rèn)為是符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的。4.1.2 棣莫弗-拉普拉斯定理假設(shè)獨(dú)立測(cè)試序列的概率是事件的概率，隨機(jī)變量指事件在次試驗(yàn)中會(huì)發(fā)生的數(shù)目，則是服從二項(xiàng)分布的，所以對(duì)任于意的實(shí)數(shù)，都有當(dāng)可以充分大的時(shí)候，隨機(jī)變量則近似地服從正態(tài)分布的，所以當(dāng)足夠大的時(shí)候，則用正態(tài)分布求出近似的計(jì)算二項(xiàng)分布：4.1.3從樣本分布到中心極限定理假設(shè)總體一共含有個(gè)元素，從當(dāng)中隨機(jī)抽取樣本量為的樣本：采用重復(fù)抽樣的方法來(lái)抽取，總共可以抽出種可能的樣本；而采用不重復(fù)的抽樣方法，總共可以抽出種可能的樣

16、本。如果獲得每個(gè)樣品的平均量，則不需要結(jié)果。例 假設(shè)一個(gè)總體由4個(gè)元素組成，分別為，對(duì)他們?nèi)≈?，令其分別為1，2，3，4。用重復(fù)抽樣的方法來(lái)抽取，從總樣本量抽2和3的樣本，即，算出樣本均值，求出概率分布。解 由題意得，總體是均勻分布的序號(hào) 樣本中的元素 樣本均值11，11.021，21.531，32.041，42.552，11.562，22.072，32.582，43.093，12.0103，22.5113，33.0123，43.5134，13.5144，23.0154，33.5164，44.0表 4.1.1 16種可能的樣本及其均值樣本均值的分布見(jiàn)表2的取值的個(gè)數(shù)取值的概率1.011/161

17、.522/162.023/162.544/163.033/163.522/164.011/16表 4.1.2 樣本均值的分布得到：當(dāng)時(shí)，可獲得16種可能存在的樣本，總體和樣本均值與方差間表3.類(lèi)別均值方差總體樣本均值表 4.1.3 總體和樣本均值的均值與方差當(dāng)時(shí)，可獲得46鐘可能存在得樣本，此時(shí)樣本均值見(jiàn)表4種類(lèi)N極小值極大值均值標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)差V564142.500.0810.651有效的N64-表 4.1.4 樣本均值的描述統(tǒng)計(jì)量由此可得。而。實(shí)際上，樣本均值的分布與抽樣總體的分布及樣本量的大小密切相關(guān)。5. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)5.1 矩估計(jì)核心主要是從樣本來(lái)估計(jì)總體矩，所以先計(jì)算對(duì)數(shù)正態(tài)

18、總體的期望與方差。令5.2 極大似然估計(jì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的似然函數(shù)是指似然函數(shù)，分別是在正態(tài)分布的條件下，所以也分別是對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的最小方差無(wú)偏估計(jì)。5.3 貝葉斯估計(jì)設(shè)，所以樣本參數(shù)的后驗(yàn)分布為情形時(shí)，的貝葉斯估計(jì)為由對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量與正態(tài)隨機(jī)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得給定樣本時(shí)的貝葉斯估計(jì)為某種硬幣每次正面向上的概率為R，并且拋出去后都是R，R的先驗(yàn)分布的概率密度函數(shù)如下。試求R的后驗(yàn)分布。設(shè)朝上的機(jī)次為S，R的可使用連續(xù)貝葉斯公式實(shí)現(xiàn)后續(xù)分配的概率函數(shù)：參考文獻(xiàn)1 茆彭宇，彭玉星，子龍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)M. 北京: 北京出版社， 2031: 54.2 楊戰(zhàn)意，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)應(yīng)用M. 合肥: 合肥出版社出版， 2005.3 于妞妞，趙紹凱. 大數(shù)定律與中心極限定理之相關(guān)聯(lián)系J. 高等數(shù)學(xué)研究, 2001: 108110. 4 洋溢