信息與計算科學-對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計的性質(zhì)論文

1、對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計的性質(zhì)摘要 對數(shù)正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中一個非常重要的分布，不僅可以用來解決數(shù)學問題，也可以用來處理經(jīng)濟上，生活上的問題，接下來就來介紹一下對數(shù)正態(tài)分布的由來，證明，性質(zhì)和應用，本文分為五個部分：第一部分為預備知識，介紹了對數(shù)正態(tài)分布的定義和性質(zhì)，同時對性質(zhì)的證明。第二部分介紹了對數(shù)正態(tài)分布在金融股票方面的應用。第三部分介紹了兩個大數(shù)定律：切比雪夫不等式和伯努利大數(shù)定律。第四部分探討了中心極限定理，分別是獨立同分布的中心極限定理和棣莫弗-拉普拉斯定理。第五部分研究了對數(shù)正態(tài)分布的三個參數(shù)估計：矩估計，極大似然估計和貝葉斯估計。關鍵詞 對數(shù)正態(tài)分布 參數(shù)估計 大數(shù)定律

2、中心極限定理2Properties of parameter estimation of lognormal distributionAbstract Logarithmic normal distribution is one of Probability Theory and mathematical statistics most important distribution. It not only been used solved math problem but also been used solved Economy and life problem. So,I will in

3、troduce the origin of Logarithmic normal distribution, the nature and the application,It will be divided in three parts:The first part is preparatory knowledge, it introduced Logarithmic normal distributions definition and nature, and also the prove of nature.The second part introduced Logarithmic n

4、ormal distribution the application of price model at discrete time and continuous time.The third part introduced two Law of large numbers: Chebyshev inequality and Bernoullis law of large numbers.The fourth part discussed the central limit theorem:Limit center theorem of independent identical distri

5、bution and Timophe Laplace theorem.The fifth part introduced the three parameter estimation of Logarithmic normal distribution: moment estimation, maximum likelihood estimation and Bayesian estimation.Key words Logarithmic normal distribution Parameter estimation Law of large numbers Central limit t

6、heorem目錄引言11. 對數(shù)正態(tài)分布簡介51.1 對數(shù)正態(tài)分布的定義51.2 對數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)52. 對數(shù)正態(tài)分布的應用72.1 對數(shù)正態(tài)分布在庫存品價格模型中應用對數(shù)分配中的應用72.1.1 在離散時間股票價格模型中的應用72.1.2 在連續(xù)時間股票價格模型中的應用93 大數(shù)定律123.1切比雪夫大數(shù)定律的定義123.1.1 切比雪夫不等式123.1.2 切比雪夫大數(shù)定律定理123.1.3 切比雪夫大數(shù)定律的統(tǒng)計意義123.2 伯努利大數(shù)定律133.2.1伯努利大數(shù)定律定理133.2.2 伯努利大數(shù)定律的重要意義134 中心極限定律144.1 基本理論144.1.1 獨立同分布的中心極

7、限定理144.1.2 棣莫弗-拉普拉斯定理144.1.3從樣本分布到中心極限定理155 對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計185.1 矩估計185.2 極大似然估計185.3 貝葉斯估計19參考文獻21致謝221. 對數(shù)正態(tài)分布簡介 1.1 對數(shù)正態(tài)分布的定義定義 1.1.1 設是取值為正數(shù)的連續(xù)隨機變量，若的密度為：即隨機變量服從對數(shù)正態(tài)分布，記為.1.2 對數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)性質(zhì) 1.2.1：設隨機變量，則服從參數(shù)和的對數(shù)正態(tài)分布。證明：，根據(jù)定義，性質(zhì)（1）得證。性質(zhì) 1.2.2：設隨機變量與相互獨立，且則（a,b不全為0的常數(shù)）服從參數(shù)為的對數(shù)正態(tài)分布。證明：根據(jù)正態(tài)分布的可加性得到，根據(jù)定義，性質(zhì)

8、1.2.2得證。性質(zhì) 1.2.3：設隨機變量與是相互獨立的，服從對數(shù)正態(tài)分布（參數(shù)為），服從對數(shù)正態(tài)分布（參數(shù)為），則（a,b為不全為0的常數(shù)）服從參數(shù)是的對數(shù)正態(tài)分布。證明：由題設知，且相互獨立，由可加性，得到，性質(zhì)1.2.3得證。同理，可以得到推論：已知隨機變量相互獨立，且服從參數(shù)d的對數(shù)正態(tài)分布，則服從參數(shù)為的對數(shù)正態(tài)分布。性質(zhì) 1.2.4：設總體服從參數(shù)是為來自總體的簡單隨機樣本，則證明：由提設置相互獨立，由正態(tài)分布的可加性，性質(zhì) 1.2.5 設總體服從參數(shù)為得對數(shù)正態(tài)分布，為來自總體得簡單隨機樣本。令，則證明：令，由題意得是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，而的樣本方差為,根據(jù)抽樣分布定理

9、，得.2. 對數(shù)正態(tài)分布的應用2.1 對數(shù)正態(tài)分布在庫存品價格模型中應用對數(shù)分配中的應用2.1.1 在離散時間股票價格模型中的應用對數(shù)正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計當中一個必不可少的分布, 而且在實際的生活問題中有很多的的應用。當一個變量被計算為許多小的獨立因素的乘積時，它可以被計算為動脈對數(shù)的隨機變量。從理論上講，精確公式和廣泛的研究是指聯(lián)系日志的分布來詳細描述金融資產(chǎn)的成本。例如，如果2000年至2020年的指數(shù)股票上漲，每年上漲100至101天。兩天的增長時間相同（1%）。至于為什么要取對數(shù)log(x2/x1)，而不是直接用x2/x1，看一眼對數(shù)曲線就明白了。(x1,x2分別表示第一天和第二

10、天的股指)例 2.1.1 研究一個離散時間股票價格過程為當前價格，為第周后的股價。是已知的，。設之間是相互獨立的并且都服從參數(shù)是的對數(shù)正態(tài)分布，求出檢查未來兩周穩(wěn)定上漲的可能性，以及角色在未來兩周內(nèi)高于當前價格的可能性。解 由題意得則兩周后股價連續(xù)上漲得概率是兩周后得股票價格高于當前價格得概率是例 2.1.2 若現(xiàn)在某股票的價格為S，則過一個單位時間后，它以概率，變?yōu)椋愿怕首優(yōu)?，幫助變量是象限，并且?000個單位中計算的概率可以增加30%，其中解 設表示經(jīng)過個單位時間后的股價，則令則于是，所求的概率為又因為根據(jù)題意可得獨立同分布，于是獨立同分布，因此，。由中心極限定理得到近似地服從正態(tài)分布

11、，故2.1.2 在連續(xù)時間股票價格模型中的應用90年代 Bachelier 發(fā)現(xiàn)了連續(xù)時間內(nèi)地風險資產(chǎn)的價格活動規(guī)律可以用布朗運動來描述，從那以后開拓了隨機理論應用的新領域。但是作為一個正常的過程，布朗運動可以得到一個與價格性質(zhì)完全不匹配的負值，以布朗運動為特征的。定義 2.1.1 如果隨機過程滿足1） ；2） 是平穩(wěn)獨立增量過程；3） 對任意的，服從正態(tài)分布其中。則稱是參數(shù)的布朗運動。定義2.1.2 假設是標準布朗運動，稱是幾何布朗運動，其中.顯然，對任意的所以，幾何布朗運動服從參數(shù)是和的對數(shù)正態(tài)分布。綜上，可得,.對于任意的，有由定義 1 知相互獨立，且都與同分布，于是,與相互獨立并與同分

12、布，從而和均服從參數(shù)為和的對數(shù)正態(tài)分布，也就是與相互獨立并都服從正態(tài)分布.例 2.1.3 設小劉有某股票的交割的時間為，交割的價格為，他具有在時刻以固定的價格，因此從中獲取利益，不然會被認為是放棄期權。如果這類股票目前定的價格為，股票價格按照參數(shù)。求這種期權的平均價值。解 設表示時刻的股票價格，由題設知,若高于時，期權將被執(zhí)行，則在時刻的期望價值為因為,其概率密度函數(shù)為：,所以,故.已知的B-S定價模型必須滿足以下假設：股票不分紅；這個比例不支付處方費，是一種賣空機制；在期權有效期內(nèi)沒有每次購買的交易成本和稅收以及重復的無風險利率；從向上移動，股票價格遵循伊藤過程 式中：是股票年預期收益率；是

13、瞬時價格期望漂移率;是股票價格年波動率;是價格的瞬時方差率的平方根;維納過程,取極限形式,則有 ;e是標準正態(tài)分布中取得的一個隨機值;是時間。3. 大數(shù)定律3.1切比雪夫大數(shù)定律的定義定義 3.1.1 假設隨機變量序列，隨機變量，倘若對于任意的正數(shù)有：或則稱依概率收斂于，記為或3.1.1 切比雪夫不等式方差是用于刻畫隨機變量的值在數(shù)學期望的離散程度的，對于任意的正數(shù)來說，事件發(fā)生的概率大小和相關。而這種關系則稱為切比雪夫不等式：其中,是期望,是標準差。3.1.2 切比雪夫大數(shù)定律定理設獨立隨機變量序列的數(shù)學期望和方差都存在，并且方差是有上界的，即存在常數(shù)，使得，則對任意的正數(shù)，有3.1.3 切

14、比雪夫大數(shù)定律的統(tǒng)計意義一個獨立隨機變量序列通過數(shù)學運算，例如從前到后的差分，所以它是根據(jù)算術隨機發(fā)現(xiàn)的：當趨于充分大的時候，其值會緊密地集中在數(shù)學期望附近。3.2 伯努利大數(shù)定律3.2.1伯努利大數(shù)定律定理設是重伯努利試驗的事件重復的事件數(shù)，且在每個事件發(fā)生的概率是，那么對任意的正數(shù)，當實驗數(shù)為時，3.2.2 伯努利大數(shù)定律的重要意義在相同條件下重復試驗幾次，隨機事件的頻率，將穩(wěn)定在事件的頻率附近，即頻率收斂于概率。4. 中心極限定律4.1 基本理論4.1.1 獨立同分布的中心極限定理定義4.1.1 假設隨機變量之間是相互獨立的，并且都服從同一個分布，都有數(shù)學期望和方差：，且將隨機變量之和進

15、行標準化后得到：的分布函數(shù)滿足這個極限量可以導出為均值、為方差的獨立同分布的隨機變量。當足夠大的時候，它的標準化變量，即的分布則被認為是符合標準正態(tài)分布的。4.1.2 棣莫弗-拉普拉斯定理假設獨立測試序列的概率是事件的概率，隨機變量指事件在次試驗中會發(fā)生的數(shù)目，則是服從二項分布的，所以對任于意的實數(shù)，都有當可以充分大的時候，隨機變量則近似地服從正態(tài)分布的，所以當足夠大的時候，則用正態(tài)分布求出近似的計算二項分布：4.1.3從樣本分布到中心極限定理假設總體一共含有個元素，從當中隨機抽取樣本量為的樣本：采用重復抽樣的方法來抽取，總共可以抽出種可能的樣本；而采用不重復的抽樣方法，總共可以抽出種可能的樣

16、本。如果獲得每個樣品的平均量，則不需要結果。例 假設一個總體由4個元素組成，分別為，對他們?nèi)≈?，令其分別為1，2，3，4。用重復抽樣的方法來抽取，從總樣本量抽2和3的樣本，即，算出樣本均值，求出概率分布。解 由題意得，總體是均勻分布的序號 樣本中的元素 樣本均值11，11.021，21.531，32.041，42.552，11.562，22.072，32.582，43.093，12.0103，22.5113，33.0123，43.5134，13.5144，23.0154，33.5164，44.0表 4.1.1 16種可能的樣本及其均值樣本均值的分布見表2的取值的個數(shù)取值的概率1.011/161

17、.522/162.023/162.544/163.033/163.522/164.011/16表 4.1.2 樣本均值的分布得到：當時，可獲得16種可能存在的樣本，總體和樣本均值與方差間表3.類別均值方差總體樣本均值表 4.1.3 總體和樣本均值的均值與方差當時，可獲得46鐘可能存在得樣本，此時樣本均值見表4種類N極小值極大值均值標準誤標準差V564142.500.0810.651有效的N64-表 4.1.4 樣本均值的描述統(tǒng)計量由此可得。而。實際上，樣本均值的分布與抽樣總體的分布及樣本量的大小密切相關。5. 對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計5.1 矩估計核心主要是從樣本來估計總體矩，所以先計算對數(shù)正態(tài)

18、總體的期望與方差。令5.2 極大似然估計對數(shù)正態(tài)分布的似然函數(shù)是指似然函數(shù)，分別是在正態(tài)分布的條件下，所以也分別是對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的最小方差無偏估計。5.3 貝葉斯估計設，所以樣本參數(shù)的后驗分布為情形時，的貝葉斯估計為由對數(shù)正態(tài)隨機變量與正態(tài)隨機變量的對應關系，可得給定樣本時的貝葉斯估計為某種硬幣每次正面向上的概率為R，并且拋出去后都是R，R的先驗分布的概率密度函數(shù)如下。試求R的后驗分布。設朝上的機次為S，R的可使用連續(xù)貝葉斯公式實現(xiàn)后續(xù)分配的概率函數(shù)：參考文獻1 茆彭宇，彭玉星，子龍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎M. 北京: 北京出版社， 2031: 54.2 楊戰(zhàn)意，數(shù)理統(tǒng)計的基礎應用M. 合肥: 合肥出版社出版， 2005.3 于妞妞，趙紹凱. 大數(shù)定律與中心極限定理之相關聯(lián)系J. 高等數(shù)學研究, 2001: 108110. 4 洋溢