教師要比教材走得遠(yuǎn)

1、教師要比教材走得遠(yuǎn) 有學(xué)者指出：教師的教學(xué)能力、教師的學(xué)科知識(shí)視野，是數(shù)學(xué)課程改革的相關(guān)實(shí)踐給予的一個(gè)重要啟示與教訓(xùn)。因此，在實(shí)踐課程改革的過程中，我們需要不斷地審視自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)與課程內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)，努力做到對(duì)整個(gè)課程內(nèi)容體系的“全景”把握，俯瞰自己所教學(xué)的課程內(nèi)容。下面將以具體的課程內(nèi)容“雞兔同籠問題”來談?wù)勎业囊恍┨剿骱退伎肌?人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)的第7章的“數(shù)學(xué)廣角”，主要內(nèi)容就是解決“雞兔同籠”類型的問題。教材在本章一開始就拋出了這道歷史名題，但并沒有立即著手解決它，而是通過簡(jiǎn)化的問題（8個(gè)頭、26只腳的情形）來引出解決問題的各種方法，最后再通過“你能試著用上面的方法解決前面的雞

2、兔同籠問題嗎？”的提示讓學(xué)生模仿所介紹的解決方法來解決本章開頭提出的問題。隨后，教材在練習(xí)二十六中設(shè)置了一系列變式問題供學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的練習(xí)。配套的教師用書指出，本章的教學(xué)目標(biāo)是“讓學(xué)生經(jīng)歷從猜測(cè)到用假設(shè)法和列方程的方法解決問題的探究過程，同時(shí)學(xué)習(xí)和體驗(yàn)解決雞兔同籠問題的不同思路和方法，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性及允許學(xué)生自行選用不同方法解決問題而不強(qiáng)求統(tǒng)一解法”。這實(shí)際上是指出了解決問題方法多樣化的具體教學(xué)要求。既然教材鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解決問題，那么，我們自然要追問：解決雞兔同籠問題的方法僅僅如本章教材所介紹的那么多嗎？還有沒有其他方法？本單元知識(shí)在整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系中的聯(lián)系如何？既然教學(xué)不等

3、同于“教教材”，我們教師應(yīng)該反思自己能比教材走得多遠(yuǎn)。 【反思一】對(duì)于雞兔同籠問題，還有不同的解法嗎？ 如果將猜測(cè)也當(dāng)做一種解法，那么教材里呈現(xiàn)的例1的解法，已經(jīng)有5種之多。 解法1（猜測(cè)法）：猜測(cè)哪一組雞兔數(shù)目的組合滿足題意，是3只兔、5只雞嗎？還是4只雞、4只兔？ 解法2（枚舉法）：按照雞的數(shù)目從最大（8只）到0來列舉所有可能的雞兔數(shù)目組合，從中找出滿足題意的數(shù)目組合。 解法3（假設(shè)引出腳數(shù)差）：假設(shè)全部是雞，通過腳數(shù)的差異找到兔子數(shù)，再得到雞數(shù)。 解法4（列一元一次方程求解）：略。 解法5（用“雞兔抬腳”的奇思妙想求解）：略。 這些解法大體上是按照從算術(shù)解法到代數(shù)解法的順序編排的，突出了

4、代數(shù)解法的一般性。然而，對(duì)于這個(gè)問題，還有不同的解法嗎？作為教師，我們是否應(yīng)該儲(chǔ)備更多的解法呢？答案是肯定的。 比如，這個(gè)問題還可以用二元一次方程組來求解。設(shè)籠子里有雞x只、兔y只，則x+y=35，4 y+2 x =94。解之得到x=23，y=12。此外，當(dāng)然還有其他解法，教材為了突出代數(shù)方法的一般性，所以只呈現(xiàn)了一部分解法。再加上二元一次方程組需要等到初中才正式學(xué)習(xí)，所以，教材將這種解法省略掉了。 【反思二】“雞兔同籠問題”的教材編排體系如何？ 盡管教材僅僅是將上面提到的各種解決方法當(dāng)作供學(xué)生“模仿”的例子，但我們作為教師，是不應(yīng)該停留在“模仿”的階段上，應(yīng)該善于拓展教學(xué)空間，儲(chǔ)備更多的知識(shí)

5、，走得比教材遠(yuǎn)。正如俗話所說 “要教給學(xué)生一杯水，自己得先有一桶水”，我們要能統(tǒng)觀“雞兔同籠問題”在整個(gè)教材體系中的編排。 首先，在五年級(jí)上冊(cè)的第四章“簡(jiǎn)易方程”中，教材已經(jīng)在練習(xí)十三當(dāng)中設(shè)置了一道這樣的練習(xí)題：雞和兔的數(shù)量相同，兩種動(dòng)物的腿加起來共有48條，雞和兔各有多少只？在那里，學(xué)生主要是用方程來求解的，至于將代數(shù)方法和方程方法專門對(duì)比、深化，這是在六年級(jí)上冊(cè)才進(jìn)行的。而除了溝通算術(shù)解法與代數(shù)解法，我們還應(yīng)能夠預(yù)期由本章各種解法向中學(xué)階段二元一次方程組內(nèi)容延伸的前景。而這些知識(shí)聯(lián)系的空間，就是學(xué)生學(xué)科發(fā)展的空間。能否把握這個(gè)空間，是判斷教師學(xué)科知識(shí)水平的一個(gè)重要指標(biāo)。 【反思三】如何夯實(shí)

6、學(xué)生學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)？ 課本設(shè)置的雞兔同籠問題類型的練習(xí)題，包括各種各樣的求兩樣事物各幾何的問題：龜鶴40只，腳112只；38人租大船和小船共8只，分別可載6人和4人；12人植樹，男生每人種3棵樹，女生每人種2棵樹，共32棵樹；自行車三輪車共10輛，26個(gè)輪子；籃球比賽3分球與2分球，張鵬投了15個(gè)進(jìn)了9個(gè)，共21分；大珠小珠共30個(gè)重266克，大珠單個(gè)重11克，小珠單個(gè)重7克；答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題扣6分，答10題得36分；37名學(xué)生分科技類小組和藝術(shù)類小組，科技類小組每組5人，藝術(shù)類小組每組3人，現(xiàn)分9個(gè)小組；有2分和5分硬幣共b枚，錢的總數(shù)為a元，兩種硬幣各幾何；花了231元買足球和籃

7、球共6個(gè)，足球每個(gè)42元，籃球每個(gè)36元；100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚一人3個(gè)，小和尚三人1個(gè)這些題目涵蓋了各種生活情境。對(duì)此，教材的導(dǎo)向很明確，既要使學(xué)生佩服古人的奇思妙想和聰明才智，也要讓學(xué)生能夠在多種解決方法的探索和對(duì)比當(dāng)中認(rèn)識(shí)到解決問題策略的多樣性和代數(shù)方法的優(yōu)越性，從而促進(jìn)其邏輯推理能力的發(fā)展，鍛煉學(xué)生觀察、分析、推理和解決問題的能力。因而，通過解決這一系列問題，讓學(xué)生善于在不同的情境中把握問題的本質(zhì)，這顯然就是學(xué)生學(xué)科發(fā)展的基石，應(yīng)該成為一個(gè)最基本的教學(xué)要求。對(duì)此，我們又應(yīng)該如何把握呢？ 首先，我們需要引領(lǐng)學(xué)生辨別雞兔同籠問題的本質(zhì)。比如，通過練習(xí)二十六中的這一道題目“盒子里

8、裝著5分和2分的硬幣，一人從盒中任意取出硬幣若干，并說出硬幣的個(gè)數(shù)和總錢數(shù)，另一人來猜其中5分硬幣有幾個(gè)?！逼鋵?shí)能夠幫助學(xué)生獲得進(jìn)一步的精細(xì)化認(rèn)識(shí)：盡管這里的“5分”不是一個(gè)偶數(shù)（例題里的雞和兔的腳數(shù)都是偶數(shù)），但它仍然適用類似的解決方法。由此，可以延伸出例題當(dāng)中的“腳數(shù)”可以是任意整數(shù)的認(rèn)識(shí)。這樣就排除了奇（偶）數(shù)這個(gè)非本質(zhì)信息。類似的，關(guān)于搶答加分和扣分的問題，也讓學(xué)生對(duì)于“腳數(shù)”這個(gè)量的認(rèn)識(shí)得到拓展。這些類似的拓展信息，其實(shí)都不是解決這類問題的本質(zhì)。其次，我們需要讓學(xué)生明確，解決此類問題，關(guān)鍵就在于如何辨別問題中與例題中的“雞”“兔”相對(duì)應(yīng)的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對(duì)應(yīng)的量，并能夠?qū)?/p>

9、例題中的數(shù)量關(guān)系遷移到新的問題情境中。而只有“雞”“兔”相對(duì)應(yīng)的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對(duì)應(yīng)的量，這四個(gè)量之間的關(guān)系及其聯(lián)結(jié)著的結(jié)構(gòu)，才是這類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。只有把握了這個(gè)本質(zhì)結(jié)構(gòu)，學(xué)生才能獲得解決這類問題的一般經(jīng)驗(yàn)，這才是學(xué)生跨越“模仿”教師和例題，獲得學(xué)科能力發(fā)展的關(guān)鍵。因此，在教學(xué)當(dāng)中，我們不能僅僅帶領(lǐng)學(xué)生解完問題以后就戛然而止，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決這些眾多問題的過程進(jìn)行回顧與反思，將學(xué)生的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步升華到這個(gè)本質(zhì)結(jié)構(gòu)的理解上去。這就是我們需要幫學(xué)生夯實(shí)的“基礎(chǔ)”。 事實(shí)上，以上幾個(gè)方面包括了對(duì)教學(xué)內(nèi)容拓展空間的反思、對(duì)課程內(nèi)容編排體系的反思、對(duì)學(xué)生發(fā)展基點(diǎn)的反思，這樣的立體式思考，就構(gòu)成了對(duì)該教學(xué)單元的“解剖麻雀式”的思考，從而使我們獲得了對(duì)該單元課程內(nèi)容的整體把握。而這種思考的線索，無疑也能為我們對(duì)其他教學(xué)內(nèi)容的思考產(chǎn)生一定的啟發(fā)。 學(xué)科知識(shí)并不是成功教學(xué)所需要知識(shí)的全部，但它是教學(xué)的必要條件，對(duì)教學(xué)起著重要的影響作用。我們不僅要把握好教材載明的對(duì)于“雞兔同籠”問題的各種教學(xué)要求和建議，還要擁有一個(gè)基于整個(gè)義務(wù)教育一貫制課程的“全局視野”，能夠