4-5數(shù)學歸納法證明不等式單元整合學案

1、精品資源第四講數(shù)學歸納法證明不等式單元整合歡迎下載知識絡(luò).數(shù)學歸納法原理數(shù)學歸納v 法貝努利不等式證明不等式f其他不等式:整除問題 幾何問題 數(shù)學歸納法應(yīng)用 等式問題專題探究專題一正確使用數(shù)學歸納法同學們在剛 學習數(shù)學歸納法時，常常會遇到兩個困難，一是數(shù)學歸納法的思想實質(zhì)不 容易理解，二是歸納步驟的證明有時感到難以入手.本專題將對兩種常見的錯誤進行討論、 整理，以幫助學生進一步理解數(shù)學歸納法的原理，弄清它的實質(zhì)，從而明確如何正確地使用數(shù)學歸納法.(1)缺少數(shù)學歸納法的第二步.有人覺得如果一個命題對于開頭的一些自然數(shù)都成立，那么由p(k)成立導出p(k+1)成立是必然的，因此第二步歸納步驟是流于

2、形式， 證與不證似乎一樣，顯然這是不正確的.產(chǎn) 生這種錯誤想法的原因在于沒有認識到歸納步驟所起的遞推作用，如果沒有遞推性，那么一個命題可能對于開頭的許多自然數(shù)都成立，但是一般的并不成立，我們舉幾個例子看看.n十七世紀法國卓越的數(shù)學家費爾瑪考查了形如22十1的數(shù)，n=0,1,2,3,4 時，它的值分別為3,5,17,257,65 537. 這5個數(shù)都是質(zhì)數(shù).因此費爾瑪就猜想：對于任意的自然數(shù) n, 式子22n+1的值都是質(zhì)數(shù).但是在十八世紀另一位卓越的數(shù)學家歐拉指出n=5時，252 +1 =4 294 967 297 = 641 x 6 700 417.是個合數(shù)，費爾瑪?shù)牟孪脲e了.這就充分說明我

3、們不能把不完全歸納法當成證明，用數(shù)學歸納法證明時第二步不可缺 少.(2)缺少數(shù)學歸納法的第一步.也有人覺得既然第二步歸納步驟中有遞推作用，而且k又可以任意取值，這樣就夠了，有沒有第一步 r1)無關(guān)緊要.這種認識也是錯誤的，它忽視了第一步的奠基作用，因為如果沒有p(1)成立，歸納假設(shè)p(k)成立就沒有了依據(jù)，因此遞推性也就成了無 之水，無本之 木，下面我們看一個這樣的例子.【例】如果不要奠基步驟，我們就可以證明(n+ 1) 2+ ( n+ 2)2一定是偶數(shù)(n c n+).剖析：假設(shè)n=k時命題成立，即(k+1)2+(k+ 2) 2是偶數(shù).當n=k+ 1時,(k+ 1) + 12+ ( k+ 1

4、)+22=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1) +4=(k+1)2+(k+2)2 + 4(k+2).由假設(shè)(k+1)2+(k+2)2是偶數(shù)，又4( k+2)也是偶數(shù)，所以上式是偶數(shù)，這就是說n=k+1時命題也成立.由此，對于任意的正整數(shù) n, (n+1)2+(n+2)2一定是偶數(shù).這個結(jié)論顯然是錯誤的，原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟，實際上，n=1時，(1 + 1)2+(1 +2) 2=4+9= 13不是偶數(shù)，這說明使用數(shù)學歸納法時缺第一步不可.應(yīng)用用數(shù)學歸納法證明，對于nc n+,1x2 +2x3 + 3x4+ + n(n+1)nn+ 1證明：(1)當n= 1時，左邊=t-r=-,右

5、邊=-, 1 a z 22所以等式成立.(2)假設(shè)n= k時等式成立，即1x2 +2*3+31)時，等式成立，即 13+23+ - + k3= (1 +2+ - + k)2.當 n = k+i 時，13+23+ k3+(k+l)3=(1 +2+ + k)2+(k+1)3跖k+ 1)3=法+4+1)12、乙1d)=1+2+一k+(k+l) 2,即當n=k+ 1時，原等式也成立.綜合（1）（2）可知，又任何ncn+,原等式都成立.應(yīng)用2設(shè)a, b為正數(shù),n nk ,求證:提示：這是一個不等式證明問題，它涉及全體正整數(shù)n,用數(shù)學歸納法證明., a+ b a+ b _ ,證明：（1）當n=1時，,顯然

6、成立.（2）假設(shè)當n=k（kcnk, k1）時，不等式成立,ak+bk 即一a + b:-2-則n=k+1時，要證明不等式成立，即證明ak+1 + bk+1a+bk+1 t.ak+bk在一ia+bk , ，一 a+b -f兩邊同時乘以7得(a+b)( ak+ bk)自+b +1412 j .ak+1 + bk+1 要證明一2一亨只需證明ak+1 + bk+1 (a+b)( ak+ bk)因為a1 + bk+1224ja+b)( ak+bk)云4u 2（ak+1+bk+1） （a+ b）（ ak+bk）u 2（尸+1）-（b+ abk+bak +bk+1） 0u ak+1-abk-bak+ bk

7、+10u（ a - b）（ ak- bk） 0.又a b與（akbk）同正負（或同時為0）,所以最后一個不等式顯然成立，這就證明了當n= k+ 1時，不等式成立.綜合（1）（2）可知，又壬何nc n+,不等式 既也島2）成立.2 .放縮法涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“ k”過渡到“ k+1”，有時也考慮用放縮法.應(yīng)用3求證:1十萬十司+ n-5(nc ni+) 2 322提示：利用數(shù)學歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮、湊假設(shè)、湊結(jié)論.但要注意從n =k變化到n= k+1時增加了多少項，減少了多少項，一般用f (k+1)f(k)研究增加或減少的項的多少.,1,證明：(1)當n= 1時，左邊=1,右

8、邊=2,左邊右邊，不等式成立.當n = k+1時,1111-112 3k_22- 12k工項+，k + 2kixj =_2k_2.,2k+ 12(2)假設(shè)n=k(kc n+, k1)時，不等式成立,，n=k+1時，不等式成立.1 11nl由(1)(2)可知：1 + 2 + 3+ +*2(ncn).3 .遞推法用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時，有時要利用an與an+1的關(guān)系，實現(xiàn)從“ k”到1有 1anva.k+1”的過渡.應(yīng)用4設(shè)0vav1,定義a1=1+a,an+1 = ；7 + a,求證：對一切正整數(shù) n提示：數(shù)列類問題用數(shù)學歸納法證明時，一般先用遞推公式，后用歸納假設(shè).、一,1 一，一

9、，、證明：(1)當n=1時，a11, a1= 1+ si1)時，命題成立，即1ak (1 a) + a= 1. ak同時,ak+1 =+ av 1 + a= ak1 a211 a 1 a1故當n= k+1時，命題也成立，即1ak+1右.綜合(1)(2)可知，對一切正整數(shù) n,有11)時，akbk 能被 a b 整除，那么當 n=k+1 時，ak+1-bk + 1= ak+1akb+akb bk1 = ak( a- b) + b( ak- bk).因為(ab)和 ak bk都能被 a- b 整除，所 以上面的和ak( ab) + b(akbk)也能被ab整除.這也就是說當 n= k+ 1時，ak+1- bk+1 能被ab整除.根據(jù)(1)(2),由數(shù)學歸納法知對一切正整數(shù)n, an-bn都能被ab整除.5 .幾何法“幾何類”命題的證題關(guān)鍵是先要從證n=k+1時命題成立的結(jié)論中，分解出n= k時命題成立的部分，然后去證余下的部分.應(yīng)用6在同一平面內(nèi)有n條直線，每兩條不平行，任意三條不共點，求證：它們將此n + n+ 2平面分成 一2一個部分(n e n+ ).提示：利用數(shù)學歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵是找出由n = k至n=k+1時所增加的項.n2+ n+ 2證明：設(shè) f(n)=-2一.(1)當n= 1時，一條直線將平面分成兩部分，f(1) =2,故命題