破解橢圓中最值問題的常見策略

1、破解橢圓中最值問題的常見策略有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對(duì)橢圓中的常見最值問題進(jìn)行分類破解。第一類：求離心率的最值問題破解策略之一：建立的不等式或方程例1：若為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。分析：建立之間的

2、關(guān)系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中的取值進(jìn)行求解離心率的最值。解：不妨設(shè)，則，利用到角公式及得：（），又點(diǎn)在橢圓上，故，消去， 化簡(jiǎn)得又即則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式 解得。故橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由，故）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立之間的關(guān)系。常用橢圓上的點(diǎn)表示成，并利用橢圓中的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍例2：已知橢圓c：兩個(gè)焦點(diǎn)為，如果曲線c上存在一點(diǎn)q，

3、使，求橢圓離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會(huì)有不錯(cuò)的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小值為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二類：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最值問題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）例3：（05年上海）點(diǎn)a、b分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)f是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（2）設(shè)m是橢圓長(zhǎng)軸ab上的一點(diǎn)，m到直線ap的距離等于，求橢圓上的

4、點(diǎn)到點(diǎn)m的距離的最小值。分析：解決兩點(diǎn)距離的最值問題是給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此本題兩點(diǎn)距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。解：（1）略 （2）直線ap的方程是+6=0。 設(shè)點(diǎn)m(,0),則m到直線ap的距離是。 于是=,又66,解得=2。 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)m的距離 ,由于66, 當(dāng)=時(shí),d取得最小值點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是如何將點(diǎn)點(diǎn)之間的最值問題轉(zhuǎn)化成我們常見函數(shù)二次函數(shù)的最值問題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化例4：定長(zhǎng)為的線段ab的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓上移動(dòng)，求ab的中點(diǎn)m到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。解：設(shè)f為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖作于a，bb于b，mm于m，則當(dāng)且僅當(dāng)ab

5、過焦點(diǎn)f時(shí)等號(hào)成立。故m到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為。點(diǎn)評(píng)：是橢圓的通徑長(zhǎng)，是橢圓焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值，是ab過焦點(diǎn)的充要條件。通過定義轉(zhuǎn)化避免各種煩瑣的運(yùn)算過程。第三類：求角的最值問題例5：（05年浙江）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)f1，f2在x軸上，長(zhǎng)軸a1a2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為m，|ma1|a1f1|21。 ()求橢圓的方程； of2f1a2a1pm()若直線l1：xm(|m|1)，p為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使f1pf2最大的點(diǎn)p記為q，求點(diǎn)q的坐標(biāo) (并用m表示) 。分析：本題考查解析幾何中角的最值問題常采用到角 （夾角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，結(jié)合 本題的實(shí)際，考慮用

6、夾角公式較為妥當(dāng)。解：（）（過程略）（ii）設(shè)p(當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 只需求的最大值即可。直線的斜率，直線的斜率利用夾角公式得：當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，最大，最大值為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是如何將角的最值問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的相關(guān)知識(shí)最值問題，一般可用到角（夾角）公式、余弦定理、向量夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)的值域問題。第四類：求（三角形、四邊形等）面積的最值問題例6：（05年全國(guó)ii）、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值分析：本題是向量與解析幾何的結(jié)合，主要是如何選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)拿娣e計(jì)算公式達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，并結(jié)合分類討論與求最值的思想。解：如圖，

7、由條件知mn和pq是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)f(0,1)，且pqmn，直線pq、nm中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)pq的斜率為，又pq過點(diǎn)f(0,1)，故pq的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)p、q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則 qpnmfo從而亦即(1)當(dāng)0時(shí)，mn的斜率為，同上可得： 故所求四邊形的面積令=得=2 當(dāng)=1時(shí)=2，s=且s是以為自變量的增函數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，mn為橢圓長(zhǎng)軸，|mn|=2，|pq|=。s=|pq|mn|=2綜合知四邊形pmqn的最大值為2，最小值為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是選擇一個(gè)適當(dāng)或合理的面積公式轉(zhuǎn)化成常見函數(shù)反比例函數(shù)形式的最值問題。

8、第五類：求線段之和（或積）的最值問題破解策略之五：利用垂線段小于等于折線段之和。例7：若橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)使得的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ） a b c d提示：聯(lián)系到將用第一定義轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離問題，利用垂線段最短的思想容易得到正確答案。選。思考：將題中的2去掉會(huì)怎樣呢？破解策略之六：利用三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊例8：如圖，在直線上任意取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)作橢圓，問當(dāng)在何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出最短長(zhǎng)軸為多少？pmyolf1f2xn分析：要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，當(dāng)然想到橢圓的定義?；镜慕忸}思路如下：長(zhǎng)軸最短三點(diǎn)一直線尋求對(duì)稱對(duì)稱變換。在一系列的變化過程中巧妙的運(yùn)用對(duì)稱，使我們找到一種簡(jiǎn)明的解題方法。通過此對(duì)稱性主要利用解：橢圓的兩焦點(diǎn)分別為（3，0）、（3,0），作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線的方程為由方程組得的坐標(biāo)（6，3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)（9,6）,所以直線的方程。解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)（5,4）。由于，點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形兩