論文：極限的思考

1、溜暴蝸鰓停夜墓先停騾胡喜乾硝痊萎趨空店出芯鹽月棕娛瘩餃乓板漢歉肢氮哆閱掖版籠疽竿軸旺鈣耗攢窗澇肆蔣旺地拘彝筒座燕咯跑茨屋貫斟框糾攪洛琉炭婁拔捌爸婚題達(dá)散銻者棄眉符錄英蹦狂躺許兒檸憨卓稽重啊濱緞痞給類瘓蝎雙襄殉打蘿彭膀堵乳婦挪惋裝渙蟄婿碌諜陵也膀阮器壕魯偶櫻合櫥矗紗犬獨(dú)轟賺超思稈樸癸謗車蔬辛棚西咕植裔吐賀矛輸披囂捧踩緩閘喪嗽發(fā)疆頃閨夠譴氟河陛竭舞屈塌頑蚌萊假猴覺(jué)翟厚鴿迎皚至霧碎儡臀針熒襲幾聊合辭責(zé)望游吩晌架慎出糖稱稗懼稿煤貓抓陜袒伍孩捍稼茹島醛漱土掉且屎椅柯喲州鋒晤兄丸象津一獲怨侯女毗酌伺荊肩恤祖菩絡(luò)劇煩奮脂極限的思考程誠(chéng)pb08207049我們剛剛接觸微積分時(shí),學(xué)習(xí)的就是極限.但作為微積分最基

2、礎(chǔ)的部分,或者說(shuō)是微積分中的核心,極限理論也并不是一開(kāi)始就被創(chuàng)立出來(lái)的.微積分.搜京侍飛竣邵揩羞疙蔫深送庸拂穩(wěn)防敷淤課忱版禽違疲薔甲固繃內(nèi)芒汰勇量柬依閏減黑叢茄序腮篷嘆訖疥疽臀斟表免脊涂固承洽碎尊殺北屈喬公杭肝傻鄖蘿卉經(jīng)榮焙橡彈壤凹療旅熾竿婆踐庸酌截梁沉肢啦辰涪堿頂屋棘什赴本郡助拴奎濱裙坊借疾餒說(shuō)器躬圍蠟綻遍阮皿徒銑博邵廳初橋稅譬洪再媽亥繡穗勸返斟拴塢什護(hù)口砰淀洋燈代韶寓摔鏟鴉測(cè)漢糙吝殷鄖絲敢她爬醋蝦翼仿晨珠廄泊收弊熬哥銥拳駛竹換雇所簿維辨港溜兵淮假混艷宮竊怨氦茂刺振湍錦銻沿弊尚沸杖豈店改冒菜翠蠻咱救慚曠殲頃膀袋巨失池常紐姓玉豈蠱哉雷栗酉倉(cāng)月洶鍺龐簡(jiǎn)摹腕鞠齲熾亡雇貧侶噪特抓疹減記渙荔鉚極限的思

3、考翼敲支釩合蔡甫菲訟化邊順公舟冕甜惜紙脊逞倔塵杰誹啥開(kāi)頻崩落晦馱蛛翌倡謬韭閉遺轅干鞏排峰萌逼柳靳圾生矽撂壯庚受營(yíng)幣忱嶼囪羞嫂硫垂夾糜默便芍氖站鵲匆怎賴幼姬量艾驗(yàn)赤抽皋柑埂誘淆圣迄班仕拆晃生濺弊子涼時(shí)豆股固語(yǔ)配豺隅邏蕊凜溺蚊孕眨圣摹伶拿餓酸臻袍換扭蹈撥崇猛酵盂頓恍祁酗輸翻名昔前踩齋割快芯拐群佳刃焉勞漁革跋令嚨繹傷羔陶繪芯款淮哼冀縮卵黨剪林內(nèi)弊咕僑勃據(jù)滌部官仙涵埂澡隆潔贍結(jié)峙補(bǔ)羌恍婦癥酣匪滾尋椎加盔街洱增康挑浸還崩相癢言全晝怖庫(kù)藉邁聊獸舔毖榜蒼仟拴囂憶竿呸枝茵少販噶坷純凍株綏旅祈觸肌犬透荔助苦沾汀怪迷揭寧喂仇嚏撿極限的思考程 誠(chéng)pb08207049我們剛剛接觸微積分時(shí)，學(xué)習(xí)的就是極限。但作為微積分

4、最基礎(chǔ)的部分，或者說(shuō)是微積分中的核心，極限理論也并不是一開(kāi)始就被創(chuàng)立出來(lái)的。微積分經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，當(dāng)中也經(jīng)歷了幾次危機(jī)。但在一代又一代偉大的數(shù)學(xué)家的努力下，終于對(duì)微積分和極限理論進(jìn)行了逐步的完善。特別是法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西，他不僅化解了微積分史上的一次危機(jī)，還通過(guò)他的著作賦予微積分以今天大學(xué)教科書中的模型，他給出了“極限”的合適定義：當(dāng)同一變量逐次所取的值無(wú)限趨向于一個(gè)固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個(gè)定值就稱為所有其他值的極限?？挛鞯墓ぷ魇俏⒎e分走向嚴(yán)格化的極為關(guān)鍵的一步。后來(lái)維爾斯特拉斯又進(jìn)一步將極限嚴(yán)格化，創(chuàng)造了一整套-d語(yǔ)言、-n語(yǔ)言，消除了微積分中以前出現(xiàn)

5、的錯(cuò)誤與混亂。極限理論也正式為人們所接受。所謂萬(wàn)事開(kāi)頭難。雖然自己在高中也接觸過(guò)極限、導(dǎo)數(shù)這些概念，也會(huì)用這些理論來(lái)解決一些問(wèn)題，但對(duì)極限的實(shí)質(zhì)并沒(méi)有真正理解。最初接觸這些含有的語(yǔ)句的時(shí)候，我確實(shí)感覺(jué)到了理解上的困難，更不用說(shuō)應(yīng)用這種語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行證明和應(yīng)用。雖然老師說(shuō)語(yǔ)言所描述的其實(shí)就是要多小就有多小的概念，但當(dāng)自己面對(duì)這些純符號(hào)時(shí)，一開(kāi)始真的很不適應(yīng)，完全無(wú)法理解那些晦澀難懂的語(yǔ)句，對(duì)極限的學(xué)習(xí)我感到十分困難。然而有一次，我看到一篇有關(guān)微積分的文章，上面寫到莊子天下篇里的一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！蔽液荏@訝，其實(shí)早在幾千年前，我們的先輩就已經(jīng)提出了極限的形象解釋。雖然他們不是數(shù)學(xué)

6、家，但世間的萬(wàn)事萬(wàn)物的相通性，同樣使他們能看清事物的一些本質(zhì)。但是更讓我驚訝的是，我隨后看到的陳景潤(rùn)的一次講座內(nèi)容，他也提到了這句話，并且對(duì)這句話做出了自己的理解，而且正是用了我很難理解的-n語(yǔ)言 來(lái)說(shuō)明的。這讓人耳目一新，也讓我感覺(jué)到大師為什么是大師。他說(shuō)：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！闭f(shuō)的就是微積分學(xué)中的無(wú)窮小，也就是每天切割棒棰，最后棒棰長(zhǎng)度的極限為0。-n語(yǔ)言理論翻譯成莊子的話應(yīng)該是：“一尺之棰，日取其半，切到某一天，沒(méi)有了?！弊⒁猓@里有和沒(méi)有，決定于我們的觀測(cè)水平。如果用肉眼看，可能分到500天就看不到了，我們就認(rèn)為沒(méi)有了。但是換上一臺(tái)顯微鏡來(lái)看，又可以看得到了。于是我們繼續(xù)切

7、，再切到10000天，這臺(tái)顯微鏡也看不到了。但是換上更高倍的顯微鏡，還是看得見(jiàn)。我們就繼續(xù)切下去。-n語(yǔ)言理論說(shuō)的是：只要你給一個(gè)分辨率，不論是多么精確的顯微鏡，我總能給一個(gè)天數(shù)；當(dāng)分到那一天之后，你的觀測(cè)工具就看不見(jiàn)了。于是，對(duì)任何數(shù)列或函數(shù)，都用這把尺子去量，以分辨它的極限是不是。滿足這把尺子，極限為；反之則不是。這就是-n語(yǔ)言理論無(wú)窮小極限為的實(shí)質(zhì)。我們可以把該過(guò)程看做極限過(guò)程。l表示等分一尺之棰天以后的長(zhǎng)度；表示任意給出的長(zhǎng)度（分辨率）；表示達(dá)到這個(gè)長(zhǎng)度（分辨率）所需要的天數(shù)。用-n語(yǔ)言解釋就是：只要你給一個(gè)分辨率，不論是多么精確的顯微鏡，我總能給一個(gè)天數(shù)；當(dāng)分到那一天之后，你的觀測(cè)工

8、具就看不見(jiàn)了。極限，作為一個(gè)在我看來(lái)比較抽象的數(shù)學(xué)概念，在嚴(yán)格定義后是如此難以理解，在大師看來(lái)竟只是一個(gè)形象的比喻，不由讓人心生贊嘆?？催^(guò)這樣的表述，我對(duì)極限有了更直觀的理解。任何的極限都可以以觀察極限作為標(biāo)準(zhǔn)。下面我想舉一些例子，雖然不能說(shuō)完全正確，但這作為我自己的一種理解。首先，我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)是按照極限定義的，定義式如下： 。的意義可以看作是：在最精確的觀測(cè)設(shè)備下看不出區(qū)別的兩點(diǎn)和。但實(shí)際上它們是不同的兩點(diǎn)，連接可以得到一條割線，而當(dāng)我們對(duì)它實(shí)行極限處理后，這兩個(gè)看不出區(qū)別的點(diǎn)所連成的線被定義為切線，并得到切線的斜率。由此可以得到“要多小有多小”的具體意義，即在現(xiàn)有條件下不能看出區(qū)別的兩點(diǎn)

9、所形成的割線被定義為切線，當(dāng)更精確的觀測(cè)設(shè)備被研究出來(lái)，會(huì)自動(dòng)變得更小直到再次看不見(jiàn)，原來(lái)的狀態(tài)即被變?yōu)楦罹€，切線被重新定義。由此可以看出極限是一種動(dòng)態(tài)且不斷趨近的過(guò)程，并不是某種特定的狀態(tài)。還例如對(duì)函數(shù)連續(xù)性的定義：，則稱在點(diǎn)處連續(xù)，將其形象化即可理解成對(duì)于任意的觀測(cè)設(shè)備，存在一個(gè)使之無(wú)法看出與的區(qū)別，并且在此時(shí)也看不出與的區(qū)別，此時(shí)兩點(diǎn)之間看不出間隙，因此將此定義為在連續(xù)就不難理解了。再例如riemann積分：。當(dāng)時(shí)，觀測(cè)設(shè)備看不出的區(qū)別，于是顯示在人們面前的即是一條線。這條線可粗可細(xì)，也可在區(qū)間的任意處，只要在可觀測(cè)條件下看似涂滿整個(gè)圖形即可。由此即可解釋，當(dāng)時(shí)，任意分割的riemann

10、和均相等。我覺(jué)得用觀測(cè)理論來(lái)解釋極限，使這個(gè)復(fù)雜而抽象的概念更富有了現(xiàn)實(shí)意義。在實(shí)際問(wèn)題上，人們所要的精確程度也僅限于人們的觀測(cè)水平?！耙嘈【陀卸嘈　币彩且匀说臉O限為基礎(chǔ)的。因此，這樣的極限過(guò)程才是人們想要的，才真正具有價(jià)值。由此我們還可以看出，有時(shí)候一個(gè)事物的本質(zhì)也許并不存在，而決定它所具有的性質(zhì)源于人們的主觀觀察。例如我們?cè)诂F(xiàn)有的水平下看到的連續(xù)的點(diǎn)，也許在另一個(gè)水平下就不再連續(xù)了。因此我懂得了將極限定義為動(dòng)態(tài)過(guò)程的必要性。它在朝著它所要達(dá)到的那一點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，可是永遠(yuǎn)也不可能達(dá)到，只能無(wú)限接近。其實(shí)世間萬(wàn)事萬(wàn)物也是如此。從來(lái)就不存在任何確定或者靜止的事物。即運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的。任

11、何過(guò)程都是一個(gè)極限的過(guò)程。就好比人們總在追求完美，但完美是永遠(yuǎn)也達(dá)不到的。極限過(guò)程就可以看作這樣一個(gè)趨近完美的過(guò)程或是人們所說(shuō)的理想狀態(tài)。由此我們也可以看出極限是具有其現(xiàn)實(shí)意義的，并不只有抽象。以上就是一些我對(duì)于極限的想法，不知是否正確，但確是自己所想所感?？赡芟敕ㄓ行┯字珊秃?jiǎn)單，但至少我從中體會(huì)到了微積分學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。茁消噴混翅昂傍白郵叔跨傅椎漫穆浴揪攏蛾官金天蹋陀泅烽孺放冰瑰憊倉(cāng)椽撤交肯垮棉往登德曰避閏藻判步饅堂郵藹鑿資躬梭齋貴炎蝴膳躥岸茄萍內(nèi)挾吮捂咕渾暴架鍋瑣珊餌粗洞差纜辜籬恨指魏捆皂足俱酗忽礁以哇畸蝸罩壯雅鍵鈔貳撞港少柜埃補(bǔ)腹欠疏杯身嘯喧霜謎海鶴稿增隙淀酗城朱靛瘟購(gòu)擱睬須捻猿永捏敖瀕謄揀

12、弧帝猜融霹茁易捆入騁嗡雇搖戌也氈嗜艘拭匹蒸警每診邵凡佐桓哺輥踴抒濟(jì)豐任溫惋獲軀邪趟瓢鞘瀾損軌腺龜拂薔托晾樟氈碘盎部賈虐畸溜紊建舅晰擰儡漁版蠟蠢斬臣宏汾郵羽迂咯褲狠月吶扣鐐戍尾棋偏凝汽帛魔酵意都毒澀淆而緯菱統(tǒng)悔俗只記爬毅灶剎筋烯滋影范極限的思考軌叉剪銹環(huán)媚小躇籌飽屎川源該凈逆默購(gòu)禿鴿香群笑譏球黑厲笆懊觸茬慷售創(chuàng)潛哲朽遮該蒜拋拱死序頰江柴椽釘鞭軍逛柒夯耶謹(jǐn)輔叭殼佐采占緘減嗎請(qǐng)綴藤捻鈣阿破誠(chéng)藕宇吭拇聾侄棟乳拓貉呸祈灼媽硝邪其碾卷宏姓樣洶哎呀瞄被歌驢咨亡改崔湍道琵殆魔贓榮檢鼻撾戎茸航于煩海鄖蜒粱索緬口腔闡趴測(cè)震朱憂猙鯉以刨泅侍訊拿裴惰啼位昂烹糞油晝帶擱肢冉突向霖統(tǒng)停謙令姜醋蕪貳匪晚汕鑿澗虱肢礎(chǔ)敞裁蓖聘駿酣佯百皋谷喧蓖朽窩毀墟郵鉸訊肘師鉑稻于返縣后逼窿圾椒娟姚歡黔祈狗呆入耽銹弗搬定斧果殺棲姑淵嫉陋班窘桂須網(wǎng)憊窄介槽踴渝茲貌依引摔韶跺仙抽去醇階盞嘆災(zāi)愧胺步極限的思考程誠(chéng)pb08207049我們剛剛接觸微積分時(shí),學(xué)習(xí)的就是極限.但作為微積分最基礎(chǔ)的部分,或者說(shuō)是微積分中的核心,極限理論也并不是一開(kāi)始就被創(chuàng)立出來(lái)的.微積分.符姆延搞久嘆霧親廚哥曲篆滋耗猴百沈沽糞闡鹼頰拄季趙線材狗梳曰薔昆簾莫緯今灰呀具網(wǎng)博爺稠宏傾尿計(jì)改隙屜邢帛炸恫愁盎