牛吃草問題含例題答案講解

1、小 學 數(shù) 學 牛 吃 草 問 題 知 識 點 總 結(jié)牛吃草問題：牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃 光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的 天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。小升初沖刺第2講牛吃草問題基本公式：1）設定一頭牛一天吃草量為“ 1”2）草的生長速度=（對應的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)）十（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；3） 原有草量=牛頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長速度X吃的天數(shù)；4） 吃的天數(shù)

2、=原有草量十（牛頭數(shù)一草的生長速度）;5）牛頭數(shù)=原有草量十吃的天數(shù)+草的生長速度。例1、牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問：這片牧草可供25頭牛吃多少天？解：假設1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的生長量：（200-150）-（ 20-10） =5份10X 20=200份原草量+20天的生長量原草量：200-20 X 5=100 或150-10 X5=100份15X 10=150份原草量+10天的生長量100-（ 25-5） =5天自主訓練牧場上長滿了青草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可供9頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，

3、如果要供18頭牛吃，可吃幾天？解：假設1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的生長量：（180-150）-（ 20-10） =3份9X 20=180份原草量+20天的生長量 原草量：180-20 X 3=120份 或150-10 X 3=120份15X 10=150份原草量+10天的生長量120-（ 18-3） =8天例2、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某 塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天。照此計算，可供多少頭牛吃10 天？ 解：假設1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的減少量：(100-90)-( 6-5) =10 份2

4、0X 5=100份原草量-5天的減少量 原草量：100+5X 10=150或90+6X 10=150 份15X 6=90份原草量-6天的減少量(150-10 X 10)十10=5頭 自主訓練 由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng)測算， 牧場上的草可供 30頭牛吃 8天，可供 25頭牛吃 9天，那么可供 21 頭牛吃幾天？ 解：假設1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的減少量：(240-225) - (9-8 ) =15 份30X 8=240份原草量-8天的減少量 原草量：240+8X 15=360份或220+9X 15=360 份25X 9=225份原草量-9天的減少量 36

5、0 -( 21+15) =10天例 3、自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著， 兩位性急的孩子要從扶梯上樓。 已知男孩 每分鐘走 20 級梯級，女孩每分鐘走 15 級梯級，結(jié)果男孩用了 5 分鐘到達樓上，女孩用 了 6 分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？男孩： 20X 5 =100(級) 自動扶梯的級數(shù) -5 分鐘減少的級數(shù)女孩;15 X 6=90(級)自動扶梯的級數(shù) -6 分鐘減少的級數(shù)每分鐘減少的級數(shù)=(20 X 5-15 X 6) - (6-5)=10(級)自動扶梯的級數(shù)=20 X 5+5X 10=150 (級)自主訓練 兩個頑皮孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走， 男孩每秒可走 3 級階梯，

6、 女孩每秒可走 2級階梯，結(jié)果從扶梯的一端到達另一端男孩走了 1 00秒，女孩走了 300 秒。問該扶梯共有多少級？3X 100=300自動扶梯級數(shù)+100秒新增的級數(shù)2X 300=600自動扶梯級數(shù) +300秒新增的級數(shù)每秒新增的級數(shù)：(2X 300-3 X 100)-( 300-100) =1.5 (級)自動扶梯級數(shù) = 3X 100-100X 1.5=150(級)1. 有一片牧場，操每天都在勻速生長(每天的增長量相等)，如果放牧24 頭牛，則6 天吃完草，如果放牧 21 頭牛，則 8 天吃完草，設每頭牛每天的吃草量相等，問：要 使草永遠吃不完，最多只能放牧幾頭牛？假設 1頭 1天吃 1個

7、單位24*6=14421*8=168168-144=24每天長的草可供 24/2=12 頭牛吃 最多只能放 12 頭牛2，有一片草地，草每天生長的速度相同。這片草地可供5 頭牛吃 40天，或 6 供頭牛吃 30 天。如果 4 頭牛吃了 30天后，又增加 2 頭牛一起吃，這片草地還可以再吃幾天？ 假設 1頭 1天吃 1個單位5*40=200；6*30=180200-180=20每天長的草 :20/(40-30)=2原有草： 200-2*40=1204*30=120 ，30*2=60 60/4=15 天3，假設地球上新增長資源的增長速度是一定的，照此推算，地球上的資源可供110 億人生活 90年，

8、或可供 90 億人生活 210年，為了人類不斷繁衍，那么地球最多可以養(yǎng) 活多少億人？假設 1億人頭 1天吃 1 個單位110*90=9900；90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=754，一游樂場在開門前有 100 人排隊等候，開門后每分鐘來的游客是相同的，一個入口處每分鐘可以放入 10名游客，如果開放 2 個入口處 20分鐘就沒人排隊，現(xiàn)開放 4 個 入口處，那么開門后多少分鐘后沒人排隊？2*20*10=400400-100=300300/20=15100+15*4=160160/(4*10)=4(1)因為草量 =原有草量 +新長出的草量，而且草量

9、是均勻增長的。所以“對應的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)”就代表了第一次情況下的總草量，即為：吃的較多天數(shù)時的總草量 =草地原有草量 +草的生長速度 *較多天數(shù)時的時間。同理“相應的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)”代表了第二次情況下的總草量，即為：吃的較 少天數(shù)時的總草量 =草地原有草量 +草的生長速度 *較少天數(shù)時的時間。兩個一做差，式子中的“原有草量”就被減掉了，等號的左邊就是兩次情況之下總草 量的差，右邊等于草的生長速度 * 兩次情況下的時間差， 所以直接把時間差除到左邊去， 就得到了草的生長速度了。（2）牛吃的草的總量包括兩個方面，一是原來草地上的草，而是新增長出來的草。所 以“牛頭數(shù)X吃的天數(shù)”表示的就

10、是牛一共吃了多少草，牛在這段時間把草吃干凈了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的總量。 當然草的總量減去新增長出來的草的數(shù)量， 就剩下原來草地上面草的數(shù)量了。牛吃草問題概念及公式 牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是 17 世紀英國偉大的科學家牛頓 提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛 吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由 于吃的天數(shù)不同， 草又是天天在生長的， 所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。 解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是：1）設定一頭牛一天吃草量為“1”1 ）草的生長速度=（對應的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應

11、的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)）*（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；2）原有草量=牛頭數(shù) X吃的天數(shù)-草的生長速度 X吃的天數(shù)；3）吃的天數(shù)=原有草量 -（牛頭數(shù)-草的生長速度）；4）牛頭數(shù)=原有草量 卻吃的天數(shù)+草的生長速度。 這四個公式是解決消長問題的基礎。由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。正是由于這個不變量， 才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公式。牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草， 又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，

12、求若干頭牛吃的這片地的草可以 吃多少天。解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題總所求的問題。這類問題的基本數(shù)量關系是：1. （牛的頭數(shù)X吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)X吃草較少的天數(shù)）*（吃的較多的天數(shù)- 吃的較少的天數(shù) ）= 草地每天新長草的量。2. 牛的頭數(shù)X吃草天數(shù)-每天新長量X吃草天數(shù)=草地原有的草。 解多塊草地的方法多塊草地的 “牛吃草 ”問題，一般情況下找多塊草地的最小公倍數(shù)，這樣可以減少運算難度，但如果數(shù)據(jù)較大時，我們一般把面積統(tǒng)一為“1相”對簡單些?！芭３圆?”問題分析華圖公務員考試研究中心數(shù)量關系資料分析教研室研究員姚璐

13、【華圖名師姚璐例 1】有一塊牧場，可供 10 頭牛吃 20 天， 15 頭牛吃 10 天， 則它可供 25 頭牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設該牧場每天長草量恰可供 X 頭牛吃一天，這片草場 可供 25 頭牛吃 Y 天根據(jù)核心公式 代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5( 天)璐例 2 】有一塊牧場，可供10 頭牛吃 20 天， 15 頭牛吃 10 天，則它可供多少頭牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設該牧場每天長草量

14、恰可供 X 頭牛吃一天， 根據(jù)核心公式代入(20 X10-15 X 10)=5 10X20-5 X20=100 1004+5=30(頭)【華圖名師姚璐例 3】如果 22 頭牛吃 33 公畝牧場的草， 54 天后可以吃盡， 17 頭牛吃 28 公畝牧場的草， 84 天可以吃盡，那么要在 24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧 場的草，需要多少頭牛？A.50 B.46 C.38 D.35【華圖名師姚璐答案】 D【華圖名師姚璐解析】 設每公畝牧場每天新長出來的草可供 X 頭牛吃 1 天， 每公畝草場原有牧草量為 Y ，24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧場的草，需要 Z 頭牛根據(jù)核心公式：，代入，因此 ，選擇 D【華

15、圖名師姚璐注釋】這里面牧場的面積發(fā)生變化，所以每天長出的草量不 再是常量。下面我們來看一下上述 “牛吃草問題 ”解題方法，在真題中的應用?！救A圖名師姚璐例4】有一個灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進水管往里灌水，一段時間后，用 2 臺抽水機排水，則用 40 分鐘能排完；如果用 4 臺同樣的抽水 機排水，則用 16 分鐘排完。問如果計劃用 10 分鐘將水排完， 需要多少臺抽水機？ 【廣東 2006 上】A.5 臺 B.6 臺 C.7 臺 D.8 臺【華圖名師姚璐答案】 B【華圖名師姚璐解析】設每分鐘流入的水量相當于 X 臺抽水機的排水量，共 需 Y 臺抽水機有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【華圖名師姚

16、璐例5】有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干，10 臺抽水機需抽 8 小時， 8 臺抽水機需抽 12 小時，如果用 6 臺抽水機，那 么需抽多少小時？【北京社招 2006 】A.16 B.20 C.24 D.28【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設每分鐘流入的水量相當于 X 臺抽水機的排水量，共 需 Y 小時有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【華圖名師姚璐例 6 】林子里有猴子喜歡吃的野果， 23 只猴子可在 9 周內(nèi)吃 光，21 只猴子可在 12 周內(nèi)吃光， 問如果有 33 只猴子一起吃， 則需要幾周吃光？ (假定野果生長的速度不變)【浙江 2007 】A.2 周 B.3

17、 周 C.4 周 D.5 周【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設每天新生長的野果足夠 X 只猴子吃， 33 只猴子共 需 Y 周吃完有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【華圖名師姚璐例7】物美超市的收銀臺平均每小時有60 名顧客前來排隊付款，每一個收銀臺每小時能應付 80 名顧客付款。某天某時刻，超市如果只開設 一個收銀臺，付款開始 4 小時就沒有顧客排隊了，問如果當時開設兩個收銀臺， 則付款開始幾小時就沒有顧客排隊了【浙江 2006 】A.2 小時 小時 小時 小時【華圖名師姚璐答案】 D【華圖名師姚璐解析】設共需 X 小時就無人排隊了。例題：1、旅客在車站候車室等車 ,并且排隊的乘客

18、按一定速度增加,檢查速度也一定 ,當車站放一個檢票口 ,需用半小時把所有乘客解決完畢,當開放 2 個檢票口時 ,只要 10 分鐘就把所有乘客 OK 了 求增加人數(shù)的速度還有原來的人數(shù)設一個檢票口一分鐘一個人1 個檢票口 30 分鐘 30 個人2 個檢票口 10 分鐘 20 個人(30-20)珂30-10)=0.5 個人原有 1X30-30 X0.5=15 人或 2X10-10 X0.5=15 人2、有三塊草地，面積分別是5，15 ，24 畝。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供 10 頭牛吃 30 天，第二塊草地可供 28 頭牛吃 45 天，問 第三塊地可供多少頭牛吃 80 天？這是一道牛吃草問題，是比較復雜的牛吃草問題。把每頭牛每天吃的草看作 1 份。因為第一塊草地 5畝面積原有草量+ 5畝面積30天長的草二10X30二300份 所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300十5二60份因為第二塊草地15畝面積原有草量+ 15畝面積45天長的草二28X45 = 1260份所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長的草是1260十15二84份所以45 30 = 15天，每畝面積長 84 6