平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一題多解

1、 一題多解 觸類旁通由一道課本例題引發(fā)的思考摘要由人教版高一數(shù)學(xué)（下冊(cè)）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算中的一道例題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建正常的數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)建模思想。通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合思想，尋求發(fā)現(xiàn)正確的解題思路。關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思維方式 數(shù)學(xué)模型 數(shù)形結(jié)合 一題多解一、 問題的提出在課堂教學(xué)中為了能更有效地發(fā)揮問題在構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的作用，往往采取從不同角度、不同的側(cè)面、不同的層次設(shè)計(jì)變式問題，引導(dǎo)學(xué)生去分析尋找結(jié)果。當(dāng)然這樣訓(xùn)練的目的并非單純?yōu)榱俗寣W(xué)生得出相應(yīng)的結(jié)果，而是在訓(xùn)練中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的梳理。為構(gòu)建更完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)設(shè)條件，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知水平向更高的臺(tái)階邁進(jìn)。例：已知平行四邊形abcd

2、的三個(gè)點(diǎn)為a、b、c 的坐標(biāo)分別為（-2，1），（-1，3），（3，4），求頂點(diǎn)d的坐標(biāo)。二、展示課本解法數(shù)學(xué)課本作為數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，具有極強(qiáng)的邏輯性和層次性。教材中每章節(jié)的內(nèi)容都是處于特定的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及表述方式猶如一條鏈子環(huán)環(huán)相扣，任何一節(jié)的松動(dòng)就會(huì)造成鏈子的脫節(jié)。對(duì)此題，課本是利用向量相等（即=）來求解，方法較為簡(jiǎn)便。其解法如下： ， 由=可知： 解得： 即：頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為：（2，2） 三引發(fā)的思考 高中教材的編寫旨在提高學(xué)生的思想道德品質(zhì)、文化科學(xué)知識(shí)、審美情趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力、終身學(xué)習(xí)能力和適應(yīng)社會(huì)生活的能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。知識(shí)之間的聯(lián)系也與這

3、相仿，因而知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)處是學(xué)生有效理解和掌握教材內(nèi)容并形成數(shù)學(xué)能力的關(guān)鏈部分，若處理不好，則很容易成為制約學(xué)生正確掌握教材內(nèi)容的“瓶頸”。那么如何才能更好地抓住關(guān)聯(lián)處設(shè)計(jì)好問題呢？我們知道，向量具有兩個(gè)明顯特點(diǎn)“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁。向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，進(jìn)而可把坐標(biāo)與向量聯(lián)系起來，利用數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想解決問題。為了開拓同學(xué)們的解題思路，運(yùn)用向量的一些性質(zhì)進(jìn)行求解，下面介紹幾種解法，以供參考。解法一：（利用向量加法）先依據(jù)題意在坐標(biāo)系內(nèi)做出平行四邊形abcd（如圖），設(shè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為，xyabcdo并連結(jié)oa，od，則= 頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為

4、：（2，2） 解法二：（利用向量減法） 先依據(jù)題意在坐標(biāo)系內(nèi)做出平行四邊形xyabcdoabcd（如圖），設(shè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為，并連結(jié)oa，od， 則= , 頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為：（2，2）解法三：（利用中點(diǎn)的向量表達(dá)式） 如圖：在平行四邊形abcd中，ac的中點(diǎn)m即是bd的中點(diǎn)。xyabdcom , 頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為：（2，2）解法四：（利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式） abdcoxy如圖：在平行四邊形abcd中，ac的中點(diǎn)即為bd的中點(diǎn)。設(shè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為，則： 解得： 頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為：（2，2）解法五：（利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式）如圖：設(shè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為，則： 在平行四邊形abcd中，有abdcoxy解得： 頂點(diǎn)d的

5、坐標(biāo)為：（2，2）解法六：（利用平行四邊形對(duì)邊的向量相等）abdcoxy如圖：設(shè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為，則：在平行四邊形abcd中，= 即： 解得： 頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為：（2，2）五總結(jié) 雖然這樣做有意將問題“復(fù)雜化”，但卻符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使教學(xué)在學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平的基礎(chǔ)上展開。如果不分層次地進(jìn)行講解，雖然學(xué)生也能聽懂，但由于學(xué)生的思維未能深入到整個(gè)解題過程之中，其結(jié)果必然是問題的情境稍加變化，一些學(xué)生又將“不識(shí)廬山真面目”形成新的思維障礙。因此若將問題設(shè)計(jì)在知識(shí)與知識(shí)的關(guān)聯(lián)處，是很有利于培養(yǎng)學(xué)生分解剖析習(xí)題的能力，以此來誘發(fā)思維，往往能收到事半功倍的效果。 遇到題目不是急于動(dòng)手，而是應(yīng)該分析題構(gòu)建正確得數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)思維方式，采取數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探討思考，歸納總結(jié)。真正做到掌握相關(guān)內(nèi)容方法，觸類旁通。 參考文獻(xiàn)1 中