高考(全國(guó)卷)押 題精粹數(shù)學(xué)試題(理科)含答案解析

1、泄露天機(jī)泄露天機(jī)20162016 年高考押題年高考押題 精粹精粹數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科本卷共 48 題，三種題型：選擇題、填空題和解答題。選擇題 30 小題，填空題 4 小題，解答題 14 小題。 1 1.已知集合則等于（ ）22 |log1, |60,axxbx xx ()rab a. b. c. d. | 21xx | 22xx |23xx |2x x 【答案】b【解析】得，|2 ,| 23 ,ax xbxx |2rax x()| 22 .rabxx 2 2. 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ 4i1ibzbr1zb）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限【答案】c【解析

2、】試題分析：，則由，得41bizi+=-(4)(1)44(1)(1)22biibbiii412b ，所以，所以，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第6b 1 5zi 75zbi ( 7, 5)三象限.3 3.若復(fù)數(shù)z滿足,則 的實(shí)部為（ ）1 i1 iiz za.212 b.21 c.1 d.212【答案】a【解析】由= ,得=,所1 i1 iiz 2i2i( 2i)(1 i)1 i(1 i)(1 i)z2121i22以z的實(shí)部為212,故選 a4 4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（ ）(0,)2a b. c d 3yxsinyx 21yxcosyx【答案】b【解析】選項(xiàng) c、d 不是

3、奇函數(shù)， 在上都是增函數(shù)，只有選項(xiàng) b 符合.3yxr 5 5.若是圖象上不同兩點(diǎn),則下列各點(diǎn)一定在圖象上的,a a bb c d lnf xx f x是( )a. b. c. d.,ac bdacbd ，,ac bd,ac bd【答案】c【解析】因?yàn)樵趫D象上,所以 ,所以,a a bb c d lnf xxlnbaln ,dc,因此在圖象上,故選 clnlnlnbdacac,ac bd lnf xx6 6.雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為（ ）22:13yc x a. b. c. d.12223332【答案】a【解析】c 頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為1,2

4、,ac1.27 7.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù) ，則滿足的概率是（ ）1 , 1xy12 xya. b. c. d.92976156【答案】d【解析】由題意知表示的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為 2 的正方形，面積為 4，滿足1111xy 的區(qū)域即為圖中陰影部分，面積為，12 xy1231111102 112()|33xdxxx 所以所求概率為，故選 d105346p8 8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果 s 的值是（ ） a2 b c3 d1213【答案】a由程序框圖知：；; 2,1si123,212si 1 31,3132si ;11()12,4131 ()2si ，可知 s 出現(xiàn)周期為 4，1132,51

5、1)3si當(dāng) 時(shí)，結(jié)束循環(huán)輸出 s，即輸出的 .20174 504 1i 2s 9 9.一個(gè)算法的程序框圖如右圖所示，若輸入的 x 值為 2016，則輸出的 值為 ( ) ia.3b.4 c.5d.6【答案】a. 3,2016;20162015, 3,20162015;20151, 2,20151; 1,2016ibaibaibia結(jié)束，輸出【解析】：運(yùn)轉(zhuǎn)程序，1010.若向量滿足，的夾角為 60， 在上的投影等于 ( ),a b| |2abab與a+a ba. b.2 c.d.42233【答案】：c【解析】： 在上的投影為a+a b2222()4263.|2 3()2aabaa bababa

6、a bb1111.不等式組2503020 xyxyxy的解集記為d，11yzx，有下面四個(gè)命題： p1：( , )x yd，1z p2：( , )x yd，1zp3：( , )x yd，2z p4：( , )x yd，0z 其中的真命題是 ( )ap1，p2 bp1，p3 cp1，p4 dp2，p3【答案】d【解析】可行域如圖所示，a(1，3),b(2，1)，所以所以，故p2，p3 正確，故答案為 d.1212.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成,相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上,好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋

7、)其直觀圖如下左圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),它的俯視圖可能是（ ）i【答案】b【解析】由直觀圖可知俯視圖應(yīng)為正方形,排除 a,c,又上半部分相鄰兩曲面的交線看得見(jiàn),在俯視圖中應(yīng)為實(shí)線,故選 b.1313一個(gè)幾何體的三視圖如圖 2 所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是（ ） a. 2333cm b. 2233cm c. 4763cm d.73cm【答案】a【解析】該幾何體是棱長(zhǎng)為 2 的正方體截去一個(gè)三棱錐后所1111abcdabc d11cb ef得的多面體，其體積為11232 2 21 1 2.323v 1414.若數(shù)列滿足（為常數(shù)） ，則稱數(shù)列

8、為調(diào)和數(shù)列已知na11na1=ndadnn,*na數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且x1x2x20200，則等于（ ）1nx165xx a10 b20 c30 d40【答案】b【解析】數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，是等差數(shù)列.1nx111111nnnnxxdxx- nx 又=， .1220200 xxx12020()2xx12020 xx 又.120516516,20 xxxxxx1515.九章算術(shù)之后，人們學(xué)會(huì)了用等差數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題， 張丘建算經(jīng)卷上第22 題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第 2 天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布） ，第一天織 5 尺布，現(xiàn)一月（按 30 天計(jì)）共織 390 尺布” ，則從第

9、2 天起每天比前一天多織（）尺布. a b. c. d.2115831162916【答案】d【解析】設(shè)從第 2 天起每天比前一天多織d尺布m , 則由題意知解得 30 2930 5390,2d 16.29d 1616.在某次聯(lián)考測(cè)試中，學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)，若x21000n:,則等于（ ）, 8 . 0)12080( xp)800( xpa0.05 b0.1 c0.15 d0.2【答案】b【解析】由題意知，則由正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性可知，(80120)0.8p，故選 b1(080)0.5(80120)0.12pxpx1717由 1,2,3,0 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中 0 不在個(gè)位上，則這些三位數(shù)

10、的和為（ ） a.2544 b.1332 c.2532 d.1320【答案】a【解析】分兩種情況：（1）所有不含 0 的三位數(shù)的和為，22123100 10 11332a(2)含 0 且 0 只能在十位上的三位數(shù)的和為，那么可得符12123100 11212a合條件的這些三位數(shù)之和為.1332 121225441818.已知若=2,則等于（ ） 2cos2 ,21xxf xaxx( )3f()3f a. b. c.0 d. 121【答案】a【解析】因?yàn)?所以 2cos221xxf xaxx ,所 222cos22121xxxxf xfxx212cos212cos22112xxxxx 以+=1+

11、=0,( )3f()3f 22cos3 所以()( )2.33ff 1919.函數(shù)部分圖象如圖所示，對(duì)不同的，若( )sin 2()2f xaxbaxx,21，有，則（ ） 21xfxf321 xxfa在上是減函數(shù) b在上是減函數(shù) xf5(,)12 12 xf5(,)36c在上是增函數(shù) d在上是增函數(shù) xf5(,)12 12 xf5(,)36【答案】c【解析】由圖可知，又由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線2a 21xfxf對(duì)稱，所以由五點(diǎn)法作圖，得，1222xxabx12abxx20a，所以，則2b2ab()f ab，即，所以，所以122sin(2)2sin3f xx3sin23，在上，所以在( )2s

12、in(2)3f xx5(,)12 122(,)32 2x xf上是增函數(shù)，故選 c5(,)12 122020若，則的值是（ 7280128112xxaa xa xa x 127aaa ）a. b. c125 d.23131【答案】c【解析】令，得；令，得，即0 x 01a 1x 01282aaaa 又，所以，1283aaa 7787( 2)128ac 12783125aaaa 故選 c2121.設(shè)點(diǎn)、分別是雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),直線a,0f c22221(0,0)xyabab交該雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)若是等腰三角形,則此雙曲線的離心率為2axcppaf（ ）a. b. c. d.3322【答

13、案】d【解析】顯然,所以由是等腰三角形得.易知pfpapfafpafpaaf, ,所以,a(0)a，p2()aabcc，2222()()()aabacacc222222( ) ()( ) ()()aaaccacacc22( )( )1aacaccca221111.1eeee解得 .故選 d.2e 2222.過(guò)拋物線焦點(diǎn) f 的直線交其于兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)若，則2yx4ba,3af的面積為（ ）aob a. b. c. d.22223 222【答案】c【解析】設(shè)直線的傾斜角為及，ab(0)bfm3af 點(diǎn)到準(zhǔn)線 的距離為 3，,即，則a:1l x 23cos31cos32 2sin3 ，2co

14、s()mm23.1cos2m的面積為 .aob1132 23 2sin1 (3)22232sofab 2323.已知圓，圓，橢圓221:20cxcxy 222:20cxcxy 的焦距為，若圓都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的范2222:1(0)xycabab 2c12,c ccc圍是（ ）a b c d1 ,1)21(02，2,1)22(02，【答案】b【解析】由題意，得圓的圓心分別為和，半徑均為，滿足題意的圓與12,c c(,0)c( ,0)cc橢圓的臨界位置關(guān)系如圖所示，則知要使圓都在橢圓內(nèi)，則需滿足不等式，12,c c2ca所以離心率，故選 b102cea2424.已知向量、滿足,、分別是ab

15、acadacabad 2ab 1ad ef線段、的中點(diǎn)若,則向量與向量的夾角為（ ）bccd54de bf ab ada b c d323656【答案】a【解析】.de bf 22115115()()224224cbcdcdcbcb cdcdcb 由,可得,所以,從而2cdab 1bcad 1cos2cb cd ，3cb cd ，.故選 a.3ab ad ，2525.已知函數(shù)滿足條件：對(duì)于，唯一的，使得 0,0, 3xbaxxxxfr1xr2x.當(dāng)成立時(shí)，則實(shí)數(shù)( ) 21xfxf bfaf32baa. b. c.+3 d.+326262626【答案】d【解析】由題設(shè)條件對(duì)于，存在唯一的，使得

16、知在r1xr2x 21xfxf xf和上單調(diào)，得，且.由有，解0 , 03b0a bfaf3239322a之得，故，選d.26a326ba2626.函數(shù)的圖象大致為（ ）2lnxyx【答案】d【解析】當(dāng)時(shí)，所以，排除 b、c；當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)01xln0 x 0y 1x 比隨的增長(zhǎng)速度快，所以隨的增大，的變化也逐漸增大，排2yxlnyxxx2lnxyx除 a，故選 d2727.已知定義在上的函數(shù),為其導(dǎo)數(shù),且恒成立，則（ (0,)2( )f x( )fx( )( )tanf xf xx）a. b. 3 ()2 ()43ff2 ()()64ffc. d.3 ()()63ff 12 () sin16

17、ff【答案】c【解析】因?yàn)?，所以，則由得(0,)2xsin0,cos0 xx( )( )tanf xf xx，即令，則sin( )( )cosxf xf xxcos( )sin( )0 xf xxf xsin( )=( )xf xf x，所以在上遞減，所以2sincos( )sin( )( )=()0( ) ( )xf xxfxf xf xf x ( )f x(0,)2，即，即，故選 c()()63ffsinsin63()()63ff3 ()()63ff2828.若過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線有兩條,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ),p a a lnfxxxa. b. c. d. ,ee,10,e1,【答案

18、】b【解析】設(shè)切點(diǎn)為,則切線斜率=,所以切線方程為, lnq t tt kft1lnt,把代入得,整理得,顯ln1lnytttxt,p a aln1lnatttatlnatt然,所以,設(shè),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)0a 1lntat lntg tt1ya g t不同交點(diǎn),由 ,可得在遞增,遞減,在處取得極大 21lntg tt g t0,ee,ex 值,結(jié)合圖象,可得 ,故選 b.1e g t110eeaa2929.已知四邊形的對(duì)角線相交于一點(diǎn),則的abcd1, 3ac 3,1bd ab cd 最小值是（ ）a. b. c. d.2424【答案】c【解析】取,則；設(shè),則(0,0)a(1,

19、 3)c11( ,)b x y22(,)d xy21213,1.xxyy 所以 ,1122,3,1abx yxy 221,3cdxy 求得,22223131()()2222ab cdxy 當(dāng)且時(shí),取到最小值,此時(shí)四邊形的對(duì)角1131,231,2xy2231,2312xyab cd 2abcd線恰好相交于一點(diǎn),故選 c.3030.定義在上的函數(shù)對(duì)任意都有，且函數(shù)r f x1212,x xxx 12120f xf xxx的圖象關(guān)于（1,0）成中心對(duì)稱，若滿足不等式1yf x, s t，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）2222f ssftt 14s2tssta b c d13,213,215,215,2【

20、答案】d【解析】不妨設(shè)，則由，知，即12xx120 xx1212()()0f xf xxx12()()0f xf x，所以函數(shù)為減函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于成中心12()()f xf x( )f x(1)yf x(1,0)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，所以，所以( )yf x222(2 )(2)(2 )f ssfttf tt ，即因?yàn)?，而在條件2222sstt()(2)0st st 233111tsstststs 下，易求得，所以，所以，()(2)014st sts 1,12ts 11 ,22ts33 ,621ts所以，即，故選 d311 5,21ts 21 5,2tsst 3131.已知邊長(zhǎng)為的正的三個(gè)頂

21、點(diǎn)都在球的表面上，且與平面所成的角3abcooaabc 為，則球的表面積為_(kāi)30o【答案】16【解析】設(shè)正的外接圓圓心為，abc1o易知，在中，13ao 1rt oo a，故球的表面積為.12cos30o aoa o242163232.設(shè),當(dāng)實(shí)數(shù)滿足不等式組時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值等于1myx,12yxxyxymyxz2，則的值是_m【答案】52【解析】根據(jù)不等式組畫出可行域?yàn)閳D中陰影部分，目標(biāo)函數(shù)可寫為，因1zyxmm 為，所以，將函數(shù)的圖象平移經(jīng)過(guò)可行域時(shí)，在點(diǎn)1m 110m 1yxm g處取最大值，此時(shí)，所以有，解得.1 2( , )3 3y2z 12233m52m 3333.已知數(shù)列中,對(duì)

22、任意的,若滿足（為常數(shù)）,則na*nn123nnnnaaaass稱該數(shù)列為階等和數(shù)列,其中為階公和；若滿足（ 為常數(shù)）,則稱4s412nnnaaatt該數(shù)列為階等積數(shù)列,其中 為階公積,已知數(shù)列為首項(xiàng)為 的階等和數(shù)列,且滿3t3np14足；數(shù)列為公積為 的階等積數(shù)列,且,設(shè)為數(shù)列3423212ppppppnq13121qq ns的前項(xiàng)和,則 _nnpqn2016s【答案】2520【解析】由題意可知,11p 22p 34p 48p 51p 62p 74p 88p 91p 102p,又是 4 階等和數(shù)列,因此該數(shù)列將會(huì)照此規(guī)律循環(huán)114p 128p131pnp下去,同理,11q 21q 31q 4

23、1q 51q 61q 71q 81q 91q 101q ,又是 3 階等積數(shù)列,因此該數(shù)列將會(huì)照此規(guī)律循環(huán)111q 121q131q nq下去,由此可知對(duì)于數(shù)列,每 12 項(xiàng)的和循環(huán)一次,易求出nnpq,因此中有 168 組循環(huán)結(jié)構(gòu),故11221212.15p qpqpq 2016s201615 1682520s 3434.用表示自然數(shù)的所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：9 的因數(shù)有 1,3,9， g nn的因數(shù)有 1,2,5,10，那么 99,10g 105g . 201512321gggg【答案】2015413【解析】由的定義易知當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，且當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，( )g nn( )( )2ng n

24、gn令，則( )g nn( )(1)f ng(2)(3)(21)nggg1(1)(1)(2)(3)(21)nf ngggg11 3(21)n 1(2)(4)(22)nggg，即112 (121)(1)(2)(4)(22)4( )2nnnnggggf n(1)f n，分別取為并累加( )4nf n n1,2,n得又1，所以24(1)(1)444(41)3nnf nf(1)(1)fg，所以4(1)(41)13nf n( )(1)(2)(3)(21)nf ngggg令，得14(41)13n2015n 2015201541(1)(2)(3)(21)3gggg3535.（本小題滿分 12 分）在中，角所

25、對(duì)的邊分別為，已知.abc, ,a b c, ,a b c2cos14sinsinbcbc (1)求；a(2)若，的面積，求.2 7a abc2 3bc【答案】：（1）， （2）.236bc【解析】：（1）由，2cos14sinsinbcbc 得，2 coscossinsin4sinsin1bcbcbc即，亦即，.2 coscossinsin1bcbc2cos1bc1cos2bc,.0,3bcbcabc23a（2）由（1）得.由，得.23a2 3s 12sin2 3,823bcbc由余弦定理，得，2222cosabcbca22222 72cos3bcbc即.,將代入，2228bcbc228bc

26、bc得，. 2828bc6bc3636.（本小題滿分 12 分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，.abcdbc,4cad27ac102cosadb（1）求的值；csin（2）若的面積為，求的長(zhǎng).abd7ab【答案】 （1）；（2）4537【解析】 （1）因?yàn)?，所?又因?yàn)樗?02cosadb1027sinadb,4cad所以,4adbc4sincos4cossin)4sin(sinadbadbadbc.5422102221027（2）在中，由正弦定理得，adcadcaccadsinsin故.2210275427sinsin)sin(sinsinsinadbcacadbcacadccacad又解得.,

27、710272221sin21bdadbabadsabd5bd在中，由余弦定理得adb.37)102(5222258cos2222adbbdadbdadab3737.（本小題滿分 12 分）已知公差不為的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列.0na12a 2481,1,1aaa(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式； na(2)設(shè)數(shù)列滿足，求適合方程的正整數(shù)的值.nb3nnba1 22 3145.32nnbbb bb bn【答案】 （1）；（2） 31nan10.【解析】：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得nad2481,1,1aaa解得或（舍） ，2(33 )(3)(37 ),ddd3d 0d 故 1(1)23(1)31.n

28、aandnn(2)由（1）知，331nbn19113().(31)(32)3132nnb bnnnn1 22 31111111119.3(+)3(),2558313223264nnnbbb bb bnnnn依題有解得 945,6432nn10.n 3838.（本小題滿分 12 分）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，成等比數(shù)列.*nn nans12nnnssa125,a a a（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； na（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和. nb1( 2)nannba nbnnt【答案】 （1）；（2）21nan1(23)26nntn【解析】(1)由得：，12nnnssa*12()nnaann數(shù)列是以

29、為首項(xiàng)，2 為公差的等差數(shù)列， na1a由成等比數(shù)列得=(+8)，解得=1，125,a a a )2(1a1a1a1a.*21()nannn（2）由(1)可得，2(21) ( 2)(21)2nnnbnn1231.,nnntbbbbb即，1231 23 25 2.(21) 2nntn ，23121 23 2.(23) 2(21) 2nnntnn -可得23122(22.2 )(21)2,nnntn.1(23)26nntn3939.（本小題滿分 12 分）近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)發(fā)展的新機(jī)遇,2015 年雙 11 期間,某購(gòu)物平臺(tái)的銷售業(yè)績(jī)高達(dá) 918 億人民幣.與此同時(shí),相關(guān)管理部門推出了針對(duì)

30、電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系.現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出 200 次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),對(duì)商品的好評(píng)率為 0.6,對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為 0.75,其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為 80 次.(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.001 的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？(2)若將頻率視為概率,某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的 5 次購(gòu)物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量：x求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示） ；x求的數(shù)學(xué)期望和方差.x2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82

31、8p kkk（,其中）22()()()()()n adbckab cd ac bdnabcd 【答案】 （1）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.001 的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)； （2）x012345p53( )514523( )( )55c223523( ) ( )55c332523( ) ( )55c441523( ) ( )55c52( )5 ()2,e x 6().5d x 【解析】：（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的 22 列聯(lián)表如下：對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)8040120對(duì)商品不滿意701080合計(jì)1505020022200 (80 1040 70)11.111

32、10.828,150 50 120 80k故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.001 的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān).(2)每次購(gòu)物時(shí),對(duì)商品和服務(wù)都好評(píng)的概率為,且的取值可以是 0,1,2,3,4,5. 25x其中；53(0)( )5p x 14523(1)( )( )55p xc223523(2)( ) ( )55p xc；.332523(3)( ) ( )55p xc441523(4)( ) ( )55p xc52(5)( )5p x 的分布列為：xx012345p53( )514523( )( )55c223523( ) ( )55c332523( ) ( )55c441523( )

33、( )55c52( )5由于,則2(5, )5xb2()52,5e x 226()5(1).555d x 4040.（本小題滿分 12 分）某市組織高一全體學(xué)生參加計(jì)算機(jī)操作比賽，等級(jí)分為 1 至 10 分，隨機(jī)調(diào)閱了a、b兩所學(xué)校各 60 名學(xué)生的成績(jī)，得到樣本數(shù)據(jù)如下：（1）計(jì)算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較； (2) 記事件為“校學(xué)生計(jì)算機(jī)優(yōu)秀成績(jī)高于校學(xué)生計(jì)算機(jī)優(yōu)秀成績(jī)” 假設(shè) 7 分或cab7 分以上為優(yōu)秀成績(jī)，兩校學(xué)生計(jì)算機(jī)成績(jī)相互獨(dú)立根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件的概率c【答案】 （1）（2）.1.5,abxx21.5,as 2

34、1.8;bs ( )0.02p c 【解析】：（1）從 a 校樣本數(shù)據(jù)的條形圖可知：成績(jī)分別為 4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、9 分的學(xué)生分別有：6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. a 校樣本的平均成績(jī)?yōu)椋ǚ郑?，4 65 156 217 128 39 3660ax a 校樣本的方差為. 22216 (46)3 (96)1.560as 從 b 校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表可知：b 校樣本的平均成績(jī)?yōu)椋ǚ郑?，4 95 126 217 98 69 3660bx b 校樣本的方差為. 22219 (46)3 (96)1.860bs 因?yàn)樗詢尚W(xué)生的計(jì)算機(jī)成績(jī)平均分相同，又因?yàn)椋?/p>

35、所以 a 校的學(xué)生,abxx22abss的計(jì)算機(jī)成績(jī)比較穩(wěn)定，總體得分情況比 b 校好. (2) 記表示事件“a 校學(xué)生計(jì)算機(jī)成績(jī)?yōu)?8 分或 9 分” ，1ac表示事件“a 校學(xué)生計(jì)算機(jī)成績(jī)?yōu)?9 分” ，2ac表示事件“b 校學(xué)生計(jì)算機(jī)成績(jī)?yōu)?7 分” ，表示事件“b 校學(xué)生計(jì)算機(jī)成績(jī)?yōu)?8 分” ，1bc2bc則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥， 1ac1bc2ac2bc1bc2bc1122babacc cc c1122( )()babap cp c cc c1122()()babap c cp c c1122() ()() ()babap cp cp cp c 由所給數(shù)據(jù)得，發(fā)生的概率分別為1a

36、c2ac1bc2bc，1()ap c6=602()=ap c36019()=60bp c26()60bp c故 9663( )=+0.0260606060p c4141.（本小題滿分 12 分）如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，平面平面abcdabpeabcd=，且，且abpeab2,1abbpadae,aeabaebp（1）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，求證：平面；mpdemabcd（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于？若pdnbnpcd25存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由n【答案】：（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角ndbnpcd的正弦值為

37、，理由見(jiàn)解析25【解析】：（1）證明：（方法一）由已知，平面平面，且，abcd abpebcab則平面，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別為bc abpe,ba bp bcb,ba bp bc 軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系xyz則，所以1(0,2,0),(2,0,1),(1,1, ),(2,1,0),(0,0,1)2pdmec1=( 1,0, )2em 易知平面的一個(gè)法向量等于，abcd(0,1,0)n 因?yàn)?，所以?=( 1,0, ) (0,1,0)02em n emn 又平面，所以平面emabcdemabcd（方法二）由已知，平面平面，且，則平面，abcd abpebcabb

38、c abpe所以兩兩垂直連結(jié)，其交點(diǎn)記為，連結(jié)，,ba bp bc,ac bdomoem因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，abcd所以為中點(diǎn)因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，obdmpd所以，且ompb12ompb又因?yàn)?，且，aepb12aepb所以，且=aeomaeom所以四邊形是平行四邊形，所以.aemoemao因?yàn)槠矫?，平面，所以平面emabcdao abcdemabcd（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為ndbnpcd25理由如下：因?yàn)?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，(2, 2,1),(2,0,0)pdcd pcd1111( ,)nx y z由得110,0n pdn cd 1111220,20.xyzx取，得平面的一個(gè)

39、法向量11y pcd1(0,1,2)n 假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于pdnbnpcd25設(shè)，(01)pnpd 則，(2, 2,1)(2 , 2 , )pn (2 ,22 , )bnbppn 所以111|sin|cos,| |bn nbn nbnn 222222255(2 )(22 )( )5984所以，解得或（舍去） 29810 119 因此，線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的正pdnndbnpcd弦值等于254242.（本小題滿分 12 分） 正方形與梯形所在平面互相垂直，adefabcd,/ /,adcd abcd，點(diǎn)在線段上且不與重合122abad

40、cdmecce,（1）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求證：；mecadefbm平面/（2）當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的bdmabf66bdem 體積【答案】：（1）證明見(jiàn)解析；（2）4.3【解析】：（1）由題意：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，為軸，為ddaxdcyde軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，z2,0,0 ,2,2,0 ,0,4,0 ,0,0,2 ,0,2,1abcem，平面的一個(gè)法向量，2,0,1bm adef0,4,0dc ，即0bm dc bmdc /bmadef平面（2）設(shè)，故點(diǎn)， 0,4, 20,4 , 2emtecttt 0,4 ,2201mttt 設(shè)平面的一個(gè)法向量，則bdmzy

41、xn,111220,4220db nxydm ntyt z 令，則，易知平面的一個(gè)法向量，1y 121, 1,1tntabf21,0,0n ，解得，1212212216cos,6421n nn nnntt 12t 為的中點(diǎn)，到面的距離，1 , 2 , 0mbc221cdmdbmssbdem2h14.33mbdedemvsh4343.（本小題滿分 12 分）已知點(diǎn)f是橢圓)0( 11222ayax的右焦點(diǎn)，點(diǎn)( , 0)m m、(0, )nn分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足0 nfmn若點(diǎn)p滿足poonom 2（1）求點(diǎn)p的軌跡c的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)f任作一直線與點(diǎn)p的軌跡交于a、b兩點(diǎn)，直線o

42、a、ob與直線ax分別交于點(diǎn)s、t（o為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，試判斷fs ft 是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 （1）axy42；（2）fs ft 的值是定值，且定值為0 【解析】 （1）橢圓)0( 11222ayax右焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為( , 0)a，( ,)nfan(, )mnm n ，由0 nfmn，得02 amn 設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為),(yx，由poonom 2，有( , 0)2(0, )(,)mnxy ，.2,ynxm代入02 amn，得axy42 （2）(法一)設(shè)直線ab的方程為xtya，211(,)4yaya、222(,)4ybya，則xyayloa14:，xyayl

43、ob24: 由axxyay,41，得214(,)asay， 同理得224(,)atay214( 2 ,)afsay ，224( 2 ,)aftay ，則4212164afs ftay y 由axyatyx4,2，得04422aatyy，2124y ya 則044)4(16422242aaaaaftfs 因此，fs ft 的值是定值，且定值為0 (法二)當(dāng)abx時(shí)， ( , 2 )a aa、( ,2 )b aa，則:2oalyx， :2oblyx 由2 ,yxxa 得點(diǎn)s的坐標(biāo)為(,2 )saa，則( 2 ,2 )fsaa 由2 ,yxxa 得點(diǎn)t的坐標(biāo)為(, 2 )taa，則( 2 , 2 )

44、ftaa ( 2 ) ( 2 )( 2 )20fs ftaaaa 當(dāng)ab不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線ab的方程為()(0)yk xa k，),4(121yaya、),4(222yayb，同解法一，得4212164afs ftay y 由2(),4yk xayax，得22440kyayka，2124y ya 則044)4(16422242aaaaaftfs 因此，fs ft 的值是定值，且定值為0 4444.（本小題滿分 12 分）以橢圓的離心率為，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于2222:1(0)xycabab63.2 3（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；c（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率不為的直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢

45、圓的右頂點(diǎn)，直線0lcqp,ac分別與軸交于點(diǎn)，問(wèn)：以為直徑的圓是否恒過(guò)軸上的定點(diǎn)？若aqap、ynm、mnx恒過(guò)軸上的定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不恒過(guò)軸上的定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.xx【答案】 （1）（2）以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn)，. 2213xy ；mnx( 1,0)(1,0)【解析】 （1）依題意，得 2226,3,3cababca又解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 3,1,abc2213xy（2），設(shè)，( 3,0)a(0,)mm(0, )nn00(,)p xy則由題意，可得（1） ，220013xy且，.00(,)qxy00(3,)apxy (3,)amm 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，, ,a p ma

46、pam :故有，解得；同理，可得. 00(3)3xmy 0033ymx0033ynx假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點(diǎn)，則有，即.x( ,0)r trmrn 0rm rn 因?yàn)椋?,)rmt m (, )rnt n 所以，即，整理得，20tmn2000033033yytxx2202033ytx 又由（1） ，得，所以，解得或. 220033yx21t 1t 1t 故以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn),. mnx( 1,0)(1,0)方法二：（1）同方法一；（2）當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，有，此時(shí)以l(0,1)p(0, 1)q(0,1)m(0, 1)n為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)和； mnx( 1,0)(1,0)當(dāng)直

47、線 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 的方程為，llykx聯(lián)立方程組，解得，.221,3,xyykx2233(,)3131kpkk2233(,)3131kqkk設(shè)，(0,)mm(0, )nn又直線的斜率，直線的斜率，ap12131kkkam23mk 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得得，, ,a p m12kk2331 1kmk 同理，可得， 2331 1knk 假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點(diǎn)，則有，x( ,0)r trmrn直線的斜率，直線的斜率，rm3mkt rn4nkt 所以，故有，即，341k k 2tmn 2223331 131 1kktkk 整理，得，解得或，21t 1t 1t 綜合，可知以為直徑的圓恒過(guò)

48、軸上的定點(diǎn)，. mnx( 1,0)(1,0)4545.（本小題滿分 12 分）已知函數(shù)（） ln3f xaxax0a （1）討論的單調(diào)性； f x（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（為 140f xaxe2,xe eae自然常數(shù)） ；（3）求證：（，2222ln 21ln 31ln 41ln112ln !nn 2n ） n【答案】：（1）當(dāng)0a時(shí)，增區(qū)間為0,1，減區(qū)間為1,；當(dāng)0a時(shí)，增區(qū)間為1,，減區(qū)間為0,1；（2）；（3）見(jiàn)解析212eea【解析】：（1），)0()1 ()(xxxaxf當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；0a)(xf 1 , 0(), 1 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單

49、調(diào)減區(qū)間為0a)(xf), 1 1 , 0(（2）令( )ln34ln1,f xaxaxaxxeaxxe . 0)(xaxxf 若，是增函數(shù)，ea ea)(xf上在2,ee無(wú)解21, 012)()(222maxeeaeeaefxf若，在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)，2eaeeae2)(xf,ae ,2ea. 1, 01)(aaef,21, 012)(222eeaeeaef.2122eeae若，在上是減函數(shù)，2ea 2ea)(xf,2ee，1, 01)()(maxaaefxf.2ea綜上所述.212eea（3）令（或） ，此時(shí)，所以，1a 1a ( )ln3f xxx (1)2f 由（1）知在上單調(diào)

50、遞增，當(dāng)時(shí)，( )ln3f xxx (1,)(1,)x，即，對(duì)一切成立，( )(1)f xfln10 xx ln1xx(1,)x2,n*nn，則有2211111ln(1)(1)1nnnnnn，要證，2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)nn nnn 只需證22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234nnnn2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()11.234223341nnnn 所以原不等式成立4646.（本小題滿分 12 分）已知函數(shù).（常數(shù)且）.( )(1)()xf xa x

51、eara0a （1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；0a xf（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：且. xf12,x x 2140exf 2240exf【解答】：依題意，( )(1) ()(1)() (),xxxfxa xeaxeaa x ea 令，則. ( )()xh xa x ea( )(1)xh xa xe（1）當(dāng)時(shí)，故，所以在不0 x 0 xx e 0a ( )( )0h xfx( )fx(,0)上存在零點(diǎn)，則函數(shù)在不存在極值點(diǎn)； )(xf(,0)上當(dāng)時(shí)，由，故在單調(diào)遞增. 又0 x ( )(1)0 xh xa xe( )h x0,) 上，2(0)0ha 2( )()(1)0aah

52、aa a eaae所以在有且只有一個(gè)零點(diǎn). ( )( )h xfx0,) 上 又注意到在的零點(diǎn)左側(cè)，在的零點(diǎn)右側(cè)，( )fx( )0fx( )fx( )0fx所以函數(shù)在有且只有一個(gè)極值點(diǎn). )(xf0,)綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn). 0a )(xf(,) （2）因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),（不妨設(shè)） ，)(xf1x2x12xx所以,是的兩個(gè)零點(diǎn)，且由（1）知，必有. 1x2x( )( )h xfx0a 令得；( )(1)0 xh xa xe1x 令得；( )(1)0 xh xa xe1x 令得.( )(1)0 xh xa xe1x 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， ( )( )h xf

53、x(, 1 1,) tabcdmn又因?yàn)椋?(0)(0)0hfa 所以必有. 1210 xx 令，解得，( )()0tf ta t eatat e 此時(shí).22232( )(1)()(1)()(1)(2)ttttttf ta teate tetee t tettt 因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn)，12,x x( )( )h xfx所以，. 12321111( )(2)xf xexxx 22322222()(2)xf xexxx 將代數(shù)式視為以 為自變量的函數(shù)，232(2)tetttt232( )(2)tg tettt 則.22( )(1)(21)tg tett 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?t 2210,210,0tt

54、te ( )0g t 則在單調(diào)遞增.( )g t(, 1) 因?yàn)?，所以?1x 1124()()( 1)f xg xge又因?yàn)?，所? 122111( )(1)0 xf xex x 1240()f xe當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?0t 2210,210,0ttte ( )0g t 則在單調(diào)遞減，( )g t( 1,0)因?yàn)?，所? 210 x 22240(0)()()( 1)gg xf xge綜上知，且 1240()f xe2240()f xe4747.（本小題滿分 10 分）從下列三題中選做一題(1).選修 4-1：幾何證明選講如圖所示，兩個(gè)圓相內(nèi)切于點(diǎn)，公切線為，外圓的弦，分別交內(nèi)圓于、ttntctda兩點(diǎn)，并且外圓的弦恰切內(nèi)圓于點(diǎn).bcdm(1)證明：；/abcd(2)證明：.ac mdbd cm【解答】：（1）由弦切角定理可知，, ntbtab 同理，,所以,ntbtcd tcdtab 所以. / /abcd（2）連接 tm、am,因?yàn)?cd 是切內(nèi)圓于點(diǎn) m，所以由弦切角定理知，cmaatm 又由（1）知，/abcdtabcdmn所以，又,cmamab mtdmab 所以. m