權向量最簡單的求法

1、層次分析方法李萬祥主講層次分析法是一種多準則思維的方法，它將定性分析和定雖分析相結合，把人們的思維過程層次化和數(shù) 雖化，在目標結構復雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下尤為實用。自70年代美國運籌學家Saaty T丄提出以來，此方法在實際應用中發(fā)展很快。過去的物理是建立在純化的實驗和理想化的模型的基礎上，去分析和探索物質世界最基木的規(guī)律?，F(xiàn) 代物理則開始呈現(xiàn)出一種研究復雜性現(xiàn)象的趨勢，除了把物理知識應用到其它更復雜的科學領域，建立象雖 子化學、生物物理、雖子生物學等交叉學科之外，在物理領域的木身也一反過去研究理想模型的慣例，開 始向非理想、不規(guī)則的復雜現(xiàn)象進軍。非晶態(tài)、無序、混沌、多體等問題止在吸引許多物

2、理學家的注總。對這些復雜問題，傳統(tǒng)的純定雖:分析方法越來越變得軟弱無力，需要借助于定性分析的方法來整體考慮。因此，層次分析方法也許會給我們 提供幫助。問題1某工廠在擴大企業(yè)自主權后，廠領導止在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤。在決策時需要考慮的 因素主要有(1) 調動職工勞動生產積極性：(2) 提髙職工文化水平：(3) 改善職工物質文化生活狀況。請你對這些因素的重要性進行排序，以供廠領導作參考。分析和試探求解這個問題涉及到多個因素的綜合比較。市于不存在定雖的指標，單憑個人的主觀判斷雖然可以比較兩 個因素的相對優(yōu)劣，但往往很難給出一個比較客觀的多因素優(yōu)劣次序。為了解決這個問題，我們能不能把 復雜

3、的多因素綜合比較問題轉化為簡單的兩因素相對比較問題呢？運籌學家想出了一個好辦法：首先找出所 有兩兩比較的結果，并且把它們定雖化：然后再運用適當?shù)臄?shù)學方法從所有兩兩相對比牧的結果之中求出 多因素綜合比較的結果。具體操作過程如下：4)進行兩兩相對比較，并把比較的結果定雖化。首先我們把各個因素標記為Bi：調動職工勞動生產積極性；B2：提高職工文化水平：Ba：改善職工物質文化生活狀況。根據(jù)心理學的研究，在進行定性的成對比較時，人們頭腦中通常有5種明 顯的等級：相同、稍強、強、明顯強、絕對強。因此我們可以按照下表用1-1 11定性結果定雖結果Bi與Bj的影響相同Bi： Bj= 1:1Bi比Bj的影響稍強

4、Bi: Bj = 3:1Bi比Bj的影響強Bi: Bj = 5:1Bi比Bj的影響明顯強Bi: Bj = 7:1Bi比Bj的影響絕對強Bi: Bj = 9:1Bi與Bj的影響在上述兩個等級之間Bi： Bj = 2,468:1R與Bj的影響和上述情況相反Bi： Bj=9尺度來定雖化假定各因素重要性之間的相對關系為：B2比Bi的彤響強，B3比Bi的影響稍強,的影響稍強，則兩兩相對比較的定雖結果如下：B2 比 B3Bi： 81:1; Bi： B21:5;B-i： B31：3B2: Bi 5:1; B2:B21:1; B2:B33:1U 3:1;B3： B2 1:3; B3： B3 1:1為了便數(shù)學處

5、理，我們通常把上面的結果寫成如下矩陣形式，稱為成對比較矩陣。1B21/5Ba1/3B2513B331/312）綜合排序為了進行合理的綜合排序，我們把各因素的重要性與物體的重雖進行類比。體：Al, A2,-,An,它們的重雖分別為 W1, W2t-,Wno若將它們兩兩相互比較重雖, 雖）可構成一個nxn成對比較矩陣設有n件物其比值（相對重fl1.1 a1,2L訃W-1 /W-iWi / W2LWi / WnA 也82.2L82.nw2A A /W2 / w2LW2 /WnaLLLLLLLLmi恤2Lan ,nWn /WiWn / W2LWn /Wn經過仔細觀察，我們發(fā)現(xiàn)成對比較矩陣的各行之和恰好

6、與重雖向雖W =(Wl, W2,-,Wn) 丁 成止比.即9/7(1)之間也有同樣的關系存在。a2j根據(jù)類比性，我們猜想因素的重要性向雖與成對比較矩陣由此.我們可以得到因素的重要性向雖為W111/51/323/15W W25139*331/3113/3矛盾和原因同一個問題，相似的方法，為什么(5)與(8)兩個結果不一致(盡管不影響排序)？現(xiàn)在為了使用方便.我們可以適當?shù)剡x擇比例因子，使得各因素重要性的數(shù)值之和為1 (這個過程稱為歸一化，歸一化后因素重要性的數(shù)值稱為權重，重要性向雖稱為權重向雖),這樣就 得到一個權重向雖*10.103W W20.606(5)30.291上式中元素的權重大小給出了

7、各因素重要性的綜合排序。對(2)式的進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)-1.1a1.2LM.nW11a2.1AUU 2.1憶2La2.n屹*2nnW(6)LLLLLLan.1嘰2LAn.n*n這說明W還是成對比較矩陣A的特征向雖，對應的特征值為n,理論上己嚴格地證明了n是A的唯一最大特征值。按類比法，我們也可以用求解特征方程的辦法來得到重要性向雖。與(1)式對應的 待征方程為Itl此可以解出其最大特征值為n3.038,對應的特征向雖為:11/51/3*1513吃n W231/31*3-3(8)W =(0.105, 0.537, 0.2587)我們來分析一下其中的原因。對于由重雖比值構成的成對比較矩陣（2）

8、不難證明它具有性質1）唯一性ai,i = 1 : 2）互反性ai.j=1/aj.i； 3） 一致性ai.jj=ai.k,然而，重耍性是由人來判斷的，由 于人對復雜事物采用兩兩比較的方法獲得的重要性比值不可能做到完全一致，往往存在估計誤差，因此所得的成對比較矩陣只具有性質1）和2）, 一般不具有性質3）。比如說對丁成對比較矩陣（1，就有fl2J 5, *2.3 ft3.13；-2.1吃3“3一致性的缺少是造成兩種類比方法結果不同的原因。利用最小二乘法可以證明：用求解映了不一致的程度?？紤]到因素個數(shù)的影響.Saaty 將定義為一致性指標。當CI = O時，成對比較矩陣A矩陣完全一致,否則就存在不一

9、致:越大.不一致程度越大。為了確定不一致程度的允許范圍,Saaty又定義了一個一致性比率CR,當應用上面的結果.我們可以算出成對比較矩陣特征方程得到的權重向雖平均誤差較小。因此我們最好采用這個方法來求解權重向雖。致性檢驗既然存在誤差，我們就需要知道誤差的程度到底有多大？會不會影響綜合排序的結果？理論上已經證 明：對于具有一致性的成對比較矩陣，最大特征值為n；反之如果一個成對比較矩陣的最大特征值為n,則一定具有一致性。估計誤差的存在破壞了一致性，必然導致特征向雖及特征值也有偏差。我們用n表示帶有偏差的最大特征值，則n與n之差的大小反(11)CI = 0.019, CR = 0.033因此其不一致

10、性可以被接受。問題2某工廠在擴大企業(yè)自主權后，廠領導正在考慮如何合理地便用企業(yè)留成的利潤?？晒┻x擇的方案有：I、發(fā)獎金：II、擴建食堂、托兒所；III、開辦職工技校：IV、建圖書館：V、引進新技術。在決策時需要考慮到調動職工勞動生產積極性，提高職工文化水平和改善職工物質文化生活狀況等三個方而。請你對這些方案的優(yōu)劣性進排序，以便廠領導作決策。解答 劃分層次顯然這是一個多口標的決策，問題涉及到許多因素，各種因素的作用相互交叉，情況比較復雜。要處理這類復雜的決策問題，首先需要對問題所涉及的因素進行分析：哪些是要相互比較的：哪些是相互購響的。把那些要相互比較的因素歸成同一類，構造出一個各因素類之間相互

11、聯(lián)結的層次結構模型。各因素類的層次級別由其與目標的關系而定。在上述問題中，因素可以分為三類：第一是口標類，即合理地使用今年企業(yè)留利XX萬元：第二是準則類，這是衡雖口標能否實現(xiàn)的標準，如調動職工勞動積極性、提髙企業(yè)的生產技術水平等等：第三是措施類，指實現(xiàn)口標的方案、方法、手段等等。按口標到措施口上而下地將各類因素之間的直接彤響關系分不同層次排列出來，可以構成一目標:層個直觀的層次結構圖。如下圖所示:合理便用企業(yè)雷成誰則層昂調動職工國改諏工勞動積極性物質文化生活盡提咼職工文化水平層次單排序不同準則對LI標的彤響U經在問題下：1中得到了解決，現(xiàn)假定不同措施對各準則的彤響如(J2)1 不同措施對調動職

12、工勞動生產枳極性影響的成對比較矩陣U CiC2c3C4c5Cii3547c2 i/3 i325C3 i/5i/3Ii/22C4i/4i/22i3c5i/7i/5i/2i/3i其權重向雖為：Wi( 0.491, 0.232, 0.092, 0.13& 0.046)丁2.不同措施對提高職工文化水平影響的成對比較矩陣022C3c4c5Ii/7i/3i/5C3753(C43i/5Ii/35i/33I其中措施I (發(fā)獎金)對提高職工文化水平沒有什么彤響，在成對比較矩陣中不出現(xiàn)，重要性按零計算。其權 重向雖為：w2( 0 ,0.055,0.564,0.118,0.263)t3.不同措施對改善職工物質文化生

13、活狀況影響的成對 比較矩陣B3Cic2C3c4CiII33c2II33c3i/3i/3IIC4i/3i/3II其權重向雖為：W3 (0.406,0.406,0.094,0.094, 0 )T總排序上述過程中求出的是同一層次中相應元素對于上一層次中的某個因素相對重要性的排序權值，這稱為 層次單排序。若模型由多層次構成，計算同一層次所有因素對于總目標相對重要性的排序稱為總排序。這 一過程是由呆高層到最低層逐層進行的。設上一層次A包含m個因素A,A2,Am,其總排序的權重值分別 為ai, a2,am：下一層次B包含k個因素B“ B2,Bk.它們對于A的層次單排序的權重值分別為bij, b2j,bk.

14、j(當Bi與Aj無聯(lián)系時，bi.j=0)：此時B層i元素在總排序中的權重值可以市上一層次總排序的權重值與木層次的層次單排 序的權重值復合而成，結果為：W.b jaji 1,2, k(15)111此.各個方案和對于I標層的總排序可以用下表計算C層對B層的相對權值Bi0.105B20.637Ba0.258c層總排序Ci0.49100.4060.157C20.2320.0550.4060.164C30.0920.5640.0940.393C40.1380.1180.0940.113C50.0460.26300 仃2寫成矩陣形式為0.4910.0000.4060.1570.2320.0550.4060.1050.1460.0920.5640.0940.6370