高一數(shù)學(xué)必修2_第一章空間幾何體知識點

1、 第一章 空間幾何體1.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)1. 多面體與旋轉(zhuǎn)體：（1）由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.（2）由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.2. 棱柱：（1）有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面（簡稱底），其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.（

2、2）側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否則斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。（3）棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按側(cè)棱與底面的關(guān)系分為直棱柱和斜棱柱。（4）底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體；底面為矩形的直平行六面體叫長方體；底面為正方形的長方體叫正四棱柱；棱長都相等的正四棱柱叫正方體。（5）棱柱的性質(zhì)：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。3. 棱錐：（1）有一個面是多邊形，其余各面都是有一公共點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.

3、棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.（2）底面是正多邊形，頂點在底面的射影是正多邊形的中心的棱錐叫正棱柱。正棱柱頂點與底面中心的連線段叫正棱錐的高；正棱錐側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫正棱錐的斜高。（3）棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.（4）棱錐的性質(zhì)：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.（5）正棱錐的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。正棱錐的高，斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角

4、三角形，正棱錐的高，側(cè)棱，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形。正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等。正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等。4. 圓柱與圓錐：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.5. 棱臺與圓臺：（1）用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺；用一個平行于圓錐底面的平面去

5、截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺.（2）棱臺的性質(zhì)：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對應(yīng)邊互相平行的相似多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱的延長線相交于一點.（3）圓臺的性質(zhì)：兩底面是兩個半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任意兩條母線的延長線交于一點；母線長都相等.（4）棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.6.球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫球體，簡稱球.在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.7. 簡單組合體：由簡單幾何體（如柱、錐、臺、球等）組合而成的幾何體叫簡單組合體.【常見題型】1如下四個命題：棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；棱錐的側(cè)面為三角

6、形，且所有側(cè)面都有一個共同的公共點；多面體至少有四個面；棱臺的側(cè)棱所在直線均相交于同一點.其中正確的命題有（ D ）個 A1個B2個C3個D4個 2圓錐底面半徑為cm，高為cm，其中有一個內(nèi)接正方體，求這個內(nèi)接正方體的棱長SDEOC1CFD1【解】分析：畫出軸截面圖，設(shè)正方體的棱長為x，利用相似列關(guān)系求解.過圓錐的頂點S和正方體底面的一條對角線CD作圓錐的截面，得圓錐的軸截面SEF，正方體對角面CDD1C1，如圖所示. 設(shè)正方體棱長為x，則CC1=x，C1D1.作SOEF于O，則SO，OE=1， ，即. ， 即內(nèi)接正方體棱長為cm1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1. 中心投影與平行投影：（1

7、）光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影. （2）在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影. （3）平行投影按照投射方向是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種.2. 柱、錐、臺、球的三視圖：（1）三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖（2）三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前

8、后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.3. 直觀圖：“直觀圖”最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點的位置的畫法. 基本步驟如下：（1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，得到直角坐標(biāo)系，直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系，兩軸夾角為.（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x或y軸的線段.（3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半.注意：1. “視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖. 光線自物體的前面向后投影所得的投影圖成為“正視圖”，自左向

9、右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖”. 用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱為“三視圖”. 2. 畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)（和右側(cè)）、正上方三個不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個平面圖形，并發(fā)揮空間想象能力. 在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來3. 三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點：“長對正”，“高平齊”，“寬相等”4. 空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯(lián)系. 三視圖從細節(jié)上刻畫了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，根據(jù)三視圖可以得到一個精確的空間幾何體，得到廣泛應(yīng)用（零件圖紙、建

10、筑圖紙）. 直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，根據(jù)直觀圖的結(jié)構(gòu)想象實物的形象【常見題型】1如圖，圖（1）是常見的六角螺帽，試畫出它的三視圖.【解】分析：畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個正前方，從三個不同的角度進行觀察. 在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線 都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來. 圖（1）為圓柱和正六棱柱的組合體. 從三個方向觀察，得到三個平面圖形，繪制的三視圖如下圖所示.2畫棱長為4cm的正方體的直觀圖.【解】分析：按照斜二測畫法的步驟畫正方體的直觀圖，先畫下底面，再畫棱，再畫上底面.（1）畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角邊C

11、B所在的直線為x軸，與BC垂直的直線為y軸，畫出對應(yīng)的軸和軸，使.第二步，在軸上取，過作軸的平行線，取.第三步，連接，即得到該直角三角形的直觀圖.（2）畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使.第二步，過A作軸，使. 分別過點作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積1. 圓柱：側(cè)面展開圖是矩形，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高（母線）， S=2，S=2，其中為圓柱底面半徑，為母線長；.2. 圓錐：側(cè)面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線，弧長等

12、于圓錐底面周長，側(cè)面展開圖扇形中心角為，S=， S=，其中為圓錐底面半徑，為母線長. S為底面面積，h為高）3. 圓臺：側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，側(cè)面展開圖扇環(huán)中心角為，S=，S=. （S，分別上、下底面積，h為高） （r、R分別為圓臺上底、下底半徑）4柱、錐、臺的表面積與體積的計算公式的關(guān)系表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長）棱臺圓臺（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長）體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺棱錐圓錐圓臺5柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進行變化，當(dāng)臺體的上底面逐漸收縮為一個點時

13、，它就成了錐體；當(dāng)臺體的上底面逐漸擴展到與下底面全等時，它就成了柱體. 因而體積會有以下的關(guān)系： .【常見題型】1已知圓臺的上下底面半徑分別是2，5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長.【解】設(shè)圓臺的母線長為，則，圓臺的上底面面積為，圓臺的上底面面積為，所以圓臺的底面面積為.又圓臺的側(cè)面積，于是，即為所求.2一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2，3，6，則長方體的體積是 .【解】解析：長方體的長寬高分別為，求出的值，再求體積.設(shè)長方體的長寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長方體的體積為61.3.2 球的體積和表面積1. 球的體積是對球體所占空間大小的度量，它是球半徑的函

14、數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的體積2. 球的表面積是對球的表面大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的表面積為，它是球的大圓面積的4倍3. 用一個平面去截球，所得到的截面是一個圓. 【常見題型】1如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是 A. B. C. D. 【解】如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO與平面ABCD垂直，是棱錐的高，PO=R，所以，解得R=2，則球的表面積是，選D.2半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，求球的表面積和體積【解】分析：作出軸截面，利用勾股定理求解.作軸截

15、面如圖所示，設(shè)球半徑為，則，練習(xí)題一、選擇題1 有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個( )A 棱臺 B 棱錐 C 棱柱 D 都不對2 棱長都是的三棱錐的表面積為（ ）A B C D 3 長方體的一個頂點上三條棱長分別是，它的個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是（ ） A B C D 都不對4 正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（ ）A B C D 5 一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為，則球的表面積是（ ） 6 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，母線長為，圓臺的側(cè)面積為，則圓臺較小底面的半徑為（ ） A 7 下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（ ） （1） （2） （3）

16、 （4）A （1） B（2） C （3） D（4）8 在棱長為的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，則截去個三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ）A B C D 9 已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則 （ ）A B C D 10 如果兩個球的體積之比為,那么兩個球的表面積之比為( )A B C D 11 有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位），則該幾何體表面積及體積為：（ ） 65 A ， B ， C ， D 以上都不正確 12 正方體的全面積為18cm2，則它的體積是（ ）A 4cm3； B 8cm3； C cm3； D 3cm3。2、 填空題1

17、3 若三個球的表面積之比是，則它們的體積之比是_ 14 已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、，這個長方體的對角長是_；若長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為，則它的體積為_15 中，將三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為_16 等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是_17 圖（1）為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由_塊木塊堆成;圖（2）中的三視圖表示的實物為_ 圖（2）圖（1）18 若圓錐的表面積為平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面的直徑為_ 19 球的半徑擴大為原來的倍,它的體積擴大為原來的 _ 倍 20 一個直徑為厘米的圓柱形水桶中放入一個

18、鐵球，球全部沒入水中后，水面升高厘米則此球的半徑為_厘米 21 已知棱臺的上下底面面積分別為4、16，高為3,則該棱臺的體積為_三、解答題22 將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積 23 有一個正四棱臺形狀的油槽，可以裝油，假如它的兩底面邊長分別等于和，求它的深度為多少？24 已知圓臺的上下底面半徑分別是,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長 25 如圖，在四邊形中，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積 參考答案一、選擇題1 A 從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以判斷是棱臺2 A 因為四個面是全等的正三角形，則3 B 長方體的對角線是球的直徑，4 D 正