2001年數(shù)學(xué)分析專題研究試題

1、2001年數(shù)學(xué)分析專題研究試題一、填空題1集合中的關(guān)系同時(shí)為反身的、對稱的、（ ），則稱關(guān)系為等價(jià)關(guān)系。2一個(gè)集合若不能與其一個(gè)真子集建立一個(gè)（ ），則稱該集合為有限集。3函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，若（ ），則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。4設(shè)是從到上的連續(xù)函數(shù)，滿足：1）（ ）；，2）對于有,則是以為底的對數(shù)。5若函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且滿足：1）（ ）；2），當(dāng)時(shí)，；3）,則分別稱是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)。6設(shè)為從集合到集合中的關(guān)系，若,有唯一的，使（ ），則稱為（從到中的）映射。二、單項(xiàng)選擇題1a= b c d2實(shí)數(shù)集是（ ）a有限集 b可列集 c不可列集 d空集3是從到的映射，且，則a= b c d

2、4函數(shù)在點(diǎn)處（ ）a間斷 b連續(xù) c 可導(dǎo) d取得極小值5函數(shù)與在上有界，且，則在上（ ）。a有界 b無界 c有下界而無上界 d結(jié)論不定6下面結(jié)論（ ）是正確的。a若是單調(diào)函數(shù)，也是單調(diào)函數(shù)，則是單調(diào)函數(shù)。b若在數(shù)集上可導(dǎo)，且有界，則在上有界c若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)d若在數(shù)集上有界且可導(dǎo)，則在上有界三、計(jì)算題1求過拋物線上的點(diǎn)的切線方程。2已知，求。3已知，求的最小值。4若，求。四、證明題1設(shè)有映射，證明：（1）若是滿射，則是滿射（2）若是滿射，且是單射，則是滿射2若在點(diǎn)處連續(xù)，則在點(diǎn)處也連續(xù)3證明：方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。4證明不是周期函數(shù)。參考答案：一、填空題（每小題3分，共18

3、分）1.傳遞的；2.雙射；3.；4.1）;5.1）， 6. 。二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1.c；2.c；3.d；4.b；5. d；6. a三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1.解 首先計(jì)算過點(diǎn)的切線的斜率 4分所求的切線方程為 即 8分2.解 已知 （1）將代替，得 （2） 4分得 8分3.解 已知在內(nèi)，是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的定義有 5分即 而且當(dāng)時(shí)，故是的最小值。 8分4.解 設(shè)，則 3分因，故 8分四、證明題（每小題8分，共32分）1.證明（1）因是滿射，即,進(jìn)一步有，故是滿射。 4分（2）采用反證法。假設(shè)不是滿射，即，則存在，但。設(shè)，使，由于是單射，故，即，這與是滿射矛盾。

4、說明假設(shè)矛盾，即是滿射。 8分2.證明 ，因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)，故存在，當(dāng)時(shí)，有 由絕對值不等式的 4分故對任意的，當(dāng)時(shí)，有 即在點(diǎn)連續(xù)。 8分3.證明：設(shè)，則是上的連續(xù)函數(shù)，且 由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使。 4分 由得，當(dāng)時(shí)，。即在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加。故有且僅有一點(diǎn)，使，即方程在內(nèi)有且僅有一實(shí)根。 8分4.證明 采用反證法。假設(shè)是周期函數(shù)，因是連續(xù)函數(shù)且不是常值，故具有最小正周期，設(shè)為。選取自然數(shù)，使得。故存在使 4分另一方面，對于，有 這與式矛盾。故不是周期函數(shù)。 8分?jǐn)?shù)學(xué)分析專題研究期末試題（2002.1）一、 一、填空題1.若，則.2.若，則.3.設(shè)，若，則稱為從到上的 .4.若復(fù)數(shù)是某個(gè)整系數(shù)

5、多項(xiàng)式方程的根，則稱是 數(shù).5.設(shè)，則.6.設(shè)函數(shù)定義在開區(qū)間內(nèi)，對于，有，則稱是內(nèi)的 函數(shù).二、 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1.設(shè)，有.a. b. c. d. 2.若，且，則a. b. c. d. 3.若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)（ ）a. 可導(dǎo) b. 單調(diào) c. 有界 d. 對稱4.設(shè)是超越數(shù)，則是（ ）a.有理數(shù) b.代數(shù)數(shù) c. 無理數(shù) d. 超越數(shù)5.與都是以為周期的周期函數(shù)，且，則（ ）a. a. 不是周期函數(shù) b. b. 是以為周期的周期函數(shù)c. c. 是周期函數(shù)，但周期大于或等于d. 是周期函數(shù)，但周期小于或等于6.設(shè)是內(nèi)充分光滑的嚴(yán)格下凸函數(shù)，則（ ）a. 在內(nèi)必取到最小值

6、 b. 在內(nèi)必取到最大值c. 在內(nèi)有 d. 前三個(gè)結(jié)論都不對三、 三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1.設(shè)，求2.設(shè)，求3.求函數(shù)的極值4.已知重根號），求四、 四、證明題（每小題8分，共32分）1.證明（1）（4分） （2）（4分）2.證明 設(shè)數(shù)集與均有上界，則集合有上界，且3.證明 設(shè)，有4.證明 設(shè)是從到的連續(xù)函數(shù)，則存在點(diǎn),使得.參考答案一、 一、填空題（每小題3分，共18分）1.，2.，3. 滿射，4.代數(shù)數(shù)，5.，6.下凸二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1.，2.，3.，4. ，5.，6.三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1解 ， 2分， 7分故 8分2設(shè)，則， 3分代入得 8分3解 3分令，得，易驗(yàn)證是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)， 6分極大值，極小值 8分4.解 顯然，且，即數(shù)列，單調(diào)增加且有上界，故存在，設(shè)，由可得， 5分即，解得 8分四、證明題（每小題8分，共32分）1. 證明：（1）若設(shè)表示的補(bǔ)集，則有 4分（2） 8分 2. 證明：，有，故，即是的一個(gè)