九年級(jí)數(shù)學(xué)奧賽講座：二次根式

1、第一講第一講九年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)九年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)泰和五中泰和五中 周光明周光明二次根式二次根式a （a0）第一講第一講 二次根式二次根式 我們將數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)的同時(shí)，代數(shù)我們將數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)的同時(shí)，代數(shù)式中也就隨之引進(jìn)了根式根式的研究使我們式中也就隨之引進(jìn)了根式根式的研究使我們初步了解了無(wú)理數(shù)的性質(zhì)，數(shù)與式相輔相成，初步了解了無(wú)理數(shù)的性質(zhì)，數(shù)與式相輔相成，相互促進(jìn)，體現(xiàn)了代數(shù)知識(shí)緊密的聯(lián)系性，因相互促進(jìn)，體現(xiàn)了代數(shù)知識(shí)緊密的聯(lián)系性，因此，根式問(wèn)題不但是初中階段常規(guī)試題和競(jìng)賽此，根式問(wèn)題不但是初中階段常規(guī)試題和競(jìng)賽試題的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，同時(shí)，對(duì)高中乃至更試題的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，同時(shí)，對(duì)高中乃至更深

2、層的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有深遠(yuǎn)的意義深層的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有深遠(yuǎn)的意義賽點(diǎn)歸納賽點(diǎn)歸納 賽點(diǎn)歸納賽點(diǎn)歸納 典題精講典題精講二次根式的意義二次根式的意義 c c點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：非負(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)與性質(zhì)雖然淺顯易懂，但用它所能非負(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)與性質(zhì)雖然淺顯易懂，但用它所能解決的問(wèn)題卻非常廣泛，近幾年的各種競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)有此賽解決的問(wèn)題卻非常廣泛，近幾年的各種競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)有此賽題從題目所給條件中不易看出與非負(fù)數(shù)有關(guān)，比較隱藏，但通過(guò)題從題目所給條件中不易看出與非負(fù)數(shù)有關(guān)，比較隱藏，但通過(guò)配方，構(gòu)造方程等方法或?qū)?shí)際問(wèn)題的分析，卻發(fā)現(xiàn)可利用非負(fù)配方，構(gòu)造方程等方法或?qū)?shí)際問(wèn)題的分析，卻發(fā)現(xiàn)可利用非負(fù)數(shù)的知識(shí)求解數(shù)的知識(shí)求

3、解典題精講典題精講二次根式的意義二次根式的意義 典題精講典題精講實(shí)數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)的大小比較數(shù)的大小比較秘決數(shù)的大小比較秘決：1、正數(shù)零負(fù)數(shù)；對(duì)于兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)、正數(shù)零負(fù)數(shù)；對(duì)于兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，這是比較法則值大的反而小，這是比較法則2、大小比較的常用方法：、大小比較的常用方法： 作差法；作差法； 倒數(shù)法；倒數(shù)法； 作比法作比法典題精講典題精講實(shí)數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)的大小比較分析：嘗試直接比較或作差比較，難以實(shí)現(xiàn)因此可考慮倒數(shù)法分析：嘗試直接比較或作差比較，難以實(shí)現(xiàn)因此可考慮倒數(shù)法典題精講典題精講實(shí)數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)的大小比較分析：嘗試直接比較或作差比較，難以實(shí)現(xiàn)因此可考慮倒數(shù)法分析：嘗試

4、直接比較或作差比較，難以實(shí)現(xiàn)因此可考慮倒數(shù)法a a典題精講典題精講實(shí)數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)的大小比較分析：先利用分析：先利用因數(shù)分解法因數(shù)分解法將等式左邊化成將等式左邊化成最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而斷，進(jìn)而斷定等式右邊的兩項(xiàng)為定等式右邊的兩項(xiàng)為同類(lèi)二次根式同類(lèi)二次根式，再分別討論即可，再分別討論即可典題精講典題精講同類(lèi)二次根式同類(lèi)二次根式二次根式的化簡(jiǎn)與求值 有條件的二次根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題是有條件的二次根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題是代數(shù)式變形的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，這類(lèi)內(nèi)容包括代數(shù)式變形的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，這類(lèi)內(nèi)容包括了整式，分式，二次根式等眾多知識(shí)，且往往了整式，分式，二次根式等眾多知識(shí)，且往往聯(lián)系著分解變

5、形、整體代換等重要的數(shù)學(xué)思想聯(lián)系著分解變形、整體代換等重要的數(shù)學(xué)思想方法，其解題的基本思路：方法，其解題的基本思路：1直接代入直接代入：直接將已知條件代入到待化：直接將已知條件代入到待化簡(jiǎn)求值的式子中；簡(jiǎn)求值的式子中；2變形代入變形代入：適當(dāng)?shù)臈l件，適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論，：適當(dāng)?shù)臈l件，適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論，同時(shí)變形條件與結(jié)論，再代入求值同時(shí)變形條件與結(jié)論，再代入求值二次根式的化簡(jiǎn)與求值 二次根式的化簡(jiǎn)與求值 二次根式的化簡(jiǎn)與求值 對(duì)一些有關(guān)二次根式的代數(shù)式求值問(wèn)題，我們不能孤立地看對(duì)一些有關(guān)二次根式的代數(shù)式求值問(wèn)題，我們不能孤立地看待已知與已知、已知與未知，而應(yīng)從整體的角度去分析已知與已待已知與已知、已知與未知，

6、而應(yīng)從整體的角度去分析已知與已知、已知與未知的關(guān)系，然后采取相應(yīng)的措施，如做一些必要的知、已知與未知的關(guān)系，然后采取相應(yīng)的措施，如做一些必要的運(yùn)算變形、恒等變形、整體代入求值等運(yùn)算變形、恒等變形、整體代入求值等二次根式的化簡(jiǎn)與求值 二次根式的化簡(jiǎn)與求值 構(gòu)造方程與方程組 【點(diǎn)評(píng)【點(diǎn)評(píng)】復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)，一般是將二次根式中的被開(kāi)方數(shù)復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)，一般是將二次根式中的被開(kāi)方數(shù)配成完全平方式，然后再求解的方法，這也叫用配方法配方時(shí)配成完全平方式，然后再求解的方法，這也叫用配方法配方時(shí)有時(shí)需要通過(guò)幾次拼湊方可達(dá)到目的有時(shí)需要通過(guò)幾次拼湊方可達(dá)到目的 配方法主要用來(lái)解競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的復(fù)合二次根式

7、的化簡(jiǎn)配方法主要用來(lái)解競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題和需要用完全平方公式解決的問(wèn)題問(wèn)題和需要用完全平方公式解決的問(wèn)題復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)二次根式的大小比較二次根式的大小比較二次根式中的數(shù)學(xué)方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂，只有掌握了數(shù)學(xué)思數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂，只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，將知識(shí)轉(zhuǎn)想方法，才能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中滲透了不少數(shù)學(xué)思化為能力。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中滲透了不少數(shù)學(xué)思想方法，下面本章的有關(guān)賽題為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)想方法，下面本章的有關(guān)賽題為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常用的數(shù)學(xué)方法。競(jìng)賽中常用的數(shù)學(xué)方法。 換元法是一種重要的

8、數(shù)學(xué)方法，它在解題中有著廣泛的應(yīng)用換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它在解題中有著廣泛的應(yīng)用對(duì)于一些復(fù)雜的根式運(yùn)算，通過(guò)換元，將其轉(zhuǎn)化為有理式的運(yùn)算，對(duì)于一些復(fù)雜的根式運(yùn)算，通過(guò)換元，將其轉(zhuǎn)化為有理式的運(yùn)算，可以使得運(yùn)算簡(jiǎn)便可以使得運(yùn)算簡(jiǎn)便例例1 二次根式中的數(shù)學(xué)方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法一換元法一換元法點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本例運(yùn)用換元法變形整理，換元的主要目的是本例運(yùn)用換元法變形整理，換元的主要目的是化繁為簡(jiǎn)，化無(wú)理式為有理式化繁為簡(jiǎn)，化無(wú)理式為有理式，再求代數(shù)式的值，再求代數(shù)式的值二次根式中的數(shù)學(xué)方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法一換元法一換元法二次根式中的數(shù)學(xué)方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法一換元法一換元法二次根式中的數(shù)

9、學(xué)方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法一平方法換元法一平方法換元法二次根式中的數(shù)學(xué)方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法一一平方法平方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法二次根式中的數(shù)學(xué)方法一換元法一換元法構(gòu)造法（方程與方程組） 在解決一些非方程問(wèn)題時(shí)，我們可以根據(jù)題目特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造方在解決一些非方程問(wèn)題時(shí)，我們可以根據(jù)題目特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造方程，并運(yùn)用方程使問(wèn)題得以解決，如本文中的例程，并運(yùn)用方程使問(wèn)題得以解決，如本文中的例1就構(gòu)造了一個(gè)關(guān)就構(gòu)造了一個(gè)關(guān)于字母于字母a的一元二次方程，的一元二次方程，分母有理化分母有理化 二次根式運(yùn)算經(jīng)常涉及到分母有理化其二次根式運(yùn)算經(jīng)常涉及到分母有理化其基本方法為基本方法為“分子、分母同乘以分母的有理化分子、分母同乘以分母的有理化因式因式”其實(shí)分母有理化還有其它方法，下面其實(shí)分母有理化還有其它方法，下面以部分賽題為，針對(duì)題目的特征，介紹幾種分以部分賽題為，針對(duì)題目的特征，介紹幾種分母有理化妙招，以開(kāi)拓思路，提高大家的數(shù)學(xué)母有理化妙招，以開(kāi)