【工科數(shù)學(xué)】【無(wú)窮級(jí)數(shù)】11(7)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)

1、1三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)( (傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)Fourier series)問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出第七節(jié)第七節(jié) 傅里葉傅里葉( (Fourier) )級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù) 第十一章第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)2 上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): :冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù). . 下面研究另一種重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)下面研究另一種重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): :這種級(jí)數(shù)是由于這種級(jí)數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而研究周期現(xiàn)象的需要而產(chǎn)生產(chǎn)生的的.它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很它在

2、電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很重要的應(yīng)用重要的應(yīng)用. 傅里葉傅里葉(Fourier,1768-1830) 法國(guó)數(shù)學(xué)家和法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家物理學(xué)家. 法國(guó)科學(xué)院院士法國(guó)科學(xué)院院士,英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.傅里葉傅里葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). .傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)3傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1757年年, ,法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽(yáng)引法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽(yáng)引起的攝動(dòng)時(shí)起的攝動(dòng)時(shí), , 10cos2)(nnnxAAxf 1759年年, ,拉格朗日在對(duì)聲學(xué)的研究中也使用拉格朗日在對(duì)聲學(xué)的研究中也使用了了三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù). . 用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角

3、用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角1777年年, ,歐拉在研究天文學(xué)的時(shí)候歐拉在研究天文學(xué)的時(shí)候, ,級(jí)數(shù)時(shí)的系數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)的系數(shù), , 也就是現(xiàn)今教科書(shū)中傅里葉級(jí)數(shù)也就是現(xiàn)今教科書(shū)中傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的系數(shù). .大膽地采用了大膽地采用了歷史朔源歷史朔源三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)表示函數(shù)表示函數(shù): : 20cos)(21nxdxxfAn其其中中4微分方程是分不開(kāi)的微分方程是分不開(kāi)的. .析學(xué)的發(fā)展析學(xué)的發(fā)展. .形所采用的三角級(jí)數(shù)方法進(jìn)行加工處理形所采用的三角級(jí)數(shù)方法進(jìn)行加工處理, ,1753年年, ,的解表示為三角級(jí)數(shù)的形式的解表示為三角級(jí)數(shù)的形式, ,這為函數(shù)的傅里葉這為函數(shù)的傅里葉展開(kāi)這個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)

4、題奠定了物理基礎(chǔ)展開(kāi)這個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題奠定了物理基礎(chǔ), ,促進(jìn)了分促進(jìn)了分在歷史上在歷史上, ,丹丹 貝努利首先提出將弦振動(dòng)方程貝努利首先提出將弦振動(dòng)方程1822年年, ,傅里葉在傅里葉在熱的解析理論熱的解析理論一書(shū)中一書(shū)中對(duì)于歐拉和貝努利等人就一些孤立的，對(duì)于歐拉和貝努利等人就一些孤立的， 特殊的情特殊的情發(fā)展成發(fā)展成一般理論一般理論. .三角級(jí)數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展三角級(jí)數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解與求解傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)5一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中, 周而復(fù)始周而復(fù)始的現(xiàn)象的現(xiàn)象, 周期運(yùn)動(dòng)是常見(jiàn)的周期運(yùn)動(dòng)是常見(jiàn)的.如行星的飛轉(zhuǎn)如行星

5、的飛轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn)飛輪的旋轉(zhuǎn),蒸氣機(jī)活塞的蒸氣機(jī)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng),物體的振動(dòng)物體的振動(dòng),聲、光、電的波動(dòng)等聲、光、電的波動(dòng)等.數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上,用周期函數(shù)來(lái)描述它們用周期函數(shù)來(lái)描述它們.最簡(jiǎn)單最基本最簡(jiǎn)單最基本的周期函數(shù)是的周期函數(shù)是)sin( tA諧函數(shù)諧函數(shù)周期周期 2振幅振幅時(shí)間時(shí)間角頻率角頻率初相初相 簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)正弦型函數(shù)正弦型函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)6如矩形波如矩形波 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波不同頻率正弦波,sin4t ,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t 除了正弦函數(shù)外除了正弦函數(shù)外,常遇到的是

6、常遇到的是非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù),較復(fù)雜的較復(fù)雜的周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象逐個(gè)疊加逐個(gè)疊加分解分解,9sin914t 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Otu11 7tusin4 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)11 Otu 2 22 2 23 23 8)3sin31(sin4ttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 9)5sin513sin31(sin4tttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 10)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Ot

7、u11 2 22 2 23 23 11)9sin917sin715sin513sin31(sin4)( ttttttu )0,( tt )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 12設(shè)想設(shè)想一個(gè)較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)一個(gè)較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)(如矩形波如矩形波)分解分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加.會(huì)給分析問(wèn)題帶來(lái)方便會(huì)給分析問(wèn)題帶來(lái)方便. 是把一個(gè)復(fù)雜的周期函數(shù)是把一個(gè)復(fù)雜的周期函數(shù) f(t)sin(nntnA 反映在數(shù)學(xué)上反映在數(shù)學(xué)上,的迭加的迭加,表示為各類表示為各類正弦函數(shù)正弦函數(shù) 10

8、)sin(nnntnAA 諧波分析諧波分析或再利用三角恒等式或再利用三角恒等式, 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 變形為變形為即即傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)13,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb . xt 三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 0AnnA sinnnA cost 函數(shù)函數(shù) f (t) 滿足什么條件滿足什么條件,系數(shù)系數(shù)nnbaa,0才能展為才能展為如何確定如何確定? 為簡(jiǎn)便計(jì)為簡(jiǎn)便計(jì),先來(lái)討論以先來(lái)討論以 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù) f(x

9、), 2解決上述問(wèn)題起著關(guān)鍵作用的是解決上述問(wèn)題起著關(guān)鍵作用的是:三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性(orthogonality). 10)sincos(2nnnnxbnxaa1 三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)?傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)14, 1三角函數(shù)系三角函數(shù)系二、三角函數(shù)系的二、三角函數(shù)系的正交性正交性的的正交性正交性是指是指:其中任何兩個(gè)其中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積不同的函數(shù)的乘積上的積分為零，上的積分為零，, 在一個(gè)周期長(zhǎng)的區(qū)間在一個(gè)周期長(zhǎng)的區(qū)間 而任而任一個(gè)函數(shù)的自乘一個(gè)函數(shù)的自乘(平方平方)在在 ,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx或或上

10、上的的積積分分為為 , .2 為為 1nxcosxd 1nxsinxd0 即有即有xd12 2 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)orthogonality15 xnxmxdsinsin xnxmxdcossin), 2 , 1,( nm其其中中xnxdcos2 xnxdsin2 nm , 0nm , 0 xnxmxdcoscosnm , 0nm , 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 161.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) (Fourier coefficient) 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求 220 a xxfad)(10 xad20利用三

11、角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性兩邊積分兩邊積分 1dsindcoskkkxkxbxkxa 0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)三、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)17.)2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na xnxxfandcos)(1), 3 , 2 , 1( n,cosnx兩邊同乘兩邊同乘逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分到到再?gòu)脑購(gòu)?xnxadcos20利用三角函數(shù)系的

12、正交性利用三角函數(shù)系的正交性nk 0 0 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)18.)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1), 3 , 2 , 1( n xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk nb 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx兩兩邊邊同同乘乘逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分到到再?gòu)脑購(gòu)?xnxadsin20利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性0 nk 0 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)19,2)(為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)是以是以設(shè)設(shè) xf或或且且在在, 2 , 0 則則 xnxxfandcos)(1 xn

13、xxfbndsin)(1), 2 , 1 , 0( n), 2 , 1( n xnxxfdcos)(1 xnxxfdsin)(1 0 20 2,上上可可積積希自己證明希自己證明傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)201993,研究生考題研究生考題,填空填空,3分分的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)設(shè))( ,)(2 xxxxf則則展開(kāi)式為展開(kāi)式為)sincos(210nxbnxaannn ).(3 b系數(shù)系數(shù) 32 xnxxfbndsin)(1解解由由傅里葉系數(shù)公式傅里葉系數(shù)公式, 3 n xxxxbd3sin)(123 xxxxxxd3sind3sin12dxxx 3sin 32 偶偶奇奇 02傅里

14、葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)0 21 ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2020), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa由由這些系數(shù)這些系數(shù)作成的三角級(jí)數(shù)作成的三角級(jí)數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)22稱為函數(shù)稱為函數(shù) f(x)(誘導(dǎo)出誘導(dǎo)出)的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù),f(x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa注注f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)不見(jiàn)得收斂；的傅里葉級(jí)數(shù)不見(jiàn)得收

15、斂； 即使收斂，即使收斂，級(jí)數(shù)的和也不一定是級(jí)數(shù)的和也不一定是 f(x).不能無(wú)條件的不能無(wú)條件的下面的下面的傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理回答了我們回答了我們.所以所以,把符號(hào)把符號(hào)“ ”它的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，它的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，記為記為當(dāng)當(dāng) f(x)滿足什么條件時(shí)，滿足什么條件時(shí)，并收斂于并收斂于f(x)本身本身.換為換為“=”.傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)232. 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859它它在在的的周周期期函函數(shù)數(shù)是是周周期期為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),2)( xf:,上上滿滿足足條條件件區(qū)區(qū)間間 ;,)1(處

16、處處處連連續(xù)續(xù)外外除除有有限限個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).)2(只有有限個(gè)極值點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn),)(都都收收斂斂一一點(diǎn)點(diǎn)產(chǎn)產(chǎn)生生的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在任任則則由由xxf上它的和函數(shù)為上它的和函數(shù)為且在且在, (收斂定理收斂定理)傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù))()sincos(210 xfnxbnxaannn 24傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),2)0()0( xfxf當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) x)(xS傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)的關(guān)系的關(guān)系),(xf由定理可知由定理可知:在

17、在 f(x)的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處,都收斂到都收斂到 f(x)自身自身即使有間斷點(diǎn)即使有間斷點(diǎn),函數(shù)也有傅氏級(jí)數(shù)函數(shù)也有傅氏級(jí)數(shù),間斷點(diǎn)上級(jí)數(shù)不收斂到函數(shù)值間斷點(diǎn)上級(jí)數(shù)不收斂到函數(shù)值,只不過(guò)在只不過(guò)在而是收斂到而是收斂到間斷點(diǎn)處左右極限的算術(shù)平均值間斷點(diǎn)處左右極限的算術(shù)平均值收斂到左端點(diǎn)的右極限收斂到左端點(diǎn)的右極限處處在端點(diǎn)在端點(diǎn), x術(shù)平均值術(shù)平均值和右端點(diǎn)的左極限的算和右端點(diǎn)的左極限的算)()sincos(210 xfnxbnxaannn ,2)()(ff 0 0 25(1)函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開(kāi)成函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開(kāi)成(2) 周期函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)是唯一的周期函數(shù)的三

18、角級(jí)數(shù)展開(kāi)是唯一的,就是就是常說(shuō)把常說(shuō)把 f (x)在在 上展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)上展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)., (3) 要注明要注明傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f (x)相等相等注注冪級(jí)數(shù)的條件低得多冪級(jí)數(shù)的條件低得多;其傅里葉級(jí)數(shù)其傅里葉級(jí)數(shù),20a它它的的常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng) xxfad)(10傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的區(qū)域的區(qū)域.就是函數(shù)就是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值;26 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)以以 為周期為周期, 且且 2 .0,1,0, 1)(2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxxf其傅氏級(jí)數(shù)在其傅氏級(jí)數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). x1992,研究生考題研究生考題

19、,填空填空,3分分22 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)27解解上上滿滿足足狄狄利利克克雷雷條條件件，在在區(qū)區(qū)間間由由于于,)( xf可以將可以將f (x)展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù).因?yàn)橐驗(yàn)?0( f)0( f所以所以,收收斂斂于于的的傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xxf)(2)0()0( ff,1)1(lim22 xx, 1)1(lim x22 .0,1,0, 1)(2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxxf其傅氏級(jí)數(shù)在其傅氏級(jí)數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)以以 為周期為周期,且且 2傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)28周期函數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)解題程序傅里葉級(jí)

20、數(shù)解題程序: :并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(畫(huà)圖目的畫(huà)圖目的: 驗(yàn)證狄氏條件驗(yàn)證狄氏條件;由圖形寫(xiě)出收斂域由圖形寫(xiě)出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2) 求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);(3) 寫(xiě)出傅氏級(jí)數(shù)寫(xiě)出傅氏級(jí)數(shù), 并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于f (x).傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1) 畫(huà)出畫(huà)出 f (x)的圖形的圖形,29解解u(t)的圖象的圖象 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) tnttuandcos)(1), 2 , 1( n ttuad)(10奇奇0 奇奇0 將其展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，將其展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，并

21、按狄利克雷定理寫(xiě)出此級(jí)數(shù)的和并按狄利克雷定理寫(xiě)出此級(jí)數(shù)的和.例例 xxfad)(10 xnxxfandcos)(1傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)OtumEmE 2以以 為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形 0,0,)(tEtEtumm 30 tnttubndsin)(1)cos1(2 nnEm )1(12nmnE 偶偶 tntEmdsin 0cos2ntnEm ,4 nEm, 0, 5 , 3 , 1 n, 6 , 4 , 2 n02 tnnEtunm)12sin(1214)(1 )5sin513sin31(sin4 tttEm f(x) 10)sincos(2nnnnxbnx

22、aa傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)故故u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為的傅里葉級(jí)數(shù)為31時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kt 由于由于u(t)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,), 2, 1, 0(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) kkt 2mmEE 收斂于收斂于2)(mmEE 0 所以所以,得得tnnEnm)12sin(12141 ),(tu時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kt , 0tnnEtunm)12sin(1214)(1 ),2, 0;( tt傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)u(t)的圖象的圖象OtumEmE 和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象OtumEmE 32且且為為周周期期以以函函數(shù)數(shù),2)( xf ,0, 0, 0,)( xxx

23、xf解解 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) xxfad)(10 0d1 xx2 例例傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2 3 2 3Oxy將將 f (x) 展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù). f (x) 的圖象的圖象33 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos .)1(1nn 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)34 112sin)

24、1(cos)1(1 14nnnnxnnxn xxx5cos513cos31cos2422 .3sin312sin21sin xxx)(xf傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)故故 f (x)的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)35由于由于f (x)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) kkx 2)0()0( ff收收斂斂于于).()12(xfkxx處處收收斂斂于于在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 220 由收斂定理由收斂定理得得傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2 3 2 3Oxy的的圖圖象象)(xf和和函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象2 2 3 2 3Oxy 36

25、)(xf xx3sin313cos322 x2sin21 x4sin41 xx5sin515cos522 ).,3,;( xx xxsincos24 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)37上有定義上有定義;, (3) F(x)可展為傅氏級(jí)數(shù)可展為傅氏級(jí)數(shù);注注, )(2,)2(xF的的函函數(shù)數(shù)外外補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義成成為為在在 );()(,),()4(xfxF 內(nèi)內(nèi) ,)5( x作作 法法傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)對(duì)于非周期函數(shù)對(duì)于非周期函數(shù),如果如果 f (x)只在區(qū)間只在區(qū)間上有定義上有定義, 并且滿足狄氏充要條件并且滿足狄氏充要條件,也可展開(kāi)成也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù).(

26、1) f (x) 在在 (周期延拓周期延拓);).0()0(21 ff級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于38解解, 例例 將函數(shù)將函數(shù) xxxxxf0,0,)(展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù).上上, 拓廣的周期函數(shù)拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在 xxfad)(10 0d2xx 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Oxy 2 2 所給函數(shù)在區(qū)間所給函數(shù)在區(qū)間滿足狄氏充要條件滿足狄氏充要條件,收斂于收斂于 f (x).39 xnxxfandcos)(1)1(cos22 nxn 1)1(22 nn xxxf,)( 0dcos2xnxx偶函數(shù)偶函數(shù) , 6 , 4 ,

27、 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn xnxxfbndsin)(10 奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)40 12)12cos()12(142)(nxnnxf )( x所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為 xxx5cos513cos31cos4222 利用傅氏展開(kāi)式求級(jí)數(shù)的和利用傅氏展開(kāi)式求級(jí)數(shù)的和, 0)0(,0 fx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 222513118 xxxf,)(傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)41,4131211222 設(shè)設(shè)8513112221 ,6141212222 ,41312112223 42 ,242 21 ,62 .122 收收=和和,421

28、312 1 82 2 242 3 21 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)42 北方交大考題北方交大考題 95級(jí)級(jí), (6分分) 2)(|2,2|,)(以以寫(xiě)出寫(xiě)出設(shè)設(shè)xfxxxxxf 為周期的傅氏級(jí)數(shù)的為周期的傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)S(x)在在 上的上的, 解解S(x) =, x 2 x,x x2, 0 ,2x傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)表達(dá)式表達(dá)式. 4398 (A) 填空題填空題 (3分分) ,61212 nn 已知級(jí)數(shù)已知級(jí)數(shù) 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 的和的和 12121nn等于等于82 12216nn 12)12(1nn 1212141)12(1nnnn解解641)12(1212

29、 nn 222241312111 12)2(1nn8)12(1212 nn所以所以,傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)44由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)系數(shù)的公式系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論易得下面的結(jié)論.和傅里葉和傅里葉 na nb此時(shí)稱傅里葉級(jí)數(shù)為此時(shí)稱傅里葉級(jí)數(shù)為nxbnnsin1 即即 xnxxfandcos)(1,)(2. 1展成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)展成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)的奇函數(shù)的奇函數(shù)當(dāng)周期為當(dāng)周期為xf ), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n)(xf奇函數(shù)奇函數(shù) xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( )(xf奇函數(shù)奇函數(shù)(sine

30、series)正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)sine series and cosine series四、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)四、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為45 nb此時(shí)稱傅里葉級(jí)數(shù)為此時(shí)稱傅里葉級(jí)數(shù)為nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n), 2 , 1( n,)(2. 2展成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)展成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)的偶函數(shù)的偶函數(shù)當(dāng)周期為當(dāng)周期為xf na)(xf偶函數(shù)偶函數(shù) 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10)(xf偶函數(shù)偶函數(shù)注注將函數(shù)展為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)將函數(shù)展為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí),先要考查

31、函數(shù)先要考查函數(shù)是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf(cosine series)余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為46 xxxxxf0,0,)(2 的函數(shù)的函數(shù)試將周期為試將周期為解解 函數(shù)的圖形如圖函數(shù)的圖形如圖,電學(xué)上稱為電學(xué)上稱為 偶函數(shù)偶函數(shù) 0a 0d)(2xxf 0d2xx 0dcos)(2xnxxfan)1(cos22 nxn 1)1(22 nn 0dcos2xnxx的的圖圖象象)(xf例例展為傅里葉級(jí)數(shù)展為傅里葉級(jí)數(shù).鋸齒波鋸齒波.傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Oxy 2 2

32、 347 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn ,)(處處處處連連續(xù)續(xù)由由于于xf所所以以 12)12cos()12(142)(nxnnxf x xxx5cos513cos31cos4222 0 nbnxaann 10cos2余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)Oxy 2 2 348解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.為周期的為周期的是以是以時(shí)時(shí) 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2 2 3 3xyO設(shè)設(shè) f (x)是周期為是周期為 的周期函數(shù)

33、的周期函數(shù),它在它在例例 2上上), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,)(xxf 將將 f (x)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù). f (x)的圖形的圖形492)0()0( ff收收斂斂于于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn) 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) kkx 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的圖形的圖形)(xf 2 2 3 3xyO和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 2 2 3 3xyO50)3sin3

34、12sin21(sin2)( xxxxf 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)1)1(2 nnnb), 2 , 1( n傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)51例例 在無(wú)線電設(shè)備中在無(wú)線電設(shè)備中,常用電子管整流器將交流電常用電子管整流器將交流電轉(zhuǎn)換為直流電轉(zhuǎn)換為直流電.已知電壓已知電壓t為時(shí)間為時(shí)間試將試將E(t)展為傅氏級(jí)數(shù)展為傅氏級(jí)數(shù).|sin|)(ttE 解解為為)(tE, 0 nb), 2 , 1( n在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù).ttad |sin|200 04dsin2tt偶函數(shù)偶函數(shù), ,傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)

35、2 21tEO所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，52 0dcossin2tnttan 01)1cos(1)1cos(1 ntnntn)1( nn為奇數(shù)為奇數(shù)n為偶數(shù)為偶數(shù) 01dcossin2ttta0 0d)1sin()1sin(1ttntn , 0.)1(42 n )6cos3514cos1512cos31(42 ttt )( t)(tE (n=1時(shí)也對(duì)時(shí)也對(duì))傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)53上上函函數(shù)數(shù)定定義義在在, 0 上上函數(shù)延拓到一個(gè)周期函數(shù)延拓到一個(gè)周期, 數(shù)數(shù)軸軸上上函函數(shù)數(shù)按按周周期期延延拓拓到到整整個(gè)個(gè)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開(kāi)成傅立葉上的函數(shù)

36、展開(kāi)成傅立葉定義在定義在, 0 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)54上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 1 上有上有上的函數(shù)延拓到上的函數(shù)延拓到把把, 0 上的上的使函數(shù)成為使函數(shù)成為,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓兩種兩種:正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù).偶函數(shù)偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù),余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù);傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)因而展開(kāi)成因而展開(kāi)成因而展開(kāi)成因而展開(kāi)成55上有定義上有定義., 0 作法作法3. F(x)可展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)可展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù), 這個(gè)級(jí)數(shù)必定是這個(gè)級(jí)數(shù)必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式.上上，在在限限制制, 0(.

37、4 x)0 ,( ,( (偶函數(shù)偶函數(shù))的的奇函數(shù)奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù))(余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù))注注其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù)其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù).傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件1. f (x)在在 2. 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間內(nèi)補(bǔ)充定義內(nèi)補(bǔ)充定義,得到定義在得到定義在上的函數(shù)上的函數(shù)F(x),),( 使它成為使它成為 在上在上56解解(1) 求正弦級(jí)數(shù)求正弦級(jí)數(shù). .進(jìn)行進(jìn)行對(duì)對(duì))(xf 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n奇延拓奇延拓,nxbnnsin1 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).)0(1)( xxxf將將函函數(shù)數(shù)例例3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x傅里葉傅里葉(Fo