4-7能態(tài)密度和費米面

1、1晶體中電子狀態(tài)的基本認識晶體中電子狀態(tài)的基本認識（1 1）晶體中電子狀態(tài)由能帶描述；）晶體中電子狀態(tài)由能帶描述；（2 2）一般情況下，原子能級與能帶有一一對應的關系）一般情況下，原子能級與能帶有一一對應的關系；（3 3）能帶寬度決定于波函數(shù)的重疊程度；）能帶寬度決定于波函數(shù)的重疊程度；（4 4）禁帶寬度決定于周期勢場變化的劇烈程度；）禁帶寬度決定于周期勢場變化的劇烈程度；（5 5）晶體中電子波函數(shù)是布洛赫函數(shù)，它反映晶體電）晶體中電子波函數(shù)是布洛赫函數(shù)，它反映晶體電子共有化運動和圍繞原子核運動兩者兼有的特征；子共有化運動和圍繞原子核運動兩者兼有的特征；24-74-7能態(tài)密度和費米面能態(tài)密度和

2、費米面一、能態(tài)密度函數(shù)一、能態(tài)密度函數(shù)固體中的電子能級原子中電子的本征態(tài)分立的能級分立的能級分布情況描述具體標明各能級能量具體標明各能級能量準連續(xù)分布準連續(xù)分布特點：異常密集特點：異常密集分布情況描述“能態(tài)密度函數(shù)能態(tài)密度函數(shù)N(E)”或或“單位體積能態(tài)密度單位體積能態(tài)密度g(E)”3一、能態(tài)密度函數(shù)一、能態(tài)密度函數(shù)1、能態(tài)密度函數(shù)定義：在EE+ E能量范圍內的能態(tài)數(shù)目用Z表示，則能態(tài)密度函數(shù)定義為：EZEN lim)(單位體積能態(tài)密度單位體積能態(tài)密度g(E)：)()(ENVEg1dEdZEN)(或或4一、能態(tài)密度函數(shù)一、能態(tài)密度函數(shù).Z.Z的確定的確定在 空間中作 和 等能面，在兩等能面之間

3、狀態(tài)數(shù)即為Z。而 空間中分布是均勻的，密度為 ，即： k EkE EEkE k32 Vxkykdkds之間之間和和等能面等能面EEEVVZ 322 dsdkV322 (1)dk表示兩等能面之間的垂直距離表示兩等能面之間的垂直距離;(2)ds表示面積元。表示面積元。5一、能態(tài)密度函數(shù)一、能態(tài)密度函數(shù).關于關于EE由 的含義（表示沿法線方向能量的改變率）可知：EkEEdkk .由此得能態(tài)密度由此得能態(tài)密度N(E)N(E)一般表達式：一般表達式： EdsVEdkdsdkVdEdZENkk332222 6關于能態(tài)密度的計算 EdsVdEdZENk322 公式：公式：例一、自由電子能態(tài)密度例一、自由電子

4、能態(tài)密度( (E E) )。例二、若已知，求例二、若已知，求g g( (E E) )。例三、簡立方晶格的例三、簡立方晶格的s s帶對應的能態(tài)密度帶對應的能態(tài)密度N N( (E E) )。32221222mkmkmkkEzyx)(7例一、自由電子能態(tài)密度例一、自由電子能態(tài)密度( (E E) )解：解：自由電子的能量本征值： mkkE222 EmVmkkVEdsVENk23222233222242222 自由電子等能面為球面，其半徑為：mEk2mkEk2228例一、自由電子能態(tài)密度例一、自由電子能態(tài)密度( (E E) )分析分析( () )關系關系 3224228mVENE 2)(ENE N(E)

5、E 自由電子情況近自由電子近似的能態(tài)密度近自由電子近似的能態(tài)密度 EdsVENk322 9近自由電子近似的等能面近自由電子近似的等能面第一布里淵區(qū)內：認為從原點向外，等能面應該基本上保持為球面接近于布里淵區(qū)邊界：等能面將向外凸出當當EAEEC時：時：等能面將不再是完整的閉合面，而是分割在各個頂角附近的曲面。10近自由電子能態(tài)密度近自由電子能態(tài)密度( (E E) )(E)關系可表示如下：關系可表示如下：(1)EEA時，由于等能面開始殘破，面積下降，尤其是到達EC時，等能面縮小為幾個頂角點，所以由EA到EC過程，N(E)將不斷下降到零。N(E)E 自由電子情況自由電子情況 近自由電子情況近自由電子

6、情況AECEBE11近自由電子能態(tài)密度近自由電子能態(tài)密度( (E E) )N(E)E 自由電子情況自由電子情況 近自由電子情況近自由電子情況AECEBE(4)當E達到并超過第二布里淵區(qū)的最低能量EB時，能態(tài)密度N(E)將從EB開始，由0迅速增大。注：右圖為能帶無交疊的情況。12近自由電子能態(tài)密度近自由電子能態(tài)密度( (E E) )N(E)E 自由電子情況自由電子情況 近自由電子情況近自由電子情況AECEBE能帶有交疊情況能帶有交疊情況13例二例二、若已知，求例二、若已知，求g g( (E E) )。32221222mkmkmkkEzyx)(解：等能面方程： 即即,EkE122212222222

7、22232222212232222212ckbkakEmcEmbEmaEmkEmkEmkzyxzyx等能面方程可化為等能面方程可化為則則令令,14例二 EdsVdEdZENk322 能量為E的等能面內的狀態(tài)數(shù)記作Z：32332133234223422EmmmVabcVZ 222334222133213EmmmVdEdZEN )(15例二EmmmVEN232232122 )(EmmmVENEg232232122 )()(引申情況引申情況：當當mm1 1=m=m2 2=m=m3 3時，等能面為球面；時，等能面為球面； 當當mm1 1=m=m2 2mm3 3時，等能面為橢球面。時，等能面為橢球面。1

8、6例三計算簡立方晶格的計算簡立方晶格的s s帶對應的能態(tài)密度帶對應的能態(tài)密度N N( (E E) )coscos(cos)(akakakJEkEzyxs102解：簡立方晶格的解：簡立方晶格的s s帶能帶函數(shù)帶能帶函數(shù)kkEjkEikEEzyxk)sinsinsin(akkakjakiaJzyx12 EdsVdEdZENk322 計算公式：17例三例三所以能態(tài)密度可表示為：所以能態(tài)密度可表示為： EdsVENk322 等能面等能面akakakdsVzyx222322sinsinsin 18緊束縛近似等能面能帶底附近等能面能帶底附近等能面為球面；為球面；E增大，增大，等能面偏離球面，等能面偏離球面

9、，E越增大，偏離越越增大，偏離越明顯（明顯（P218P218圖圖4-4-4040）。）。N緊 束 縛 近 似 等 能 面19例三例三(1)能帶底能帶底E=E0-6J1；(2)當當E=E0-2J1時，出現(xiàn)微商不連續(xù)奇點，這時恰好等能面時，出現(xiàn)微商不連續(xù)奇點，這時恰好等能面與布里淵區(qū)界面相交，等能面如與布里淵區(qū)界面相交，等能面如P219圖圖4-42所示；所示；(3)E=E0時，為能帶的中點，時，為能帶的中點，N(E)函數(shù)以函數(shù)以E0為中心，上下為中心，上下對稱，等能面如對稱，等能面如P219圖圖4-43所示。所示。N(E)106JE 102JE 102JE 0E106JE 能態(tài)密度函數(shù)圖能態(tài)密度函

10、數(shù)圖（P219P219圖圖4-414-41）20例三例三能態(tài)密度的臨界點（范霍夫奇點）能態(tài)密度的臨界點（范霍夫奇點） EdsVdEdZENk322 由公式由公式 可知，在某個可知，在某個k取值處，取值處，,)(0kEk 在該點，在該點，N(E)顯示出某種奇異性，稱為顯示出某種奇異性，稱為范范霍夫奇點，也稱臨界點霍夫奇點，也稱臨界點。 En(k)是是k空間的周期函數(shù)，因此每個周期性單元中空間的周期函數(shù)，因此每個周期性單元中必定存在有必定存在有 的點，例如：的點，例如：En(k)的極大值和極的極大值和極小值點；小值點； 的鞍點等等，而且這些點是出現(xiàn)在的鞍點等等，而且這些點是出現(xiàn)在布里淵區(qū)的高對稱點

11、處。布里淵區(qū)的高對稱點處。 0kEk 0kEk21例三例三以簡立方晶格為例，說明緊束縛近似下的以簡立方晶格為例，說明緊束縛近似下的s能帶的能帶的能態(tài)密度的臨界點恰為布區(qū)的高對稱點能態(tài)密度的臨界點恰為布區(qū)的高對稱點。:)(的的點點0kEsk點點 是極小值點；是極小值點；R點點 是極大值點；是極大值點；X點點 是一個鞍點是一個鞍點布區(qū)側面中心。布區(qū)側面中心。000 ,kaaak ,00,ak ;)(106JEkE ;)(106JEkER;)(102JEkEX22二、費米面二、費米面能量是能量是k的函數(shù)，的函數(shù)，費米分布描述電子按能量的分布。費米分布描述電子按能量的分布。在在k空間中畫出等能面，電子

12、按空間中畫出等能面，電子按費米函數(shù)分布在各等能面上，費米函數(shù)分布在各等能面上，按按泡利原理，由低到高，填充能量泡利原理，由低到高，填充能量盡可能低的電子態(tài)盡可能低的電子態(tài)。若固體中有若固體中有N N個電子，在個電子，在k k空間空間填充了半徑為填充了半徑為k kF F的球，球內包的球，球內包括的狀態(tài)數(shù)恰好等于括的狀態(tài)數(shù)恰好等于N N，即：，即：NkVF333422 一般稱這個球為一般稱這個球為費米球費米球，k kF F稱為稱為費米費米球半徑球半徑，球的表面，球的表面稱稱費米面費米面。23費米面定義指當T0時，k空間中占有電子和不占有電子區(qū)空間中占有電子和不占有電子區(qū)域的分界面。這里域的分界面。

13、這里費米面的能量值稱為費米能級費米面的能量值稱為費米能級EF；對應的電子動量稱為費米動量對應的電子動量稱為費米動量 ；kF稱為費米球半徑；稱為費米球半徑； 稱為費米速度；稱為費米速度；mpvFFFFkp費米面費米面就是就是k k空間中能量為空間中能量為E EF F的等能面。的等能面。24費米面費米面費米能級費米能級EF費米能級數(shù)值由費米能級數(shù)值由電子密度電子密度決定。當決定。當T=0k時，從時，從E=0到到E=EF范圍內對范圍內對g(E)積分值應等于電子密度積分值應等于電子密度n，即：，即： FFEENdEENndEEg00或或費米球半徑費米球半徑kFN N個電子在個電子在k空間填充半徑為空間

14、填充半徑為kF的費米球，費米球內包的費米球，費米球內包括的狀態(tài)數(shù)恰好等于括的狀態(tài)數(shù)恰好等于N N，即，即NkVF333422 31313131832832nVNkF 25關于“費米面”（1 1）絕對零度下，費米面將填充能級和未填）絕對零度下，費米面將填充能級和未填充能級分隔開；充能級分隔開；（2 2）費米面形狀基本上不隨溫度變化；）費米面形狀基本上不隨溫度變化； 溫度升高時，只有少量電子從費米面內側附溫度升高時，只有少量電子從費米面內側附近激發(fā)到外側附近，費米能級本身很少隨溫度變近激發(fā)到外側附近，費米能級本身很少隨溫度變化，因此，費米面成為金屬的一個物理特性?；?，因此，費米面成為金屬的一個物理

15、特性。26費米面的重要性在于金屬的物理性質由費米面的費米面的重要性在于金屬的物理性質由費米面的形狀確定形狀確定（1 1）電子熱容）電子熱容是由費米面附近電子激發(fā)所引起；是由費米面附近電子激發(fā)所引起；（2 2）功函數(shù)）功函數(shù)是費米面附近的電子逸出金屬所必須是費米面附近的電子逸出金屬所必須作的功；作的功；（3 3）接觸電勢差）接觸電勢差是費米面附近的電子流動產生的；是費米面附近的電子流動產生的；（4 4）討論金屬）討論金屬電導電導問題時問題時, ,認為電流是由于費米認為電流是由于費米面附近能態(tài)占據狀況的變化所引起等。面附近能態(tài)占據狀況的變化所引起等。27金屬的功函數(shù)與接觸電勢差AB+-+ - -

16、-+-VA VB+-A BVA VB功函數(shù)：功函數(shù)：WA，WB；28EFWAEFWB0EFWAEFWB-eVB-eVA接觸電勢差：接觸電勢差：VA-VB=(WB-WA)/q29例：自由電子費米能級例：自由電子費米能級EF FENdEEN0 EmVEN232222 VNn 322232nmEF 30自由電子費米能級自由電子費米能級EF若定義電子球半徑若定義電子球半徑 (由由 得到得到);氫原子玻爾半徑氫原子玻爾半徑 ;3143nrs 3341srnNV cmmea8220105290.2080015010204633areVEscmarvarksFsFsF/././.-11.5-15eV31自由

17、電子的費米面費米面費米球xkykFk222FFkmE32電子在晶體中按能級是如何排布的呢？電子在晶體中按能級是如何排布的呢？電子是費密子，它的排布原則有以下兩條：電子是費密子，它的排布原則有以下兩條：（1） 服從泡里不相容原理服從泡里不相容原理排滿電子的能帶稱為排滿電子的能帶稱為滿帶滿帶；排了電子但未排滿的稱為排了電子但未排滿的稱為未滿帶未滿帶（或（或導帶導帶）；）； 未排電子的稱為未排電子的稱為空帶空帶； （有時也稱為（有時也稱為導帶導帶）；）；兩個能帶之間的兩個能帶之間的禁帶禁帶是不能排電子的。是不能排電子的。（2） 服從能量最小原理服從能量最小原理33導體和絕緣體導體和絕緣體 （cond

18、uctor &insulator） 它們的導電性能不同，它們的導電性能不同， 是因為它們的能帶結構不同。是因為它們的能帶結構不同。晶體按導電性能的高低可以分為晶體按導電性能的高低可以分為導體導體半導體半導體絕緣體絕緣體34三、晶體能帶的填充情況三、晶體能帶的填充情況第一種情況：只有滿帶和空帶第一種情況：只有滿帶和空帶 電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各帶電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各帶全部是空的。全部是空的。最高的滿帶最高的滿帶價帶價帶；最低的空帶；最低的空帶導帶導帶（此時（此時導帶為空帶）導帶為空帶） ；價帶最高能級（價帶頂）與導帶最低能級（導帶底）價帶最高能級（價帶頂）與導帶最

19、低能級（導帶底）之間的能量范圍之間的能量范圍帶隙帶隙。帶隙寬度帶隙寬度大大( (約約10eV)10eV)絕緣體；絕緣體；帶隙寬度帶隙寬度小小( (約約1eV)1eV)半導體。半導體。35第一種情況：只有滿帶與空帶第一種情況：只有滿帶與空帶圖示圖示電子填充狀態(tài)未被電子填充狀態(tài)ev1ev10半導體絕緣體36晶體能帶的填充情況晶體能帶的填充情況 除去完全被電子除去完全被電子充滿的一系列能帶充滿的一系列能帶（即滿帶即滿帶）外，還有）外，還有只是部分被電子填充只是部分被電子填充的能帶的能帶(即即未滿帶未滿帶)，常，常被稱為導帶（此時，被稱為導帶（此時，導帶為不滿帶）。導帶為不滿帶）。第二種情況：除滿帶和

20、空帶，還存在未滿帶第二種情況：除滿帶和空帶，還存在未滿帶電子填充狀態(tài)未被電子填充狀態(tài)37導體導體導體導體導體導體半導體半導體絕緣體絕緣體 Eg Eg Eg38 在外電場的作用下，大量共有化電子很在外電場的作用下，大量共有化電子很 易獲得能量，集體定向流動形成電流。易獲得能量，集體定向流動形成電流。從能級圖上來看，從能級圖上來看，是因為其共有化電子是因為其共有化電子很易從低能級躍遷到高能級上去。很易從低能級躍遷到高能級上去。E導體導體39從能級圖上來看，是因為滿帶與空帶之間從能級圖上來看，是因為滿帶與空帶之間有一個有一個較寬的禁帶較寬的禁帶（ Eg 約約36 eV），），共有化電子很難從低能級（

21、滿帶）躍遷到共有化電子很難從低能級（滿帶）躍遷到高能級（空帶）上去。高能級（空帶）上去。 在外電場的作用下，共有化電子很難接在外電場的作用下，共有化電子很難接 受外電場的能量，所以形不成電流。受外電場的能量，所以形不成電流。 的能帶結構的能帶結構,滿帶與空帶之間也是禁帶，滿帶與空帶之間也是禁帶， 但是但是禁帶很窄禁帶很窄（ E g 約約0.12 eV )。絕緣體絕緣體半導體半導體40絕緣體與半導體的擊穿絕緣體與半導體的擊穿當外電場非常強時，它們的共有化電子還是當外電場非常強時，它們的共有化電子還是能越過禁帶躍遷到上面的空帶中的。能越過禁帶躍遷到上面的空帶中的。絕緣體絕緣體半導體半導體導體導體4

22、1例一、堿金屬是電子填充情況例一、堿金屬是電子填充情況以以NaNa晶體晶體為例，來說明電子填充情況。為例，來說明電子填充情況。結構：結構：體心立方晶格，每個原胞有一個原子。體心立方晶格，每個原胞有一個原子。電子組態(tài)：電子組態(tài)：1s22s22p63s1分析：分析：由由1s22s22p6組態(tài)能級擴展的組態(tài)能級擴展的五個能帶五個能帶正好被十個正好被十個電子所填滿（即電子所填滿（即滿帶滿帶），剩下一個），剩下一個3s帶帶，只被一個，只被一個3s電子電子填充到一半（即填充到一半（即半滿帶半滿帶）。這時若將鈉晶體置于一外電場）。這時若將鈉晶體置于一外電場中，這個中，這個3s帶中的電子將在外電場作用下，獲得

23、加速，躍帶中的電子將在外電場作用下，獲得加速，躍入能量較高的空的能態(tài)位置上去。從而在布里淵區(qū)中建立入能量較高的空的能態(tài)位置上去。從而在布里淵區(qū)中建立一個沿電場方向一個沿電場方向不對稱不對稱的電子占據態(tài)分布，導致沿外場方的電子占據態(tài)分布，導致沿外場方向出現(xiàn)電流。向出現(xiàn)電流。42例一、堿金屬是電子填充情況例一、堿金屬是電子填充情況而在滿帶中的電子，不存在上述構成電流的條件，而在滿帶中的電子，不存在上述構成電流的條件，由于中心布里淵區(qū)的對稱性，存在等量的由于中心布里淵區(qū)的對稱性，存在等量的+k和和-k電子，其貢獻的電流互相抵消，即使在外電場作電子，其貢獻的電流互相抵消，即使在外電場作用下也互相抵消。

24、用下也互相抵消?？偨Y：鈉晶體是良導體的原因在于其電子結構中總結：鈉晶體是良導體的原因在于其電子結構中存在半滿帶。存在半滿帶。FEE)(EN金屬（堿金屬，貴重金屬等）43例二、IIA族二價堿土金屬以以MgMg元素元素為例來分析為例來分析IIA族的堿土金屬的電子填族的堿土金屬的電子填充情況。充情況。電子組態(tài)電子組態(tài)：1s22s22p63s2分析分析：1s2，2s2，2p6，3s2等原子能級擴展的等原子能級擴展的4個電個電子能帶是滿帶，而且子能帶是滿帶，而且3s帶也是一個滿帶，它正好帶也是一個滿帶，它正好容納容納2個個3s電子（對每個原子而言）。外電場作用電子（對每個原子而言）。外電場作用下不能激發(fā)

25、電流，論理應下不能激發(fā)電流，論理應是非導體是非導體，但事實，但事實Mg卻卻是是良導體良導體(認為認為3s 帶和更高的帶和更高的3p帶有交疊帶有交疊)。44例二、例二、IIA族二價堿土金屬族二價堿土金屬FEE)(EN 原因原因在于在于3s和和3p能級十分接近，擴展后的能級十分接近，擴展后的3s和和3p能帶將發(fā)生部分重疊，因此能帶將發(fā)生部分重疊，因此3s帶尚未填滿時，帶尚未填滿時，就會有部分電子已進入就會有部分電子已進入3p帶中，即帶中，即3s和和3p能帶都能帶都成為未滿帶。在外電場作用下，則會激發(fā)而產生成為未滿帶。在外電場作用下，則會激發(fā)而產生電流。電流。金屬（堿土金屬等）45 kE01a 2a

26、 1k2kk k1 1方向上的方向上的3p3p帶底能量低于帶底能量低于k k2 2方向的方向的3s3s帶帶能量，導致部能量，導致部分分3s3s電子占據電子占據3p3p帶中較低的帶中較低的狀態(tài)，兩個帶狀態(tài)，兩個帶都變成未充滿都變成未充滿的帶。的帶。46例三、半金屬 與堿土金屬的電子填充情況相比，二者的區(qū)別在于半與堿土金屬的電子填充情況相比，二者的區(qū)別在于半金屬的能帶交疊很小，其導電性比堿土金屬還低幾個數(shù)量金屬的能帶交疊很小，其導電性比堿土金屬還低幾個數(shù)量級，故稱為半金屬。但其本質上仍是金屬，費米能級處在級，故稱為半金屬。但其本質上仍是金屬，費米能級處在能帶重疊部分里。能帶重疊部分里。例如，與三價

27、鋁同族的鎵，銦，鉈；例如，與三價鋁同族的鎵，銦，鉈；三價鋁是優(yōu)良金屬，但它們的導電性與鋁相比卻相差三價鋁是優(yōu)良金屬，但它們的導電性與鋁相比卻相差很大，這是由于受很大，這是由于受d層電子的影響。層電子的影響。FEE)(EN半金屬47例三、半金屬例三、半金屬又如：又如：VAVA族的砷，銻，鉍等等。族的砷，銻，鉍等等。結構分析：結構分析：它們是以雙原子基胞構成復式晶格，它們是以雙原子基胞構成復式晶格，每個基胞中價電子數(shù)是偶數(shù)（每個基胞中價電子數(shù)是偶數(shù)（1010），理論上最外），理論上最外帶應該是滿帶，屬于非導體，但由于它們同堿土帶應該是滿帶，屬于非導體，但由于它們同堿土金屬一樣，價電子帶與再上面的一

28、個能帶少量重金屬一樣，價電子帶與再上面的一個能帶少量重疊，只是重疊很小很小，導電性比堿土金屬還低疊，只是重疊很小很小，導電性比堿土金屬還低幾個數(shù)量級，故稱為半金屬。幾個數(shù)量級，故稱為半金屬。48例四、四價的碳，硅，鍺，錫等例四、四價的碳，硅，鍺，錫等以碳為例來說明其電子填充情況。以碳為例來說明其電子填充情況。碳電子組態(tài)：碳電子組態(tài)：1s22s22p2(1)石墨結構石墨結構其其sp2雜化軌道擴展成為被禁帶所隔開的兩個能雜化軌道擴展成為被禁帶所隔開的兩個能帶，而帶，而2pz帶和帶和sp2能量較高的帶有微小重疊，將能量較高的帶有微小重疊，將有小部分電子進入有小部分電子進入2pz帶，而在帶，而在2pz帶留下相應空帶留下相應空位，使得石墨成為半金屬，具有一定導電性。位，使得石墨成為半金屬，具有一定導電性。49例四、四價的碳，硅，鍺，錫等例