ch6 彎曲應(yīng)力(3rd)

1、第六章 彎曲應(yīng)力6-2 如圖所示，直徑為d、彈性模量為E的金屬絲，環(huán)繞在直徑為D的輪緣上，試求金屬絲內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)變、最大彎曲正應(yīng)力與彎矩。題6-2圖解：金屬絲的曲率半徑為所以，金屬絲的最大彎曲正應(yīng)變?yōu)樽畲髲澢龖?yīng)力為而彎矩則為6-3 圖示帶傳動裝置，膠帶的橫截面為梯形，截面形心至上、下邊緣的距離分別為y1與y2，材料的彈性模量為E。試求膠帶內(nèi)的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。題6-3圖解：由題圖可見，膠帶中性層的最小曲率半徑為依據(jù)可得膠帶內(nèi)的最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力分別為6-6 圖a所示正六邊形截面，邊長為a，試計算抗彎截面系數(shù)Wz與Wy。題6-6圖解：1. Wz計算由圖b可以看出，

2、所以，DADB對z軸的慣性矩為中部矩形截面對z軸的的慣性矩為于是得整個六邊形截面對z軸的慣性矩為而對z軸的抗彎截面系數(shù)則為2. Wy計算DADB對y軸的慣性矩為中部矩形截面對y軸的的慣性矩為于是得整個六邊形截面對y軸的慣性矩為而對y軸的抗彎截面系數(shù)則為6-7 圖示直徑為d的圓木，現(xiàn)需從中切取一矩形截面梁。試問：(1) 如欲使所切矩形梁的彎曲強度最高，h和b應(yīng)分別為何值；(2) 如欲使所切矩形梁的彎曲剛度最高，h和b又應(yīng)分別為何值。題6-7圖解：(1) 為使彎曲強度最高，應(yīng)使值最大。由此得(2) 為使彎曲剛度最高，應(yīng)使值最大。由此得6-8 圖a所示簡支梁，由18工字鋼制成，彈性模量E = 200

3、 GPa， a=1m。在均布載荷q作用下，測得截面C底邊的縱向正應(yīng)變e = 3.010-4，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。題6-8圖解：1. 內(nèi)力分析梁的彎矩圖如圖b所示，橫截面C的彎矩為梁內(nèi)的最大彎矩則為(a)2. 應(yīng)力計算（解法一）橫截面C底部的彎曲正應(yīng)力為由此得 代入式（a），得于是得梁的最大彎曲正應(yīng)力為3. 應(yīng)力計算（解法二）橫截面C底部的彎曲正應(yīng)力為由于應(yīng)力與內(nèi)力成正比，所以，梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力為計算結(jié)果相同。6-9 圖示簡支梁，承受均布載荷q作用。已知抗彎截面系數(shù)為Wz，彈性模量為E，試計算梁底邊AB的軸向變形。題6-9圖解：梁的彎矩方程為橫截面x處底邊微長dx的軸向變形為所以，梁

4、底邊AB的軸向變形為6-10 圖示截面梁，由18工字鋼制成，截面上的彎矩M = 20kNm，材料的彈性模量E = 200GPa，泊松比= 0.29。試求截面頂邊AB與上半腹板CD的長度改變量。題6-10圖解：1.截面幾何性質(zhì)工字鋼截面大致形狀及尺寸符號如圖6-10所示。圖6-10由附錄F表4查得從而得2計算頂邊的長度改變量頂邊處有由此可得邊的伸長量為3計算上半腹板的長度改變量距中性軸為的點，彎曲正應(yīng)力的絕對值為 （以向上為正）該處的橫向應(yīng)變?yōu)橛纱丝傻镁€段的伸長量為6-12 圖a所示矩形截面懸臂梁，桿端截面承受剪切載荷F作用?，F(xiàn)用縱截面AC與橫截面AB將梁的下部切出，試繪單元體ABCD各切開截面

5、上的應(yīng)力分布圖，并說明該部分是如何平衡的。題6-12圖解： 1. 單元體的應(yīng)力分析 梁內(nèi)各橫截面的剪力相同，其值均為F；在固定端處，橫截面上的彎矩則為 與上述內(nèi)力相對應(yīng)，單元體各截面的應(yīng)力如圖b所示。在橫截面AB上，彎曲切應(yīng)力按拋物線分布，最大切應(yīng)力為在該截面上，彎曲正應(yīng)力線性分布，最大彎曲壓應(yīng)力則為在縱截面AC上，作用有均勻分布的切應(yīng)力t，其值為在橫截面CD上，作用有合力為F1=F/2的剪切分布力。2. 單元體的受力分析 根據(jù)上述分析，畫單元體的受力如圖c所示。圖中，F(xiàn)2代表橫截面AB上由切應(yīng)力構(gòu)成的剪切力，F(xiàn)3代表該截面上由彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力，F(xiàn)4則代表縱截面AC上由切應(yīng)力構(gòu)成的剪切

6、合力。顯然，3. 單元體的平衡根據(jù)上述計算結(jié)果，得說明單元體滿足平衡條件。6-13 圖示矩形截面簡支梁，承受矩為Me=Fa的集中力偶作用。截面的寬度為b，高度為h。試繪單元體ABCD的應(yīng)力分布圖（注明應(yīng)力大?。?，并說明該單元體是如何平衡的。題6-13圖解：1.畫剪力、彎矩圖左、右支座的支反力大小均為，方向是左向上、右向下。據(jù)此可畫剪力與彎矩圖分別如圖6-13a與b所示。圖6-132求單元體兩端面上的應(yīng)力及其合力單元體兩端面及縱截面上的應(yīng)力分布如圖c所示，最大彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為由切應(yīng)力互等定理可知，縱截面上的切應(yīng)力與數(shù)值相等。左、右端面上彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力分別為左、右端面上彎曲切應(yīng)力

7、構(gòu)成的豎向合力大小相等，其值為縱截面上彎曲切應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力為3檢查單元體的平衡方程是否滿足由此可見，單元體的全部平衡方程均能滿足（另三個平衡方程是恒等滿足，無需寫出）。6-14 梁截面如圖所示，剪力FS = 200kN，并位于x-y平面內(nèi)。試計算腹板上的最大彎曲切應(yīng)力，以及腹板與翼緣（或蓋板）交界處的彎曲切應(yīng)力。題6-14圖(a)解：截面形心至其頂邊的距離為慣性矩和截面靜矩分別為于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為腹板與翼緣交界處的彎曲切應(yīng)力則為(b)解：采用負面積法，得截面形心至其頂邊的距離為慣性矩（采用負面積法）和截面靜矩分別為 于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為腹板與上蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為

8、腹板與下蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為6-17 圖示鑄鐵梁，載荷F可沿梁AC水平移動，其活動范圍為0h3l/2。已知許用拉應(yīng)力st=35MPa，許用壓應(yīng)力sc=140MPa, l=1m，試確定載荷F的許用值。題6-17圖解：1.截面幾何性質(zhì)計算由圖6-17可得圖6-172確定危險面的彎矩值分析可知，可能的危險截面及相應(yīng)彎矩如下：當(dāng)作用在段時，當(dāng)作用在段時， 3確定載荷的許用值由危險面的壓應(yīng)力強度要求得由截面的拉應(yīng)力強度要求得由作用面的拉應(yīng)力強度要求得該面上的最大壓應(yīng)力作用點并不危險，無需考慮。比較上述計算結(jié)果，得載荷的許用值為6-18 圖示矩形截面階梯梁，承受均布載荷q作用。已知截面寬度為b，許用應(yīng)

9、力為。為使梁的重量最輕，試確定l1與截面高度h1和h2。題6-18圖解：1.求最大彎矩左段梁最大彎矩的絕對值為右段梁最大彎矩的絕對值為2求截面高度和由根部截面彎曲正應(yīng)力強度要求得(a)由右段梁危險截面的彎曲正應(yīng)力強度要求得(b)3確定梁的總體積為由得最后，將式(c)代入式(b)，得為使該梁重量最輕（也就是最?。詈笕?-19 圖示簡支梁，由四塊尺寸相同的木板膠接而成。已知載荷F = 4kN，梁跨度l= 400mm，截面寬度b = 50mm，高度h = 80mm，木板的許用應(yīng)力=7MPa，膠縫的許用切應(yīng)力=5MPa，試校核強度。題6-19圖解：1.畫剪力、彎矩圖該梁的剪力、彎矩圖如圖6-19所

10、示。由圖可知，最大剪力（絕對值）和最大彎矩分別為圖6-192校核木板的彎曲正應(yīng)力強度3校核膠縫的切應(yīng)力強度結(jié)論：該膠合木板簡支梁符合強度要求。6-21 圖示四輪吊車起重機的導(dǎo)軌為兩根工字形截面梁，設(shè)吊車自重W = 50kN，最大起重量F = 10kN，許用應(yīng)用=160MPa，許用切應(yīng)力= 80MPa。試選擇工字鋼型號。由于梁較長，需考慮梁自重的影響。題6-21圖解：1.求最大彎矩設(shè)左、右輪對梁的壓力分別為，不難求得由圖6-21a所示梁的受力圖及坐標，得支反力圖6-21該梁的剪力、彎矩圖分別如圖b和c所示。圖中，由得極值位置依次為兩個彎矩極值依次為 比較可知，單梁的最大彎矩值為2初選工字鋼型號先

11、不計梁的自重，由彎曲正應(yīng)力強度要求，得由附錄表4初選28a工字鋼，有關(guān)數(shù)據(jù)為3檢查和修改考慮梁自重的影響，檢查彎曲正應(yīng)力強度是否滿足。由于自重，梁中點截面的彎矩增量為上面分析的最大彎矩作用面在跨中以右0.167m處，因二者相距很近，檢查正應(yīng)力強度時可將二者加在一起計算（計算的比真實的略大一點，偏于安全），即最后，再檢查彎曲切應(yīng)力強度是否滿足。結(jié)論：檢查的結(jié)果表明，進一步考慮梁自重影響后，彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強度均能滿足要求，故無需修改設(shè)計，最后選擇的工字鋼型號為28a。6-22 圖a所示組合木梁，由6個等間距排列的螺栓連接而成，梁端承受載荷F作用，試求螺栓剪切面上的剪力。題6-22圖解：螺栓的間

12、距為用橫截面1-1與2-2，從上半木梁中切取塊體如圖b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力為 （a）式中，將上述表達式代入式(a)，于是得6-23圖示簡支梁，由兩根50b工字鋼經(jīng)鉚釘連接而成，鉚釘?shù)闹睆絛 = 23mm，許用切應(yīng)力t=90MPa，梁的許用應(yīng)力s=160MPa。試確定梁的許用載荷q及鉚釘?shù)南鄳?yīng)間距e。提示：按最大剪力確定間距。題6-23圖解：1.計算組合截面的和由附錄F表4查得50b工字鋼的有關(guān)數(shù)據(jù)為由此得組合截面的慣性矩與靜矩分別為2許用載荷的確定由此得許用載荷為3鉚釘間距的確定由鉚釘?shù)那袘?yīng)力強度要求來計算。最大剪力為按最大剪力計算兩工字鋼交界面上單位長度上的剪力（剪流），其值為

13、間距長度內(nèi)的剪力為，它實際上是靠一對鉚釘?shù)氖芗裘鎭沓袚?dān)的，即由此得梁長方向鉚釘?shù)拈g距為6-24 橫截面如圖a所示的簡支梁，由兩塊木板經(jīng)螺釘連接而成。設(shè)載荷F=10kN，并作用于梁跨度中點，梁跨度l=6m，螺釘間距e=70mm，試求螺釘剪切面上的剪力。題6-24圖解：用間距為e的橫截面1-1與2-2，從上部木板中切取塊體如圖b所示?？梢钥闯觯葆敿羟忻嫔系募袅?（a）式中：Iz代表整個橫截面對中性軸的慣性矩；代表上部木板橫截面對中性軸的靜矩。由圖c可以看出，還可以看出，將相關(guān)數(shù)據(jù)與表達式代入式(a)，于是得6-25 圖示截面鑄鐵梁，已知許用壓應(yīng)力為許用拉應(yīng)力的4倍，即sc = 4st 。試從強

14、度方面考慮，確定寬度b的最佳值。題6-25圖解：從強度方面考慮，形心的最佳位置應(yīng)使即(a)由圖中可以看出，(b)比較式(a)與(b)，得于是得6-26 當(dāng)載荷F直接作用在簡支梁AB的跨度中點時，梁內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力超過許用應(yīng)力30%。為了消除此種過載，配置一輔助梁CD，試求輔助梁的最小長度a。題6-26圖解：當(dāng)無輔助梁時，簡支梁的最大彎矩為當(dāng)配置輔助梁后，簡支梁的最大彎矩變?yōu)楦鶕?jù)題意，即由此得6-27 圖示簡支梁，跨度中點承受集中載荷F作用。已知許用應(yīng)力為s，許用切應(yīng)力為t，若橫截面的寬度b保持不變，試根據(jù)等強度觀點確定截面高度h(x)的變化規(guī)律。題6-27圖解：1.求截面高度彎矩方程為由等強度

15、觀點可知，由此得(a)梁的右半段與左邊對稱。2求端截面高度由式(a)可知，在處，這顯然是不合理的，彎曲切應(yīng)力強度要求得不到滿足，故需作局部修正。由得梁左端的截面高度為(b)這是滿足剪切強度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。3確定h(x)的變化規(guī)律設(shè)可取截面高度為h(0)的最大長度為x1，為了同時滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強度要求，應(yīng)取由此得最終確定截面高度h(x)的變化規(guī)律為：在區(qū)間內(nèi) 在區(qū)間內(nèi) 梁的右半段與左邊對稱。6-29 圖示懸臂梁，承受載荷F1與F2作用，已知F1=800N，F(xiàn)2=1.6kN，l=1m，許用應(yīng)力s=160MPa。試分別按下列要求確定截面尺寸：(1) 截面為矩形，h = 2b；(2) 截面為圓形。題6-29圖解：(1) 矩形截面危險截面在懸臂梁根部，危險點為截面右上角點（拉應(yīng)力）和左下角點（壓應(yīng)力）。最大彎曲正應(yīng)力為根據(jù)彎曲正應(yīng)力強度條件，要求由此得于是得(2) 圓形截面危險截面的總彎矩為由彎曲正應(yīng)力強度條件，要求于是得6-30 圖示懸臂梁，承受載荷F作用。由實驗測得A與B點處的縱向正應(yīng)變分別為eA = 2.110-4與eB = 3.210-4，材料的彈性模量E = 200 GPa，試求載荷F及其方位角b之值。題6-30圖 解：橫截面上A與B點處的彎曲正應(yīng)力分別為(a)(